八年级数学上册《直角三角形的性质》课件

C
B
∠C=∠1 ∠A=∠2
定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
练习2： 2、已知：在Rt△ABC中,∠ABC=90°，BM是AC边上的中线 2 （3）若BD是AC边上的高，则与∠A相等的角有_____个.
D A C B A C B C M B A
D M
已知：如图，在△ ABC中，AD ⊥ BC， E、F分别是AB、 AC的中点，且DE=DF 中点 求证：AB=AC.
（图1） E
又∵ P是BE边上的中点 （已知） ∴ MP ⊥ BE
（等腰三角形三线合一）
如图2，在Rt △ ABC与Rt △ ACE中， ∠ ABC= ∠ AEC=90 °， 点M是AC边上的中点，联结BM、EM、BE，点P是BE的中点. 中点 中点 求证：MP ⊥ BE .
B
证明：
A P
M C
（图1） E
1 假命题） （1）在△ACB中，CD是AB边上的中线，则CD= 2 AB.（
（2）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，则 1 CD= AB.（假命题）
2
（3）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AD是BC上的中线，则 1 AD= AB.（假命题 A ）
2
C
D
B
定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）练习册 19.8(1)
C
B
F
已知：如图，在Rt△ ABC中， ∠ C=90 ° ， AD ∥ BC， 1 ∠CBE= ∠ABE . 求证：ED=2AB.
2
分析： 作△AED边ED上的中线AF ∠ ABE= 2∠ CBE ∠ AFB=2 ∠D
A
D F
∠ ABE= ∠ AFB
AB=AF ED=2AB.
练习2： 2、已知：在Rt△ABC中,∠ABC=90°，BM是AC边上的中线
16 8 8 （1）若BM=8，则AM=____，CM=____，AC=___；
50 （2）若∠C=25°，∠AMB=______°；
（3）若BD是AC边上的高，则与∠A相等的角有_____个.
A M
1 2
1 BM=AM=CM= 2 AC
（图3）
直角三角形的两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A M
2 M 2 1
A
C
1
B
C
B
（1）阅读教材P115页，性质定理2的证明；
A
（2）用右图的添线方法，完成性质定理2的证明 已知：在Rt△ABC中，ACB=90°， CM是斜边AB上的中线.
1 求证： CM= AB. 2
E
M
直角三角形的判定定理
有两个角互余的三角形是直角三角形。
练习：(直接写出答案） 1）Rt△ABC中，∠C=90 ° ，∠B=28°， 则∠A=__. 2） 若∠C =∠A+∠B, 则△ABC是______三 角形. 3）在△ABC中，∠A=90°， ∠B=3∠C， 求∠B，∠C的度数。
知识小结
1、直角三角形判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形 2、直角三角形性质定理
直角三角形的两个锐角互余
定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
已知： ∵ 在Rt△ABC中，ACB=90°， CM是斜边AB上的中线
1 求证：CM= 2 AB. ∴
A A
M
C1
C
Bຫໍສະໝຸດ Baidu
M
E B
F
M
C
C
B
定理2
直角 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 斜边 中线
练习2： 1、判断下列命题是真命题还是假命题：
∵ ∠ ABC= ∠ AEC=90 ° M是AC边上的中点 （已知） 1 1 ∴ BM= AC ，BE= AC 2 2 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴ BM= EM （等量代换） 又∵ P是BE边上的中点 （已知） ∴ MP ⊥BE （等腰三角形三线合一）
（图2） M
C
如图3，在△ACD中，AE、CB分别是边CD、AD上的高，M、 P分别是AC、BE的中点. 求证：MP ⊥ BE .
直 角 边 斜边
C
直角边
B
猜想：直角三角形的两个锐角有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余
定理1
直角三角形的两个锐角互余
A
已知：在Rt △ABC中，∠C=90 ° ∵
求证：∠A +∠B=90 °. ∴ 证明： ∵在 △ABC中， ∠A +∠B+∠C=180 ° （三角形的内角和是180 °）
又∵∠ C=90 °（已知）
证明：
D
联结ME、MB ∵ ∠AEC= ∠ABC=90 ° M是AC边上的中点 （已知） 1 1 ∴ME= AC ，MB= AC 2 2 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） C
B
P
E
A
∴ ME= MB （等量代换）
又∵ P是BE边上的中点 （已知） ∴ MP ⊥ BE （等腰三角形三线合一）
M
E
B
C
A
直角三角形斜边上的中点 等腰三角形底边上的中点
B
E
F
D
C
如图1，在Rt △ ABC与Rt △ ACE中， ∠ ABC= ∠ AEC=90 °， 中点 点M是AC边上的中点，联结BM、EM、BE，点P是BE的中点. 中点 求证： MP ⊥ BE .
B
证明：
A P
M C ∵ ∠ ABC= ∠ AEC=90 ° M是AC边上的中点 （已知） 1 1 ∴ BM= AC ，EM= AC 2 2 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ BM= EM （等量代换）
☞ 上节回顾与思考 证明命题的一般步骤:
(1)根据题意,画出图形；
胜者的 “钥匙”
(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已 知”中写出条件，在“求证”中写出结论； (3)在“证明”中写出推理过程.
依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证 明过程；检查表达过程是否正确、完善.
1、什么是直角三角形？ 有一个内角是直角的三角形叫直角三角 直角三角形可表示： Rt△ABC 形． A
C
B
∴ ∠A +∠B=90 °（等式性质）
定理1
直角三角形的两个锐角互余
练习1： 在Rt △AB C中，∠ACB=90 °
15 （1）如果∠B=75°，则 ∠A=___ °;
C A D
2 1
B
50 （2）如果∠A-∠B=10°,则 ∠ A=____°, 40 ∠ B=____°; （3）如果CD是AB边上的高, 4 图中有____对互余的角; ∠A +∠2=90 ° 有___对相等的锐角. 2 ∠A +∠B=90 ° ∠1 +∠B=90 ° ∠1 +∠2=90 °