曲面积分的面积讲解

z
2 y
d

3d
xyzdS xyzdS xy1 x y 3d

4
Dxy
Dxy : 0 y 1 x,
3
1
xdx
1x y1 x ydy
0
0
0 x1

3
1 0
x
1


x
y2 2

y3 1 x
3
0
dx
1 1 x3

？
z z x, y
x, y, z在上变化
dS
1

z
2 x

z
2 y
d
曲面积分元素为
: z z x, y
dS
1

z
2 x

x,
y


z
2 y

x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS

f x, y, z x, y
几何形体上的积分 G f P dg
重积分
f x, yd ; f x, y, zdv
D

对弧长的（第一型）曲线积分
L f x, yds; f x, y, zds
对面积的（第一型）曲面积分
f ( x, y, z)dS

当几何形体G为一光滑曲面 时,相应的 积分
的面积元素dS =
a
d
a2 x2 y2
1dS
1

a
d
z
Dxy a2 x2 y2 a2 x2 y2

Dxy
a2

a x2

y2 dxdy

Dr
a2
a
r 2 rdrd
a
2
d
0
0
a2 h2
a2
r
r 2 dr

2 a ln
3
3 0 x
6
dx 120
例3
计算
dS
x2 y2 z2
，其中 为圆
柱面 x2 y2 R2 介于平面 z =0 和
z =H(H>0)且在第一卦限的部分.
f ( x, y, z)dS
积分曲面 曲面面积元素
就是函数f x, y, z在曲面上的
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS

x, y, z 在上变化 曲面面积元素
1

z
2 x

z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
如果曲面 的方程由
x=x(y,z) 或 y=y(x,z) 给出，也可类似地把对面积的曲面积分化 为yoz面或xoz面上的二重积分。
f x, y, z ds : x x y, z

f x y, z , y, z
第五节 对面积的曲面积分
（第十章 第四节） 一、曲面面积 二、对面积曲面积分的计算法
G 表示的几种几何形体以及其上的积分：
闭区间 [a,b]
D (平面有界 闭区域)
二重积分
(空间有界

闭区域)
三重积分
L （平面有限 对弧长的曲线积分 曲线段）
(空间有限
曲线段)

（有限曲 对面积的曲面积分 面片）
cos
1
,
1

z
2 x

z
2 y
z

n
dA
dA
1

z
2 x

z
2 y
d
d
的面积元素：dS
1
z
2 x

z
2 y
d
曲面的面积公式为：
A dS 1 zx2 zy2d

Dxy
计算对面积的曲面积分
——化为二重积分
向xoy面投影Dxy
f ( x, y, z)dS
1
x
2 y

xz2 d
D yz
f x, y, zds : y y x, z

f x, y x, z , z
1
y
2 x

yz2 d
Dxz
例1 计算 1 dS，其中：x2 y2 z2 a2
z
被平面 z h,0 h a 截出的顶部。
a h
例2 计算 xyzdS,其中是三个坐标面和
平面x


y
z

1围成的四面体的整个
边界曲面.
解 边界曲面 由四块组成： z
1 2 3 4
它们的表达式分别是
x 0, y 0, z 0,
1
2 1
O Dxy
4
1
y
x y z 1
1
3
x
于是 xyzdS xyzdS
z a h
O
a
Dxy
y
a
x
解 的方程为z a2 x2 y2
它在xoy面上的投影区域 Dxy : x2 y2 a2 h2
z a h
曲面面积元素
O Dxy
a
a
y
dS
x
1
z
2 x

z
2 y
d

a
d
a2 x2 y2
的方程为z a2 x2 y2
？
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一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
z x, y在Dxy上偏导数连续， z
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域，
任取一个小矩形 d
o
x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
z
2 x

z
2 y
d

3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1 x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x


1 2 3 4
由于在 1 : x 0, 2 : y 0, 3 : z 0上,
f x, y, z xyz 0
z
1
所以
xyzdS 0
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
截切平面 T为 dA，
dA
M
则有dS dA.
o
曲面块 切平面块 T x
z z(x, y)

dS

(x, y)y
d
dS与 dA 在 xoy 面上的投影均为d ,
d 为 dA 在 xoy 面上的投影,
d dA cos ,