高中数学,幂函数知识点及题型
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第七节幂函数
❖基础知识
1．幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；
(2)xα的系数为1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性
质y＝x y＝x2y＝x3y＝x
1
2
y＝x－1
图象
定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增(－∞，0)减，
(0，＋∞)增
增增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点(1,1) ❖常用结论
对于形如f(x)＝x n
m(其中m∈N
*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．考点一幂函数的图象与性质
[典例]
(1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3
3)，则f(x)是()
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x
23－n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的
值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
[解析]
(1)设f (x )＝x α
，将点(3，3
3)代入f (x )＝x α
，解得α＝1
3
，所以f (x )＝x 1
3，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，
＋∞)上是增函数，故选C. (2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x
23－n n
在(0，＋∞)上是减函数，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
n 2＋2n －2＝1，
n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2
的图象关于y 轴对称，故n ＝1.
[答案] (1)C (2)B
[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．
(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．
[题组训练]
1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( )
A ．y ＝x －
4 B ．y ＝x －
1 C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 1
3
解析：选A 函数y ＝x －
4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －1
为奇函数，且在区间
(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13
为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．
解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0
时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
考点二 比较幂值大小
[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫122
3，b ＝⎝⎛⎭⎫152
3，c ＝⎝⎛⎭
⎫121
3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a
D ．b [解析] 因为y ＝x 2 3在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫122 3>b ＝⎝⎛⎭⎫152 3，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫122 3