数值分析上机作业
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数值分析上机作业
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
数值分析上机实验报告
选题:曲线拟合的最小二乘法
指导老师:
专业:
学号:
姓名:
课题八 曲线拟合的最小二乘法
一、问题提出
从随机的数据中找出其规律性,给出其近似表达式的问题,在生产实践和科学实验中大量存在,通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系,试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。
二、要求
1、用最小二乘法进行曲线拟合;
2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=ϕ;
3、打印出拟合函数()t ϕ,并打印出()j t ϕ与()j t y 的误差,
12,,2,1 =j ;
4、另外选取一个近似表达式,尝试拟合效果的比较;
5、*绘制出曲线拟合图*。
三、目的和意义
1、掌握曲线拟合的最小二乘法;
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组;
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、计算公式
对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…,n ),设函数分布为
特别的,取)(x j ϕ为多项式
j j x x =)(ϕ (j=0, 1,…,m )
则根据最小二乘法原理,可以构造泛函
令
0=∂∂k
a H (k=0, 1,…,m ) 则可以得到法方程
求该解方程组,则可以得到解m a a a ,,,10 ,因此可得到数据的最小二
乘解
曲线拟合:实际工作中,变量间未必都有线性关系,如服药后血药浓度与时间的关系;疾病疗效与疗程长短的关系;毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据,并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
五、结构程序设计
在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计,在进行曲线的拟合时,为了进行比较,在程序设计中,直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ,并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制,最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差,进行拟合效果的比较。
用一元三次多项式()33221t a t a t a t ++=ϕ进行拟合
计算解析表达式系数: a1, a2, a3
t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];
y=[0 ];
>> n=length(xi);
f=.*10.^(-4)*x.^.*10.^(-3)*x.^2+.*x+;
x=0::55;
F=.*10.^(-4)*x.^.*10.^(-3)*x.^2+.*x+;
fy=abs(f-y);
fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)
plot(xi,y,'t*'), hold on, plot(t,F,'b-'), hold off
所得函数为
4332(t)0.3436410 5.2156100.26340.013839t t t ϕ--=⨯-⨯++ 运行后屏幕显示数据),(i i y x 与拟合函数f 的最大误差Ew ,平均误差
E1和均方根误差E2及其数据点
)
,(i i y x 和拟合曲线y=f(x)的图形如图. Ew =
E1 =
E2 = 图一元三次多项式拟合曲线误差图
用一元四次多项式()4433221t a t a t a t a t +++=ϕ进行拟合:
计算多项式系数:a 1, a 2, a 3, a 4
xi=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];
y=[0 ];
n=length(xi);
x=0::55;
f=.*10.^(-6)*x.^.*10.^(-4)*x.^.*x.^2+.*x+;
x=0::55;
F=.*10.^(-6)*x.^.*10.^(-4)*x.^.*x.^2+.*x+;
fy=abs(f-
y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)
plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold off
所得函数为
644332(t)0.6026100.3191810 2.9323100.238070.060449t t t t ϕ---=⨯-⨯-⨯++
运行后屏幕显示数据),(i i y x 与拟合函数f 的最大误差Ew ,平均误差E1和均方根误差E2及其数据点),(i i y x 和拟合曲线y=f(x)的图形如图。
Ew =
E1 = 、
E2 =
图一元四次多项式拟合曲线误差图
用一元二次多项式()2321t a t a a t ++=ϕ进行拟合:
计算多项式系数:a 1, a 2, a 3
输入程序:
>> syms a1 a2 a3
x=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];
fi=a1.*x.^2+ a2.*x+ a3
运行后屏幕显示关于a 1,a 2和a 3的线性方程组:
fi=[ a3, 25*a1 + 5*a2 + a3, 100*a1 + 10*a2 + a3, 225*a1 + 15*a2 + a3, 400*a1 + 20*a2 + a3, 625*a1 + 25*a2 + a3, 900*a1 +