福建省泉州第五中学高三数学：微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计
隐圆最值问题教案
隐圆最值问题教学目标：灵活运用圆的一些重要定理、圆中的基本图形解决隐圆中的最值问题． 教学重点难点：隐圆问题，三角形底边、顶角不变和外接圆相关问题（正弦定理模型） 【例1】在△ABC 中，∠ABC=60°，AC=6，求△ABC 面积的最大值．分析：求面积最大值，AC 底边确定，只需找高的最大值，即B 到AC 的距离的最大值。
B 点在三角形ABC 的外接圆上运动。
当三角形ABC 为等边三角形时高最大11622ABC S AC BD =⋅=⨯⨯=【例2】如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E 、F 分别在CB 、AB 上，且AE ⊥CF 于G ，连BG ．则GB 的最小值是_______．A分析：求GB 的最小值，B 点是定点，关键找出G 点的运动轨迹。
G 点怎么来的呢？ AE ⊥CF 于G 点，即90AGC ∠=︒。
可得G 在以AC 为直径的圆上运动。
取AC 的中点 O连接OB 与圆O 的交点即为最小值时的G 点。
22GB OB OG ∴=-=【例3】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值 是 ．第16题图HGF E DC BA分析： 推出 90AHB ∠=︒ 是关键。
再回到上一题思路 总结：定弦定角的隐圆问题【反馈练习】1.如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，其中AB = 10，那么点O 到AB 的距离的最大值为__________．2．如图正方形ABCD ，AB=10，E 、F 分别为CD 、AD 上动点，且始终有CE=DF ，连接CF 、BE 交于O 点，连接AO ，求△AOB 面积的最小值FO EDCBA。
高中数学_在圆的视角下解三角形最值教学设计学情分析教材分析课后反思
《在圆的视角下解三角形最值》教学设计【目标分解二】通过建系、圆的视角等方式研究三角形中最值问题，并渗透向量的工具作用【例2】 在ABC ∆中，6AB AC AB AC =-=u u u r u u u r u u u r u u u rg ,M 是边BC 的中点,则中线AM 的长为 ,ABC ∆的面积的最大值为 .【例3】在ABC ∆中,,33A BC π==,M 是BC 的一个三等分点,则AM 的最大值是 .【变式训练2】 在ABC ∆中,23A π=,3BC =,M 是BC 的一个三等分点,则AM 的最小值是 .【变式训练3】 ★思考：若将【例3】中“M 是BC 的一个三等分点”改成n 等分点呢？★★【我要加餐2】在PAB ∆中，60APB ∠=︒，23AB =，以AB 为一边作矩形ABCD ，使,C P 在直线AB 两侧，1BC =，则PD PC ⋅u u u r u u u r的取值范围是 .教师充分利用几何画板的动态效果对顶点A 的运动轨迹进行动态演示分析，再由学生给出严谨求法。
教师将中点改为三等分点、四等分点、n 等分点，请学生思考一般性的结论.教会学生动态分析问题的方式强调三点共线的重要性将A 在优弧上运动改为在劣弧上运动，进行变式练习注重分层教学，加★题目给“吃不饱”的学生加餐目标分解 总结提升M板书设计在圆的视角下解三角形最值一边一对角定，则圆定 一、正弦定理 三、圆的视角2sin a b c R sinA sinB C=== 1.建系——坐标运算 2.向量三点共线 二、面积、周长1. 余弦定理与不等式结合 面积最值：222a c ac +≥ 周长最值：2()2a c ac +≤ 2. 边化角（2R 是桥梁） 3. 外接圆 （动态转化）【规律总结2】：课堂总结 畅谈收获1. 通过对比分析，优化做题方法的选择，并加深对“数缺形时少直观,形缺数时难入微”的理解.2. 通过讨论交流，鼓励学习畅谈本节课收获，实现目标达成.学生畅谈，教师评价培养学生自我总结能力课后作业（1）落实整理课堂案 （2）完成课后分层巩固案（3）通过自己发奋的努力，通过高考圆梦学生独立完成巩固课堂所学，达成学习目标《在圆的视角下解三角形最值》学情分析本学期学校提出的全新课堂模式，我们结合自己班级的具体情况，在充分考虑“不同的班级学生差异，同一班级学生差异”的基础上精心备课。
高三数学解三角形教学设计
高三数学解三角形教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高三学生进行解三角形的教学。
解三角形是高中数学的重要内容，涉及正弦定理、余弦定理及三角形面积计算等知识点。
通过本节课的学习，学生将掌握解三角形的常用方法和技巧，提高解决实际问题的能力，并为后续学习几何、三角函数等知识打下坚实基础。
2、教学对象本教学设计的对象为高三学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了初等函数、三角函数、几何等基本知识。
然而，在解三角形方面，学生可能存在以下问题：对正弦定理、余弦定理理解不深刻，运用不熟练；在解决实际问题时，不能灵活运用所学知识。
因此，本教学设计将针对这些问题，采取有效的教学策略，帮助学生提高解题能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理及其推导过程，能够准确运用定理解决三角形相关问题；（2）掌握三角形面积的计算方法，能够灵活运用求解实际问题；（3）学会运用解三角形的方法解决几何问题，如求角度、边长、周长、面积等；（4）提高逻辑推理、数学运算和问题分析能力，形成系统的解题思路。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等方式，引导学生发现并理解正弦定理、余弦定理；（2）采用问题驱动法，设置不同难度的练习题，让学生在实践中掌握解三角形的方法；（3）运用比较、归纳等方法，帮助学生总结解三角形的常用技巧和规律；（4）结合实际案例，培养学生将数学知识应用于解决现实问题的能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们的探究精神和创新意识；（2）通过解三角形的学习，让学生体会数学的实用性和美感，增强数学学习的自信心；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、合作交流的良好习惯；（4）引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活等方面的广泛应用，树立正确的价值观；（5）培养学生面对困难时，勇于挑战、积极进取的精神风貌，形成健康的心理素质。
三、教学策略1、以退为进在教学过程中，采取“以退为进”的策略，即在教学初期适当降低难度，引导学生从简单的解三角形问题入手，逐步掌握基本的解题方法和技巧。
《解三角形》的教学设计
高三（15）班《解三角形》的教学设计高三数学备课组姜友粮【教学目标】：知识与技能目标：掌握正弦定理、余弦定理，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题．过程与方法目标：通过例题的分析和学生的自主探究，使学生掌握解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口。
情感、态度与价值观目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一，通过三角形中的边长与角度之间的数量关系，来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题，从而加深学生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展学生的数学应用意识。
〖教学重点〗边角的转化，正确运用数学语言。
〖教学难点〗应用解三角形知识解决实际问题，灵活运用正弦定理、余弦定理。
【教学设计】：一、复习建构本课题知识结构：1、知识框架与知识点帮助学生回顾公式，为具体运用公式做好必要的知识铺垫，对知识网络进行梳理，从整体上把握本课题的知识结构。
正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用：解三角形主要有两种类型：一是解三角形中的边角互化；二是会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。
“熟记”两个定理的变形及推论(1)正弦定理变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(2)余弦定理推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .类型一：正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．而解斜三角形是高考的一个热点问题．而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．例1：（1）若ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于等于 。
与圆有关的最值问题教学设计
与圆有关的最值问题教学设计好嘞，今天我们聊聊与圆有关的最值问题，这可是个有趣的话题，听着就让人觉得充满了挑战感，嘿嘿。
大家知道，圆这个形状简单却又有无穷的奥秘。
就像咱们生活中的一些小事，有时候最简单的东西却蕴藏着深刻的道理。
圆形在数学中真的是个大明星，既有它独特的魅力，又能带给我们思考的乐趣。
想象一下，你在公园里看到小朋友在玩飞盘，飞盘一飞出去，就画出了一个圆。
这时候，问题来了，飞盘飞得多远才算是最远？这就得涉及到我们的最值问题了。
说到最值，咱们得先搞清楚什么叫“最值”。
就是在某个条件下，找到最大的或者最小的值。
比如说，你要在一个半径为R的圆里找到一个点，让它到圆心的距离最小。
小朋友们，听明白了吗？其实这就像是在找一块大蛋糕，想吃到最大的一块！所以，咱们要找到最适合的位置，这可不是一件简单的事哦。
想想，圆的中心就是那个“甜蜜点”，距离最短，吃起来最方便。
再说了，圆的周长和面积也跟最值有很大关系。
圆的周长公式是2πR，面积则是πR²。
哈哈，听起来像是数学公式背后的秘密，不是吗？如果把这个公式放在生活中，那就是你得根据半径来调整你的“吃货计划”！越大的圆，越大的面积，咱们的“吃货”就能吃得更爽，嘿嘿。
圆形的最值问题在生活中到处都是，比如你在超市选水果，挑最大的西瓜，那也是一种最值问题呢！谁不想买个大西瓜，回家吃得开心呢？再说到圆的切线问题，嘿嘿，这又是个有趣的事儿！想象一下，一个小球在圆边上滚，哇，那可真是风驰电掣。
小球的速度和切线的长度有什么关系呢？我们要想办法求出那个最合适的切线，才能让小球跑得又快又稳。
这就像是赛车，赛车手要根据赛道的曲线来调整自己的速度，不然可就得摔得粉身碎骨了！在这里，咱们要学会利用一些数学工具，比如导数，来找到这个切线的最优解。
说起来复杂，其实只要掌握了窍门，就像骑自行车一样，轻松自在。
还有一个事儿就是圆的内切多边形问题，哇，听着就觉得很神秘。
想象一下，把一个正方形放进圆里，正方形的每个角都碰到圆，这样的状态就是内切。
微专题22“隐形圆”问题(教学案)
微专题22“隐形圆”问题1．能用探究轨迹的思想挖掘题目中的隐形圆问题．2．能通过圆的几何意义等思想方法解决与圆有关的范围(最值)问题．3．深刻体会“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法，能用代数方法处理几何问题．考题导航题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆1．如果圆(x－2a)．2．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为__________．→＋OB→的1．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则||OA 最大值是________．1．已知圆C：(x－3)，则正数m的取值范围是________．2．已知点A (2，3)，B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－1，0)，Q (2，1)，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1，2)． (1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得P A 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．1．已知点M (x ，y )与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离之比为12，那么点M 的坐标满足的关系为_____．2．已知点A (0，1)，B (1，0)，C (t ，0)，D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．1．如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，则满足条件的点B 的坐标为________．冲刺强化训练(22)1．已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点M (x ，y )满足MA ＝2MB ，则动点M 的轨迹方程是_________． 2．若圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，过动点P 分别作圆O 1与圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，则动点P 的轨迹方程是______________．3．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为____________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (1，0)均在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP ⊥BP ，则半径r 的值为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．6．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，若点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________．7．已知点A (－1，0)，B (1，0)，过定点M (0，2)的直线l 上存在点P ，使得P A →·PB →<0，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上的点M 均满足MA 2＋MO 2>10，则实数a 的取值范围是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为 ________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC的长的取值范围是________．11．已知定点O (0，0)，M 是圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的任意一点，问：是否存在不同于点O 的定点A ，使得MOMA为常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区． 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P ． 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)． 现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？。
解三角形中范围与最值问题教学设计
《解三角形中范围与最值问题》教学设计【课题名称】解三角形中范围与最值问题 【课型】微专题复习课 【授课班级】高三（15）班【教学目标】1.通过剖析高考题，利用正弦定理、余弦定理解决一类解三角形范围与最值问题，减少对解三角形最值的畏难情绪.2.通过递进式学习，体验解三角最值的过程，感悟不同方法的要领. 【教学重难点】解三角形范围与最值问题的方法归纳和选择.【考情分析】通过全国卷考点可以发现，解三角形有关的最值与范围问题是高考的重要考点，2011～2021年的高考题考查了9次，以在解答题的第一题或填空题压轴题的形式呈现，值得剖析此类问题. 【教学过程】1.分析思路，提炼方法 例题 （2014年全国Ⅰ卷16）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为【学习导问】条件如何化简？角化边还是边化角？面积如何表示？二．灵动探究，变式演练2.类比迁移，“固化”思维变式探究1：变式探究1 在问题1的基础上，ABC∆周长的取值范围为【学习导问】求ABC∆周长，本质是求什么？周长问题是常见问题，学生思考后说思路由例题的二元函数bc，类比到b+c，思维难度不大，让学生都容易入手变式探究2：ABC∆中，3,60==BCA ，则ACAB2+的最大值为_______.【学习导问】与探究1对比，有何差异？选择什么解题方法更方便？尝试解题，遇到障碍，调整策略由探究1的b+c到探究2的2b+c，让学生体会系数的不同，优选的方法会不同，总结解题经验. 学生可以课后进一步阅读第4页.变式探究3：ABC∆中，3,30==BCA ，点 D满足DCBD2=，则线段 AD 的最大值为______.【学习导问】分析条件，从数入手？还是从形入手？学生尝试借助已有经验，从代数或几何直观的角度求AD的最大值从数的角度，可以建立AD与a,b,c的关系，进而转化222cb+；从形的角度，可以转化为圆弧上的动点到定点D的距离问题，体会数与形之美.三．互动评说，灵活应用3.小组合作，共同提升在中，CBCAAB2,2==，则S△ABC的最大值为( )A．22 B.23C.32D．23【学习任务】1.结合条件，将动态问题具体化2.小组合作，选择合适的方法加以解决.小组合作，相互交流，展示方法例题和变式探究解决了已知对边对角的一类最值与范围问题，如果将问题变为已知一边，另两边成倍数关系ABC∆的问题，考验学生的灵活应用能力. 同时渗透数学文化——阿波罗尼奥斯圆.四．课堂小结 总结解题方法与技巧学生总结学到的知识 归纳整理，提炼解题方法 五．作业布置 （一）课堂反馈练习1.在例题中，若ABC ∆是锐角三角形，则ABC ∆的面积的取值范围为_______；若b ≥a ，则2b ﹣c 的取值范围为_______. 2. ABC ∆中， 30=A ，点 D 满足DA CD 2= ，，则ABC ∆面积的最大值为______.3.ABC ∆中，2=AB ，622=-CB CA ，当角C 最大时，C tan 等于_______. （二）小组合作尝试每个小组利用一个条件和问题编拟一个题目，并解答，再和其它小组交流.条件：在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， 1. 3,3==c C π2.3,3=+=b a C π3.b a c 2,3==4.3,3=+=b a c问题：1.求△ABC 周长的取值范围2.求△ABC 面积的取值范围3.求△ABC 的AB 边的中线长的取值范围独立完成与小组合作完成二轮复习，教师多指导学生解题思路，规范书写，同时学生课后定量练习，解题方法归纳整理也必不可少3=BD【课后反思】___________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。
隐圆类最值问题
隐圆类最值问题一、隐圆类最值问题概述咱来唠唠隐圆类最值问题哈。
这隐圆啊，就像是一个躲猫猫的小调皮，它不会直接告诉你圆在哪，得咱们自己去找它的踪迹。
比如说，有些题目里会给出一些几何关系，像定线段、定角这些，这时候就可能藏着个圆哦。
为啥这么说呢？你看啊，当一个三角形的一条边是定长，它所对的角也是定值的时候，根据圆周角定理的推论，这个三角形的顶点就在一个圆上，这个圆就是所谓的隐圆啦。
二、常见的隐圆类型及最值情况1. 定弦定角型这种类型是比较常见的。
就像刚刚说的那个例子，有一条定长的弦，还有一个定大小的角对着这条弦。
那这个角的顶点的轨迹就是一个圆。
在这种情况下找最值呢，比如说求这个顶点到圆外一点距离的最值。
那最小值就是这个点到圆心的距离减去圆的半径，最大值就是这个点到圆心的距离加上圆的半径。
这就好比你站在一个圆形操场外面，要找你到操场上一个在特定轨迹上运动的人的最近和最远的距离，是不是有点感觉啦？2. 动点到定点距离为定值型这个其实就是直接告诉咱们有个动点到一个定点的距离是不变的，那这个动点的轨迹就是一个圆，圆心就是那个定点，半径就是这个定值。
在求最值的时候，就看这个圆和其他图形或者点的关系啦。
比如求这个动点到一条直线的距离的最值，最小值就是圆心到直线的距离减去半径，最大值就是圆心到直线的距离加上半径。
就好像你手里拿着一根绳子，绳子另一头绑着一个小球，小球能绕着你的手做圆周运动，你要找小球到旁边一堵墙的最近和最远的距离一样。
三、解决隐圆类最值问题的小技巧1. 先找隐圆要练就一双火眼金睛，从题目给出的各种条件里找出隐藏的圆。
这就需要对那些能确定圆的几何关系特别敏感，像刚刚说的定弦定角啦，动点到定点距离为定值啦这些。
一旦发现了隐圆，就像找到了宝藏的入口一样，后面的问题就好解决多了。
2. 确定圆心和半径找到隐圆之后，得把圆心和半径确定下来。
这就像是知道了宝藏在哪个岛上，还得知道这个岛的具体位置和大小一样。
圆心和半径确定了，就可以根据圆和其他元素的关系来求最值啦。
最新高中数学教学案4-05与圆相关的最值问题
【教学目标】了解、掌握与圆有关的最值问题的常用解法：代数法，几何法，参数法【讨论学习】1. 代数法 建立函数关系，并将问题转化为一元函数的最值问题.例1 从点(),3P m 向圆()()22:221C x y +++=引切线PT ，求|PT |的最小值变式 已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 的面积的最小值2. 借助几何意义常见二元函数的几何意义包括斜率、两点间的距离等。
如：的几何意义是动点(),x y 到定点(),a b 的距离，()()22x a y b -+-的几何意义是点(),x y 到点(),a b 的距离的平方，y b x a --的几何意义是动点(),x y 与定点(),a b 连线的斜率，等等 例2 若实数x 、y 满足x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，试求x 2＋y 2的最大、小值.例3 如果实数x ，y 满足()2223x y ++=，求y x的最大值变式 设P 是圆225x y +=上任一点，P 点到直线l ：2100x y -+=的距离记为d ，求d的最小值点评：处理解析几何问题常有两种方法，即代数法和几何法。
几何法具有直观明了的特点，往往能收到事半功倍的效果，我们在学习中要有意识的多加应用。
3. 参数法 利用三角代换将问题转化为三角函数的最值问题例4 若P (),x y 是圆()()22324x y -+-=上任一点，求2x y +的最大值和最小值.【巩固练习】1．圆x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值为（A ） （B ）4 （C ）4 （D ）0 2．实数x ，y 满足方程40x y +-=，则22x y +的最小值为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）123．已知圆的方程x 2＋y 2－8x －2y ＋12=0，P (1，1)是一个定点，则此圆上与P 点距离最远的点的坐标是4．若实数x 、y 满足x 2+y 2=1，则21y x --的最小值为 5．已知圆C ：22(1)(2)25x y -+-=及直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=()m R ∈（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 始终交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程。
解三角形最值说课稿
《解三角形中的最值问题》的说课稿（一）教材分析：解三角形的最值问题既是对前面正余弦定理的知识的巩固和应用，也是对后边解三角形的实际问题打基础和做铺垫，也是近几年高考的重点和热点。
所以特设计本节课。
并制定教学目标：知识目标：1、能利用正弦定理来解决三角形；2、通过具体例子使学生掌握三角形最值的常规方法能力目标：在解题过程中培养学生的逻辑思维能力，三角恒等变形的能力，以及准确的计算能力；德育目标：让学生积极参与对数学问题的谈论，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益，给学生成功的体验，激发学生学习兴趣教学重点：求解三角函数的最值问题；教学难点：正余弦定理与不等式,函数的综合应用；（二）教法与学法：根据教材内容特点，为了更好的突出重点，突破难点，主要采取以学生为主体，教师为主导，训练为主线的指导思想，循序渐进，逐步得到深化的方法；另外抓知识选择切入点，从学生原有的认知水平和所需知识特点入手，教师适当给于指导和提示；学生基础较好，学生基础较好，主要采取独立思考与小组合作相结合的方式来完成本节课。
（三）教学过程：（1）通过简单的问题说清楚求最值方法与规律；（2）通过变式展示近几年高考题的出题类型，总结高考题来源于课本，高于课本，（3）通过真题进一步测试学生的掌握情况。
（4）通过小结归纳提炼方法。
（四）教后反思：（1）本节课基本完成了教学目标任务，教会学生求最值的方法；（2）成功之处：本节课整个设计起点低，坡度缓，循序渐进最终达到高考要求；学生主动参与，体现学生的主体地位；不足之处：对学生引导不够恰当，缺乏灵活变通能力；同时应注意在教学过程中关注学生运算能力的培养，努力解决学生一算就错的问题及学生书写规范的训练。
解三角形的教学设计 高三公开课
《解三角形》教学设计高三数学组一、教材分析：解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。
所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。
二、学情分析：本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。
三、教学目标：知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。
过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。
培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。
四、教学方法：探究式教学、讲练结合五、教学重难点教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。
五、教学过程教学环节教学内容师生活动 设计意图高考定位明确方向 课题：解三角形 【最新考纲】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【重难点】 三角形中的两解问题、边角互化、恒等变换问题．教师引导,把握高考方向，强调复习重难点。
通过高考考纲，让学生熟悉本节课高考考点，以便更好的备考高考。
教学环节教学内容 师生活动 设计意图【典例精讲】考点1 正、余弦定理的简单运用1.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，6b =，23π∠A =，则∠B = ． 2.【2016高考全国I 卷】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，考点1是正余弦定理的简单运用，学生课前完成，教师课堂上学生课前完成例1，目的是让学生提前梳理公式，而课堂上要公式定理基础运用边角互化多向思维2c=，2cos3A=，则b=（）（A）2（B）3（C）2 （D）33.【2013全国II卷】ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ=，则ABC∆的面积为（）（A）232+（B）31+（C）232-（D）31-变式在ABC∆中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a＝2，b＝32，A＝30°，则B＝．考点2解三角形中的边角互化问题例2 △ABC的内角A，B，C 的对边分别为a、b、c，且cbCa-=2cos2求A的大小.变式【2015高考新课标1】已知,,a b c分别是ABC∆内角,,A B C的对边，2sin2sin sinB A C=.（1）若a b=，求cos;B（2）若B=90°，且2=a，求△ABC的面积探究1: 对于例2及变式的求解是否一样都有两种不同的解法？对此你有什么发现？和学生核对答案，并要求学生思考每道题考察的知识点是什么？变式1教师引导学生思考角B的值到底有几个？从而总结如何解答三角形的两解问题.例2要求两位同学上台演板，用两种不同的方法解答，从而和学生归纳出求学生回答每道题考察的知识点是什么？是为了更深化学生对公式的理解，而变式1的训练，是引导学生对三角形两解的问题进行总结，强调大边对大角情况。
解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。
在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。
解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。
近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。
主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。
试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。
而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。
二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。
本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。
题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。
但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。
本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。
三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。
四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。
福建省泉州第五中学高三数学：微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计
微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计泉州五中数学组教学内容：《隐含圆的解三角形最值问题》课型：复习课设计理念：以学生发展为本，体现学生主体地位；以学科素养为根，培养数学运算能力。
一、教学内容分析本节课是在系统复习《解三角形》之后进行的微专题教学，主要针对解三角形中的最值问题，是对《解三角形》的进一步深化、提升。
爱因斯坦曾说：提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。
本节课将以两类隐藏圆的三角形为背景设置最值问题，从试题编拟的视角进行演绎并呈现于课堂，从中总结、归纳解三角形中求最值的常见思路、方法.通过本节课的学习可以从命题的角度居高临下地认识解三角形最值问题，从而让学生学会在制高点处思考、解题.同时，本节课也将渗透逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学素养.因此，学好本节课将有利于学生形成规律性的知识网络和提高数学思维能力.二、学习者特征分析学生已经系统复习并掌握了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形等知识，为微专题《解三角形的最值问题》的复习奠定了基础。
同时，学生的思维普遍活跃，对进一步探索解三角形中的最值问题有了比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望.但学生的学习仅仅停留于解题，往往只能就题论题，且从未曾以命题者的角度研究过试题，未能迅速洞察问题的本质。
三、教学目标设计本着教学内容的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正余弦定理解三角形；能较熟练应用三角函数的性质、基本不等式、导数等求解最值问题。
在经历解题视角的变换中，突破成规，感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在经历编制试题的过程中，培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立科学的治学态度。
并通过例题与变式题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。
四、教学重难点设计基于教材内容的地位、课程标准的要求、根据学生的认知水平和学习经验，确定本节课的学习重难点：正余弦定理的应用，求最值的几种常见方法。
2020届高三数学一轮复习《解三角形中的最值,范围问题》教学设计
高三一轮复习：解三角形中的最值,范围问题一、教材分析：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。
而三角形中的最值问题又是一个重点。
处理这个最值问题解决方法主要有两种，分别是建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性解决。
这两种方法对学生的思维训练而言是很有价值的。
二、学情分析：授课对象为高三文科平行班学生。
本课之前，学生已经学习了三角函数和正弦余弦定理有关内容，但是本课综合性强，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，学生学习方面比较困难。
因此在教学过程中必须调动学生积极思考和留下给学生独立思考的时间。
我采用与新课标要求相一致的新的教学方式，即互动式的教学与多变式教学相结合的方法，带领学生主动参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，在师生互动、生生互动中实现教学任务和目标。
三、教学重难点：重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用。
难点：掌握解三角形中处理不等关系的两种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值四、教学过程（一）解三角形公式回顾1.正弦定理：，其中为外接圆的半径2.余弦定理：3.面积公式： S =12ab sinC =12bcsinA =12ac sinB2sin sin sin a b c R A B C===R ABC V 2222cos a b c bc A =+-（二）例题精讲已知的内角的对边分别为，若向量，且.（1）求角的值；（2）求sinB+sinC 的取值范围；[设计意图]： 本题将引导学生利用三角恒等变换和三角函数图像解决取值范围问题。
是对三角函数知识的一个巩固。
试题分析：（1）由，得，题目中边角共存，利用正弦定理化为纯角问题可得(2) 介绍求解三角形取值范围的第一种解法，用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，把角的变量个数减少，这种思路也是多元取值范围问题的常用方法。
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微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计
泉州五中数学组教学内容：《隐含圆的解三角形最值问题》
课型：复习课
设计理念：以学生发展为本，体现学生主体地位；以学科素养为根，培养数学运算能力。
一、教学内容分析
本节课是在系统复习《解三角形》之后进行的微专题教学，主要针对解三角形中的最值问题，是对《解三角形》的进一步深化、提升。
爱因斯坦曾说:提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。
本节课将以两类隐藏圆的三角形为背景设置最值问题，从试题编拟的视角进行演绎并呈现于课堂，从中总结、归纳解三角形中求最值的常见思路、方法．通过本节课的学习可以从命题的角度居高临下地认识解三角形最值问题，从而让学生学会在制高点处思考、解题．同时，本节课也将渗透逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学素养．因此，学好本节课将有利于学生形成规律性的知识网络和提高数学思维能力．
二、学习者特征分析
学生已经系统复习并掌握了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形等知识，为微专题《解三角形的最值问题》的复习奠定了基础。
同时，学生的思维普遍活跃，对进一步探索解三角形中的最值问题有了比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望．但学生的学习仅仅停留于解题，往往只能就题论题，且从未曾以命题者的角度研究过试题，未能迅速洞察问题的本质。
三、教学目标设计
本着教学内容的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正余弦定理解三角形；能较熟练应用三角函数的性质、基本不等式、导数等求解最值问题。
在经历解题视角的变换中，突破成规，感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在经历编制试题的过程中，培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立科学的治学态度。
并通过例题与变式题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。
四、教学重难点设计
基于教材内容的地位、课程标准的要求、根据学生的认知水平和学习经验，确定本节课的学习重难点：
正余弦定理的应用，求最值的几种常见方法。
五、教学策略选择
以任务驱动，合作探究的方式围绕教学目标展开教与学，以“问题串”的形式引导学生主动建构，积极探究、思考。
六、教学媒体选择
学案，三角板，投影仪，几何画板软件，ppt课件，多媒体教室.
七、教学过程预设
附：板书设计。