第五章 极限分析法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 极限分析法
5.1 基本假定 5.2 极限荷载的上、下限定理 5.3 应用上限定理极限分析法
下载地址：ftp://202.197.185.21:2007 QQ:46503088
5.1 基本假定
理想弹塑性体和刚塑性体在荷载作用下，当荷载达到 某一数值并保持不变的情况下，物体会发生“无限”的变 形——进入塑性流动状态，由于只限于讨论小变形的情 况，通常所称的极限状态可以理解为是开始产生塑性流动 时的塑性状态，而极限荷载也可以理解为达到极限状态时 所对应的荷载。研究表明，如果绕过弹塑性的变形过程， 直接求解极限状态下的极限荷载及其速度分布，往往会使 问题的求解容易得多，这种分析常称为极限分析。在极限 分析中对材料作刚塑性假设和理想弹塑性假设得到的极限 状态是一致的，相应的极限荷载也是相同的。
于是可以得到Coulomb材料沿速度间断面Sl的能量消散率
Ẇ
=
∫ (τ Si
−σ n
tanϕ )[∆vt ]d Si
当φ=0，上式就蜕化成 ∫ Ẇ = Siτ (∆vit ) d Si
当速度间断面上的应力为屈服应力时：
D = (τ − σn tan ϕ )γ̇ p
Tresca材料：
∫ ∫ Ẇ =
极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性体)处于极 限状态的普遍定理——上限定理和下限定理求解极限荷载 的一种分析方法。
与第六章相似，把服从Mohr-Coulomb 屈服条件的材料 称为Coulomb材料，服从Tresca屈服条件的材料称为Tresca 材料。
在塑性流动状态，屈服应力与塑性应变之间没有直接 的关系，屈服应力与相应的塑性应变率之间的关系可由流 动规则确定。在这里限于介绍服从相关联流动规则的情况。 塑性应变率分量之间的关系可表示为：
tanϕ )
∆vt
dS
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] 将上式和右式相减
S Tivi d S +
V Fivi dV
=
V σijξij dV +
c
SD
∆vt
dS
并注意到S=ST+SU，在ST上有 Ti = Ti0 = Ti ，得
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ [ ] SU
Ti − Ti*
vi d S =
V
σ ij
−
V ST SU 体积V和边界ST、SU
1
在此物体上，设定一组应力场σij*，若满足以下条
件，则称σij* 为静力容许的应力场。
(1)在体积V内到处满足平衡方程
σ* ij , j
+
Fi
=
0
式中， Fi为给定的体力。
(2)在边界ST 上，满足边界条件
Ti*
=
σ
* ij
n
j
= Ti
式中，Ti*为与应力σij*对应的表面力；nj为边界 上外法线
(1) 在边界SU上满足边界条件 vi* = vi
式中，vi 为边界SU上给定的体力。 (2)在体积V内满足几何方程
( ) ξi*j
=
1 2
v* i,j
+
v* j ,i
应变速率
由以上定义可知，在极限状态时的真实速度场必定是 机动容许的速度场，而机动容许的速度场并不一定是极限 状态时的真实速度场。
5.2.2 虚功率方程
τ
Si
[∆vt
]d
Si
=
[ ] k
Si
∆vt
dSi
Coulomb材料： ∫ ∫ Ẇ = Si (τ −σ n tanϕ )[∆vt ]d Si = Si c [∆vt ]d Si
计算所有速度间断面上的能量消散率，结合虚功率方程， 可以得到存在速度间断面的虚功率方程：
∫ ∫ ∫ 无速度间断面 S Ti*vi* d S + V Fivi* dV = V σi*jξi*j dV
Coulomb材料的屈服函数也可表示为：
⎛ ⎜⎝
σ1
+σ 2
3
+百度文库
c
cot
ϕ
⎞⎟⎠sin
ϕ
=
σ1
−σ 2
3
F = τ − c −σ n tan ϕ = 0
于是：
γ̇ p ε̇ p
=
∂F ∂τ
∂F = − cot ϕ ∂σ n
法向应力σn方向塑性应变率
塑性剪应变率
Tresca材料塑性状态体积应变等于零：ε̇1p ε̇3p = −1 Coulomb材料体积应变不等于零，产生剪胀现象。
5.2 极限荷载的上、下限定理
5.2.1 静力场和机动场的概念
在极限分析中，经常要应用静力容许的应力场(简称静力 场)和机动容许的速度场(简称机动场)的基本概念。
如右图所示，设物体的体积为 V，其表面S分为两部分，一部分是 表面力已知的边界(简称荷载边 界)ST，其余部分为表面速度已知的 边界(简称位移边界)SU。
，则方程的左端：
∫ ∫ ∫ ( ) ∫ S Ti*vi* d S +
V Fivi* dV =
V
⎡⎣
σ* ij ,j
+
Fi
vi* + σi*jvi*,j ⎤⎦ dV =
V σi*jξi*j dV
于是，虚功率方程就得到证明。
高斯公式：
∫∫∫ V
⎛ ⎜ ⎝
∂P ∂x
+
∂Q ∂x
+
∂R ∂z
⎞ ⎟
dV
⎠
=
�∫∫ Σ
的方向余弦； Ti 为边界 上给定的表面力。 (3)在体积V内不违反屈服条件，若已知屈服条件(方程)
为f(σij) ，则有
( ) f
σ
* ij
≤0
由以上定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应 力场必定是静力容许的应力场。然而静力容许的应力场并 不一定是极限状态时的真实应力场。
在物体上，设定一组速度场vi*，若满足以下条件，则称 为机动容许的速度场。
又设有另一静力容许的应力场σij*，对应的表面力为 Ti*，在真实速度间断面上与速度跃度相对应的剪应力和法 向应力分别为τ和σn，那么σij*, Ti*, τ和σn在同一速度 场上的虚功率方程
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] S Ti*vi d S +
V Fivi dV =
V
σ
ξ*
ij ij
dV
+
(τ
SD
−σn
考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算在 速度间断面上的塑性能消散。Tresca材料单位体积塑性变形 能消散率D可用应力和相应的应变率的乘积得出，取
D = τγ̇ p
速度间断面可以认为是一个薄层变形区，位移速度在
层内急剧而连续的变化，两侧相对速度为Δv，于是长度为 l，厚度为h的间断面内的能量消散率为
I
Ω
σn2
II
τn2 σt2
l
l
I τn1
σt1
σn1
2
设物体中存在若干个应力间断面 SK( K=1,2,3,…)， 将物体分成有限个部分。在每一部分，应力是连续变化 的(应力间断面不可能同时成为速度间断面)。设在间断面 SK的一边作用有表面力Tni+，而另一边作用着Tni- 。根据 任一间断面上元素的平衡条件得到： Tn+i + Tn−i = 0
−σ3 2
F = σ1 (1− sin ϕ ) −σ3 (1+ sin ϕ ) −2 ccos ϕ =0
于是：
ε̇1p ε̇3p
= − 1− sin ϕ 1+ sin ϕ
⎛ ⎜
sin
=−⎜
⎜ sin
ϕ
2 ϕ
− cos + cos
ϕ
2 ϕ
2
⎞ ⎟
⎟ ⎟
=−
tan
2
⎛ ⎜⎝
π 4
−
ϕ 2
⎞ ⎟⎠
⎝ 2 2⎠
ε̇1p ε̇3p
=
∂F ∂σ1
∂F ∂σ 3
屈服函数
d
ε
p ij
=
dλ
∂F ∂σ ij
对于Tresca材料，屈服函数可表示为：
F = σ1 −σ3 − 2k = 0
于是： ε̇1p ε̇3p = −1
对于Coulomb材料，屈服函数可表示为：
⎛ ⎜⎝
σ1
+σ3 2
+
c cot
ϕ
⎞⎟⎠sin
ϕ
=
σ1
Ti*
=
σ
* ij
n
j
代入虚功率方程左端的面积分
部分，并利用高斯积分公式，可得
∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) STi*vi* d S =
S σi*j njvi* d S =
V
σi*j vi*
dV
,j
=
V
σi*j ,j vi* + σi*j vi*,j
dV
根据平衡微分方程
σ* ij, j
+ Fi
=
0
及关系式
虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静力容许的应 力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功。虚功率方程可 表示为：
静力容许
∫ ∫ ∫ S Ti*vi* d S +
V Fivi* dV
=
V
σ
ξ* *
ij ij
dV
机动容许 左端表示外力(面力和体力)的虚功率，右端表示虚变形功率。
现证明如下：
将应力边界条件
∫ ∫ ∫ ∑ ∫ ( )[ ] ⇒ S Ti*vi* d S + V Fivi* dV = V σi*jξi*j dV +
Si τ − σn tan ϕ ∆vt d Si
5.2.4 上限定理和下限定理
(1) 下限定理
当物体产生塑性变形达到极限状态时，在给定速度的 边界SU上，真实的表面力在给定的速度上所作的功率恒大 于或等于其他任意静力容许的应力场所对应的表面力在同 一给定速度上所作的功率。
ST
h
V
Δvhεn φ h
Δv ST
V
l
l
Tresca材料的速度间断面
Coulomb材料的速度间断面
Tresca材料的速度改变方向与间 断线方向一致，即速度间断线两 侧的法向速度连续，只有切向速 度有跳跃性改变。
Coulomb材料的间断线两侧不仅 切向速度不连续，法向速度也不 连续。虽然两侧法向速度不连 续，但物体仍保持连续，不产生 裂缝。 γ̇ p = −ε̇ p cot ϕ
σ
* ij
ξij dV +
SD ⎡⎣c − (τ −σ n tanϕ )⎤⎦ ∆vt
dS
c − (τ − σ n tanϕ ) ≥ 0
( ) 对于刚性区内的微元体，ξij=0，故
σ ij
−
σ
* ij
ξij
=0
对于对塑性区内的点，真实
应力σij的矢量末端处于屈服曲 面 上，而 的末端则可能在屈服
曲面上，也可能在屈服曲面内
区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生
间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件，
而且两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个
区内的剪应力相等，即：
σ
n1
=
σ
；
n2
τ n1
= τ n2
只有两个区内的沿间断线切线方向的正应力才可能出现 间断 σ t1 ≠ σ t 2
l ψθ
β α
II l
Ẇ = Dlh = τlhγ̇ p = τl ∆v
进一步可以得到TrescaẆ
材料沿速度间断面S ∫=
( ) τ
Si
∆vit
d Sl
i
的能量消散率
∫ Ẇ = Si τ (∆vit ) d Si
Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：
D = (τ − σn tan ϕ )γ̇ p
l
在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中，极限荷 载为最大。根据下限定理可以计算极限荷载的下限，通常 称为极限荷载的下限解。
3
下限定理的证明：
对于Coulomb材料，设σij为物体达到极限状态时的真 实应力场，其对应的表面力为Ti，vi为真实速度场，依据 这一速度场由几何方程求得的真实应变速率为ξij，真实 速度场可能有速度间断面SD，其上速度跃度为[Δvt]；在SU 上给定的速度为 vi ，在ST上给定的表面力为 Ti ，给定的 体力为Fi。
(见右图)，则根据Drucker公设得
( ) 到
σ ij
−
σ
* ij
ξij ≥ 0
于是：
σ ij
−
σ
* ij
ξij
σ
* ij
o
σ ij
屈服曲面
∫ ( ) SU Ti −Ti* vi dS ≥ 0
上面推导对Tresca材料同样成立。于是得出，物体处于塑 性状态时，极限荷载的功率大于或等于静力容许的应力场所对 应的荷载的功率，这也就证明了在所有的静力场所对应的荷载 中，极限荷载为最大，或者说，任何静力容许的应力场所对应 的荷载是极限荷载的下限。于是，下限定理得到证明。
D = τγ̇ p + σ nε̇np
γ̇ p ε̇ p = − cot ϕ ε̇ p = −γ̇ p tan ϕ
h 于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为
Ẇ = Dlh = (τ − σn tan ϕ )lhγ̇ p = (τ − σ n tan ϕ )l ∆v cos ϕ
∆v cosϕ 就是间断面相对速度在切线方向的分量，可记为∆vt
( P cos
α
+
Q cos
β
+
Rcos
γ
)d
s
( ) ( ) 关系式：
σ
v* *
ij i,
j
=
σ
* ij
vi*,
j
+
σ
* ji
v*j
,i
2 = σi*j vi*,j + v*j ,i
2 = σi*j ξi*j
5.2.3 存在应力间断面和速度间断面的虚 功率方程
(1)存在应力间断面的虚功率方程
应力间断线实际上是一薄层过渡区，在这薄层过渡
对由间断面分成的每一部分应用虚功率方程，相应的 面积分别按每一部分的表面面积完成。把各部分的虚功 率方程加在一起，可以发现沿着应力间断面的全部积分 相互抵消。因此，应力间断面的存在，并不影响虚功率 方程的形式。
(1)存在速度间断面的虚功率方程
速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄
层的极限情况。
由于真实应力场一定是静力容许的应力场，所以极限
状态时的虚功率公式
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] S Tivi d S +
V Fivi dV
=
V σijξij dV +
c
SD
∆vt
dS
∫ ∫ ∫ ∑ ∫ [ ] S Ti*vi* d S + V Fivi* dV = V σi*jξi*j dV +
Si (τ − σn tan ϕ ) ∆vt d Si
5.1 基本假定 5.2 极限荷载的上、下限定理 5.3 应用上限定理极限分析法
下载地址：ftp://202.197.185.21:2007 QQ:46503088
5.1 基本假定
理想弹塑性体和刚塑性体在荷载作用下，当荷载达到 某一数值并保持不变的情况下，物体会发生“无限”的变 形——进入塑性流动状态，由于只限于讨论小变形的情 况，通常所称的极限状态可以理解为是开始产生塑性流动 时的塑性状态，而极限荷载也可以理解为达到极限状态时 所对应的荷载。研究表明，如果绕过弹塑性的变形过程， 直接求解极限状态下的极限荷载及其速度分布，往往会使 问题的求解容易得多，这种分析常称为极限分析。在极限 分析中对材料作刚塑性假设和理想弹塑性假设得到的极限 状态是一致的，相应的极限荷载也是相同的。
于是可以得到Coulomb材料沿速度间断面Sl的能量消散率
Ẇ
=
∫ (τ Si
−σ n
tanϕ )[∆vt ]d Si
当φ=0，上式就蜕化成 ∫ Ẇ = Siτ (∆vit ) d Si
当速度间断面上的应力为屈服应力时：
D = (τ − σn tan ϕ )γ̇ p
Tresca材料：
∫ ∫ Ẇ =
极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性体)处于极 限状态的普遍定理——上限定理和下限定理求解极限荷载 的一种分析方法。
与第六章相似，把服从Mohr-Coulomb 屈服条件的材料 称为Coulomb材料，服从Tresca屈服条件的材料称为Tresca 材料。
在塑性流动状态，屈服应力与塑性应变之间没有直接 的关系，屈服应力与相应的塑性应变率之间的关系可由流 动规则确定。在这里限于介绍服从相关联流动规则的情况。 塑性应变率分量之间的关系可表示为：
tanϕ )
∆vt
dS
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] 将上式和右式相减
S Tivi d S +
V Fivi dV
=
V σijξij dV +
c
SD
∆vt
dS
并注意到S=ST+SU，在ST上有 Ti = Ti0 = Ti ，得
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ [ ] SU
Ti − Ti*
vi d S =
V
σ ij
−
V ST SU 体积V和边界ST、SU
1
在此物体上，设定一组应力场σij*，若满足以下条
件，则称σij* 为静力容许的应力场。
(1)在体积V内到处满足平衡方程
σ* ij , j
+
Fi
=
0
式中， Fi为给定的体力。
(2)在边界ST 上，满足边界条件
Ti*
=
σ
* ij
n
j
= Ti
式中，Ti*为与应力σij*对应的表面力；nj为边界 上外法线
(1) 在边界SU上满足边界条件 vi* = vi
式中，vi 为边界SU上给定的体力。 (2)在体积V内满足几何方程
( ) ξi*j
=
1 2
v* i,j
+
v* j ,i
应变速率
由以上定义可知，在极限状态时的真实速度场必定是 机动容许的速度场，而机动容许的速度场并不一定是极限 状态时的真实速度场。
5.2.2 虚功率方程
τ
Si
[∆vt
]d
Si
=
[ ] k
Si
∆vt
dSi
Coulomb材料： ∫ ∫ Ẇ = Si (τ −σ n tanϕ )[∆vt ]d Si = Si c [∆vt ]d Si
计算所有速度间断面上的能量消散率，结合虚功率方程， 可以得到存在速度间断面的虚功率方程：
∫ ∫ ∫ 无速度间断面 S Ti*vi* d S + V Fivi* dV = V σi*jξi*j dV
Coulomb材料的屈服函数也可表示为：
⎛ ⎜⎝
σ1
+σ 2
3
+百度文库
c
cot
ϕ
⎞⎟⎠sin
ϕ
=
σ1
−σ 2
3
F = τ − c −σ n tan ϕ = 0
于是：
γ̇ p ε̇ p
=
∂F ∂τ
∂F = − cot ϕ ∂σ n
法向应力σn方向塑性应变率
塑性剪应变率
Tresca材料塑性状态体积应变等于零：ε̇1p ε̇3p = −1 Coulomb材料体积应变不等于零，产生剪胀现象。
5.2 极限荷载的上、下限定理
5.2.1 静力场和机动场的概念
在极限分析中，经常要应用静力容许的应力场(简称静力 场)和机动容许的速度场(简称机动场)的基本概念。
如右图所示，设物体的体积为 V，其表面S分为两部分，一部分是 表面力已知的边界(简称荷载边 界)ST，其余部分为表面速度已知的 边界(简称位移边界)SU。
，则方程的左端：
∫ ∫ ∫ ( ) ∫ S Ti*vi* d S +
V Fivi* dV =
V
⎡⎣
σ* ij ,j
+
Fi
vi* + σi*jvi*,j ⎤⎦ dV =
V σi*jξi*j dV
于是，虚功率方程就得到证明。
高斯公式：
∫∫∫ V
⎛ ⎜ ⎝
∂P ∂x
+
∂Q ∂x
+
∂R ∂z
⎞ ⎟
dV
⎠
=
�∫∫ Σ
的方向余弦； Ti 为边界 上给定的表面力。 (3)在体积V内不违反屈服条件，若已知屈服条件(方程)
为f(σij) ，则有
( ) f
σ
* ij
≤0
由以上定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应 力场必定是静力容许的应力场。然而静力容许的应力场并 不一定是极限状态时的真实应力场。
在物体上，设定一组速度场vi*，若满足以下条件，则称 为机动容许的速度场。
又设有另一静力容许的应力场σij*，对应的表面力为 Ti*，在真实速度间断面上与速度跃度相对应的剪应力和法 向应力分别为τ和σn，那么σij*, Ti*, τ和σn在同一速度 场上的虚功率方程
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] S Ti*vi d S +
V Fivi dV =
V
σ
ξ*
ij ij
dV
+
(τ
SD
−σn
考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算在 速度间断面上的塑性能消散。Tresca材料单位体积塑性变形 能消散率D可用应力和相应的应变率的乘积得出，取
D = τγ̇ p
速度间断面可以认为是一个薄层变形区，位移速度在
层内急剧而连续的变化，两侧相对速度为Δv，于是长度为 l，厚度为h的间断面内的能量消散率为
I
Ω
σn2
II
τn2 σt2
l
l
I τn1
σt1
σn1
2
设物体中存在若干个应力间断面 SK( K=1,2,3,…)， 将物体分成有限个部分。在每一部分，应力是连续变化 的(应力间断面不可能同时成为速度间断面)。设在间断面 SK的一边作用有表面力Tni+，而另一边作用着Tni- 。根据 任一间断面上元素的平衡条件得到： Tn+i + Tn−i = 0
−σ3 2
F = σ1 (1− sin ϕ ) −σ3 (1+ sin ϕ ) −2 ccos ϕ =0
于是：
ε̇1p ε̇3p
= − 1− sin ϕ 1+ sin ϕ
⎛ ⎜
sin
=−⎜
⎜ sin
ϕ
2 ϕ
− cos + cos
ϕ
2 ϕ
2
⎞ ⎟
⎟ ⎟
=−
tan
2
⎛ ⎜⎝
π 4
−
ϕ 2
⎞ ⎟⎠
⎝ 2 2⎠
ε̇1p ε̇3p
=
∂F ∂σ1
∂F ∂σ 3
屈服函数
d
ε
p ij
=
dλ
∂F ∂σ ij
对于Tresca材料，屈服函数可表示为：
F = σ1 −σ3 − 2k = 0
于是： ε̇1p ε̇3p = −1
对于Coulomb材料，屈服函数可表示为：
⎛ ⎜⎝
σ1
+σ3 2
+
c cot
ϕ
⎞⎟⎠sin
ϕ
=
σ1
Ti*
=
σ
* ij
n
j
代入虚功率方程左端的面积分
部分，并利用高斯积分公式，可得
∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) STi*vi* d S =
S σi*j njvi* d S =
V
σi*j vi*
dV
,j
=
V
σi*j ,j vi* + σi*j vi*,j
dV
根据平衡微分方程
σ* ij, j
+ Fi
=
0
及关系式
虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静力容许的应 力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功。虚功率方程可 表示为：
静力容许
∫ ∫ ∫ S Ti*vi* d S +
V Fivi* dV
=
V
σ
ξ* *
ij ij
dV
机动容许 左端表示外力(面力和体力)的虚功率，右端表示虚变形功率。
现证明如下：
将应力边界条件
∫ ∫ ∫ ∑ ∫ ( )[ ] ⇒ S Ti*vi* d S + V Fivi* dV = V σi*jξi*j dV +
Si τ − σn tan ϕ ∆vt d Si
5.2.4 上限定理和下限定理
(1) 下限定理
当物体产生塑性变形达到极限状态时，在给定速度的 边界SU上，真实的表面力在给定的速度上所作的功率恒大 于或等于其他任意静力容许的应力场所对应的表面力在同 一给定速度上所作的功率。
ST
h
V
Δvhεn φ h
Δv ST
V
l
l
Tresca材料的速度间断面
Coulomb材料的速度间断面
Tresca材料的速度改变方向与间 断线方向一致，即速度间断线两 侧的法向速度连续，只有切向速 度有跳跃性改变。
Coulomb材料的间断线两侧不仅 切向速度不连续，法向速度也不 连续。虽然两侧法向速度不连 续，但物体仍保持连续，不产生 裂缝。 γ̇ p = −ε̇ p cot ϕ
σ
* ij
ξij dV +
SD ⎡⎣c − (τ −σ n tanϕ )⎤⎦ ∆vt
dS
c − (τ − σ n tanϕ ) ≥ 0
( ) 对于刚性区内的微元体，ξij=0，故
σ ij
−
σ
* ij
ξij
=0
对于对塑性区内的点，真实
应力σij的矢量末端处于屈服曲 面 上，而 的末端则可能在屈服
曲面上，也可能在屈服曲面内
区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生
间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件，
而且两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个
区内的剪应力相等，即：
σ
n1
=
σ
；
n2
τ n1
= τ n2
只有两个区内的沿间断线切线方向的正应力才可能出现 间断 σ t1 ≠ σ t 2
l ψθ
β α
II l
Ẇ = Dlh = τlhγ̇ p = τl ∆v
进一步可以得到TrescaẆ
材料沿速度间断面S ∫=
( ) τ
Si
∆vit
d Sl
i
的能量消散率
∫ Ẇ = Si τ (∆vit ) d Si
Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：
D = (τ − σn tan ϕ )γ̇ p
l
在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中，极限荷 载为最大。根据下限定理可以计算极限荷载的下限，通常 称为极限荷载的下限解。
3
下限定理的证明：
对于Coulomb材料，设σij为物体达到极限状态时的真 实应力场，其对应的表面力为Ti，vi为真实速度场，依据 这一速度场由几何方程求得的真实应变速率为ξij，真实 速度场可能有速度间断面SD，其上速度跃度为[Δvt]；在SU 上给定的速度为 vi ，在ST上给定的表面力为 Ti ，给定的 体力为Fi。
(见右图)，则根据Drucker公设得
( ) 到
σ ij
−
σ
* ij
ξij ≥ 0
于是：
σ ij
−
σ
* ij
ξij
σ
* ij
o
σ ij
屈服曲面
∫ ( ) SU Ti −Ti* vi dS ≥ 0
上面推导对Tresca材料同样成立。于是得出，物体处于塑 性状态时，极限荷载的功率大于或等于静力容许的应力场所对 应的荷载的功率，这也就证明了在所有的静力场所对应的荷载 中，极限荷载为最大，或者说，任何静力容许的应力场所对应 的荷载是极限荷载的下限。于是，下限定理得到证明。
D = τγ̇ p + σ nε̇np
γ̇ p ε̇ p = − cot ϕ ε̇ p = −γ̇ p tan ϕ
h 于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为
Ẇ = Dlh = (τ − σn tan ϕ )lhγ̇ p = (τ − σ n tan ϕ )l ∆v cos ϕ
∆v cosϕ 就是间断面相对速度在切线方向的分量，可记为∆vt
( P cos
α
+
Q cos
β
+
Rcos
γ
)d
s
( ) ( ) 关系式：
σ
v* *
ij i,
j
=
σ
* ij
vi*,
j
+
σ
* ji
v*j
,i
2 = σi*j vi*,j + v*j ,i
2 = σi*j ξi*j
5.2.3 存在应力间断面和速度间断面的虚 功率方程
(1)存在应力间断面的虚功率方程
应力间断线实际上是一薄层过渡区，在这薄层过渡
对由间断面分成的每一部分应用虚功率方程，相应的 面积分别按每一部分的表面面积完成。把各部分的虚功 率方程加在一起，可以发现沿着应力间断面的全部积分 相互抵消。因此，应力间断面的存在，并不影响虚功率 方程的形式。
(1)存在速度间断面的虚功率方程
速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄
层的极限情况。
由于真实应力场一定是静力容许的应力场，所以极限
状态时的虚功率公式
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] S Tivi d S +
V Fivi dV
=
V σijξij dV +
c
SD
∆vt
dS
∫ ∫ ∫ ∑ ∫ [ ] S Ti*vi* d S + V Fivi* dV = V σi*jξi*j dV +
Si (τ − σn tan ϕ ) ∆vt d Si