矢量分析习题练习

r
r sin
r
r sin
0
习题练习
A
er
sin
cos
e
cos
cos
e
sin
er re r sine
A
r2
1
s in
r
Ar rA r sinA
er
re
r2
1
s in
r
sin cos r cos cos
r sine
0
r sin sin
故矢量 A既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢
求(2,3,1)点的方向导数值.
解:
i
(x2 yz)
j
(
x
2
yz)
k
(x2 yz)
x
y
z
i 2xyz
jx
2
z
kx2
y
故沿方向
el
i
3
j
50
4的方 k向 导5 数为 50 50
l 点(2,3,1)处沿
e的l 方向el 导 数6x5值y0z 为 4
x2z 50
5x2 y 50
36 16 60 112
z2 sin z2 cos
ez 0 z
2z sin
故矢量 B可以由一个标量函数的梯度表示
习题练习
在直角坐标系中
C
i (3
y
2
2x)
jx
2
k 2z
C
Cx
C y
Cz
x y z
(3y2 2x) (x2 ) (2z) 0
x
y
z
i
jk
C
x
k (2x 6y)
y z
3y2 2x x2 2z
z
ez
e
M e
o
y
x
er
r
M e
e
y
x
r 2 z2
tan1( )
z
tan习题练z 习
例2 现有三个矢量 A、B、为C
A
er
s
in
c
os
e
c
os
c
os
e
sin
B
e
z
2
s
in
e
z
2
c
os
ez
2z
sin
C
i (3
y
2
2x)
jx2
k 2z
(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由
故该点的直角坐标为 (2,2 3,3)
(2)由圆柱坐标系中的点与球面坐标系中的点的关系
r 2 z2 tan1( )
z
有: r 42 32 5, tan1(4 / 3) 53.1, 2 / 3 120
故该点的球坐标为 (5,53.1,120 )
习题练习
补 M(,, z)
z
M(r, ,)
在球面坐标系中,由 F和 0
F有 er f (r)
A
r2
1
s in
[sin
(r 2 Ar r
)
r
(sin A
)
r
A
]
F
1
[r 2
f
(r)]
0
r2 r
则
C f (r) r2
习题练习
例5 证明：（1） R；3（2） ； R（33）
，(
A
R)
A
其中
R
ix
j，y
k为z 一A常矢量。
csc
A
)}
习题练习
例6 图中所示导体中电位函数与 及 无z 关(取圆柱坐标系),
并且电位函数满足 2u ,已0给定 和0,u 0
求电位函数的表达式以及电场强度
E u
解:(1)在圆柱坐标系中由
2h 1 ( h ) 1 2h 2h 2 2 z2
有 1 2u 0 2 2
球面坐标系
2h
1 r2
r
(r 2
h) r
1
r 2 sin
(sin
h )
1
r 2 sin 2
2h
2
2A
er [(2 Ar
2 r2
( Ar
ctgA
csc
A
A
)]
e [2 A
1 r2
(csc2 A
2 Ar
2ctg
csc
A
)]
e [2 A
1 r2
(csc2 A
2 cscAr
2ctg
故矢量 C可以由一个矢量函数的旋度表示
习题练习
(2)这些矢量的源分布为
A 0, A 0
B 2r sin , B 0
C 0, C k (2x 6 y)
习题练习
例3 求标量函数 的x2 y梯z 度及 在一个指定方向的方向
导数,此方向由单位矢量
i
3
j
4定出k:
5
50 50 50
量函数的旋度表示
习题练习
在圆柱坐标系中
B
e
z
2
sin
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z
2
c
os
ez 2z
sin
B
1
(B )
1
B
Bz z
1 (z2 sin) 1 (z2 cos) (2z sin)
z
z2 sin z2 sin 2 sin 2 sin
e e ez
e
e
B
1
1
z
B B Bz
l 50 50 50 5习0题练习
例4
一径向矢量场在圆柱坐标有
F
e,在f (球)面坐标中有
F
er ,f如(r果)
,那么F函数0 会有什f么(r特) 点呢?
解:在圆柱坐标系中,由 F和 0 F有 e f ()
A
1
[ (A )
A
(Az ) ]
z
F
1
[f
( )]
0
则 f () C
解：（1）
R
x
y
z
3
（2）
x y z i jk
R
0
x y z
xyz
（3）
A i Ax jAy kAz
则
( A R) i x ( Ax x Ay y Az z) j y ( Ax x Ay y Az z)
k
z
(
Ax
x
i Ax jAy
Ay y kAz
Az z) A
习题练习
补充：
2
2 ( x2
2 y 2
2 z 2 )
直角坐标系
2h
2h ( x2
2h y 2
2h z 2 )
2
A
(
2A x 2
2A y 2
2A z 2 )
2h
1
(
h )
1
2
2h
2
2h z2
圆柱坐标系
2A
e (2 A
2
2
A
Ar r2
)
e (2 A
2
2
A
A
2
) ez2 Az
习题练习
积分之得: u C1 C2
一个矢量函数的旋度表示?
(2)求出这些矢量的源分布.
分析(1) 如果这个矢量的旋度为零,这个矢量就可以用一个标量
函数的梯度来表示.
G 0
G
0
习题练习
如果这个矢量的散为零,这个矢量就可以用一个矢量函数的
旋度来表示.
G 0
( A) 0
G A
分析(2)
G
G
通量源(散度源)的体分布 涡旋源(旋度源)的面分布
例1 在圆柱坐标中,一点的位置由 (4,定2出,3,)求该点在:(1)直角坐
3
标中的坐标;(2)球坐标中的坐标.
解: (1)由直角坐标系中的点与圆柱坐标系中的点的关系
x cos, y sin, z z 有: x 4 cos(2 / 3) 2, y 4sin(2 / 3) 2 3, z 3
解:(1)在球坐标系中
A
er
sin
cos
e
cos
cos
e
sin
A
1 r2
r
(r 2 Ar )
1
r sin
(sinA )
1
r sin
A
1 r2
r
(r 2 sin
cos)
1
r sin
(sin
cos
cos)
1
r sin
( sin )
2 sin cos cos 2sin cos cos