数值分析上机作业

数值分析上机作业

Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

数值分析上机实验报告

选题：曲线拟合的最小二乘法

指导老师：

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课题八 曲线拟合的最小二乘法

一、问题提出

从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。

二、要求

1、用最小二乘法进行曲线拟合；

2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=ϕ；

3、打印出拟合函数()t ϕ，并打印出()j t ϕ与()j t y 的误差，

12,,2,1 =j ；

4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；

5、*绘制出曲线拟合图*。

三、目的和意义

1、掌握曲线拟合的最小二乘法；

2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；

3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。

四、计算公式

对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为

特别的，取)(x j ϕ为多项式

j j x x =)(ϕ (j=0, 1,…，m )

则根据最小二乘法原理，可以构造泛函

令

0=∂∂k

a H (k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程

求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二

乘解

曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。

五、结构程序设计

在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ，并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。

用一元三次多项式()33221t a t a t a t ++=ϕ进行拟合

计算解析表达式系数： a1, a2, a3

t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];

y=[0 ];

>> n=length(xi);

f=.*10.^(-4)*x.^.*10.^(-3)*x.^2+.*x+;

x=0::55;

F=.*10.^(-4)*x.^.*10.^(-3)*x.^2+.*x+;

fy=abs(f-y);

fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)

plot(xi,y,'t*'), hold on, plot(t,F,'b-'), hold off

所得函数为

4332(t)0.3436410 5.2156100.26340.013839t t t ϕ--=⨯-⨯++ 运行后屏幕显示数据),(i i y x 与拟合函数f 的最大误差Ew ，平均误差

E1和均方根误差E2及其数据点

)

,(i i y x 和拟合曲线y=f(x)的图形如图. Ew =

E1 =

E2 = 图一元三次多项式拟合曲线误差图

用一元四次多项式()4433221t a t a t a t a t +++=ϕ进行拟合：

计算多项式系数：a 1, a 2, a 3, a 4

xi=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];

y=[0 ];

n=length(xi);

x=0::55;

f=.*10.^(-6)*x.^.*10.^(-4)*x.^.*x.^2+.*x+;

x=0::55;

F=.*10.^(-6)*x.^.*10.^(-4)*x.^.*x.^2+.*x+;

fy=abs(f-

y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)

plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold off

所得函数为

644332(t)0.6026100.3191810 2.9323100.238070.060449t t t t ϕ---=⨯-⨯-⨯++

运行后屏幕显示数据),(i i y x 与拟合函数f 的最大误差Ew ，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点),(i i y x 和拟合曲线y=f(x)的图形如图。

Ew =

E1 = 、

E2 =

图一元四次多项式拟合曲线误差图

用一元二次多项式()2321t a t a a t ++=ϕ进行拟合：

计算多项式系数：a 1, a 2, a 3

输入程序：

>> syms a1 a2 a3

x=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];

fi=a1.*x.^2+ a2.*x+ a3

运行后屏幕显示关于a 1,a 2和a 3的线性方程组：

fi=[ a3, 25*a1 + 5*a2 + a3, 100*a1 + 10*a2 + a3, 225*a1 + 15*a2 + a3, 400*a1 + 20*a2 + a3, 625*a1 + 25*a2 + a3, 900*a1 +