数学物理方程第一章答案

第一章

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程

()⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ

其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与

+x x ∆。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两

端的坐标分别为：

),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++

其

相

对

伸

长

等

于

)

,()],([)],([t x x u x

x

t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ 令

0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克

定律，张力),(t x T 等于

),()(),(t x u x E t x T x =

其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。

设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为

x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+

于

是

得

运

动

方

程

tt

u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx

ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+

利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得

tt u x s x )()(ρx

∂∂

=

x ESu () 若=)

(x s 常量，则得

22)(t u x ∂∂ρ=))((x

u

x E x ∂∂∂∂

即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在l x x

==,0两点则相应的边界条

件为

.0),(,0)

,0(==t l u t u

(2)若

l x =为自由端，则杆在

l

x =的张力

x

u x E t l T ∂∂=)(),(|l

x =等于零，因此相应的边界条件为

x

u

∂∂|l x ==0 同理，若

0=x 为自由端，则相应的边界条件为

x

u ∂∂∣

00

==x

(3)若l x

=端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某

点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支

承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有

x

u

E

∂∂∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件

)(

u x

u

σ+∂∂∣

)

(t f l

x == 其中

E

k =

σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件

)(

u x

u

σ+∂∂∣0==l x 。 同理，若0=x

端固定在弹性支承上，则得边界条件

x u

E ∂∂∣)](),0([0t v t u k x -==

即 )(u x

u

σ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为

22

22)1(])1[(t

u h x x u h x x E

∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1) 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x

点处截面的半径l 为：

h

x

l -

=1 所以截面积2

)1()(h

x x s -=π。利用第1题，得

])1([)1()(222

2

x u

h x E x

t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ

若E x E =)

(为常量，则得

22

22)1(])1[(t

u

h x x u h x x E

∂∂-=∂∂-∂∂ρ 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力

)(x T 为

)()(x l g x T -=ρ

且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻

t

沿垂直于

x

轴方向的位移，取弦段

),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为

)

(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+--θρθρ

其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角

又 .

sin x u tg ∂∂=

≈θθ 于是得运动方程

x u

x x l t u x

∂∂∆+-=∂∂∆)]([2

2ρ∣

x

u

x l g x x ∂∂--∆+]

[ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得

])[(2

2x u

x l x g t

u ∂∂-∂∂=∂∂。 5. 验证

2

2

2

1),,(y

x t t y x u --=

在锥

222y x t -->0中都满足波动方程

222222y u

x u t u ∂∂+∂∂=∂∂证：函数

2

2

2

1),,(y

x t t y x u --=

在锥2

22

y x t

-->0内对变量

t y x ,,有

二阶连续偏导数。且 t y x t t

u ⋅---=∂∂-2

3

222)(

2

52222

32222

2)

(3)

(t

y x t y x t t

u ⋅--+---=∂∂-

-

)2()(2

2223

222y x t y x t ++⋅--=-

x y x t x

u

⋅--=∂∂-

23

222)(

()()

2

22232222

23y x t y x t x

u -

---+--=∂∂

(

)()222

25

2222y x t y x t -+-

-=-

同理 ()()222252222

22y x t y x t y

u

+---=∂∂-

所

以

()()

.22

22

2225

222222

2t

u y x t y x t y

u x

u ∂∂=++--=∂∂+

∂∂-