曲面积分的面积讲解
数学分析第二曲面积分解析
(
si
同时也代表
zSi
ni
vi
(i ,i , i )
•
法向量为
ni
.
o
y
x
vi
v(i ,i , i
)
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
该ni0点处co曲s面iiΣ的co单s 位i j法向co量s
i
k
,
2、近似
通过 si 流向指定侧的流量的近似值为
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
设连通曲面 S 上处处有连续
ML
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定
曲面在M0 点的一个法线
S
方向为正方向，另一个方向为负方向.
f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS;
(3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则
f (x, y, z) dS f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS.
1
2
特别， 当 f ( x, y, z) 1时， dS 的面积。
计算法
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
注意：这里曲面方程均是单值函数。
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
上侧
内侧
外侧
下侧
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面积分精解
第一节 第一类曲面积分内容要点一、 第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i =∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲例 1 计算曲面积分,⎰⎰∑z dS其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部.解 ∑的方程为.222y x a z --=∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}.),(2222h a y x y x -≤+又,122222yx a a z z y x --=++利用极坐标故有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD r a adxdy z dS 22 220202222ra rdr d a r a ardrd ha Dxy-=-=⎰⎰⎰⎰-θθπ22022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π.2h aaIn π=例2（E01）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.解 积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x Dxy,2)1(011222dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=故⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑xyxyD D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(.2125)cos 5(2520πθθπ=+=⎰⎰rdr r d例3（E02）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.解 如图(见系统演示)，.2341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z从而⎰⎰⎰⎰∑∑=4xyzdS xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.=⎰⎰∑xyzdS ⎰⎰---=xdy y x y xdx 1010)1(3dx y y x x x-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10103232)1(3dx x x ⎰-⋅=1036)1(3.1203)33(634312=-+-=⎰dx x x x x 例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解 根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u 例 5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y xxdS xdS xdS zxD z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以.00ππ=++=∑⎰⎰xdS例6（E03）计算,)(222⎰⎰∑++dS z y x∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.解 被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分⎰⎰⎰⎰∑∑=1,8其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而,y x a z --=所以.3122dxdy dxdy z z dS y x =++=dS z y x dS z y x ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1)(8)(222222dxdy y x a y xxyD 3])([8222⎰⎰--++=dy y x a y x dxxa a ⎰⎰---++=022203])([8.324a =例7（E04）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积. 解 由对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy曲面方程,222y x a z --=故,122222yx a a z z y x --=++所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=++=20cos 022222224414πθθa D D yxra rdr d a yx a adxdy dxdy z z A xyxy.42)1(sin 422202a a d a -=-=⎰πθθπ例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈RAπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算⎰⎰∑+dS y x )(22, 其中∑为锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分..3. 求半径为a 的球的表面积.第二节 第二类曲面积分内容要点一、有向曲面：双侧曲面 单侧曲面在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②中，故事情节围绕一列从波士顿地铁系统中神秘消逝的第86号列车而展开. 这个地铁系统前一天才举行通车仪式, 但是现在第86号却消失了, 什么痕迹也没有留下.事实上, 很多人都报告说他们听到了列车在它们的正上方或正下方飞驰的声音, 但是谁也没有真正地看到过它. 当确定这列火车为止的所有努力都失败之后, 哈佛的数学家罗杰.图佩罗给交通中心打电话, 并且提出了一个惊人的理论:这个地铁系统非常复杂, 以至于它可能变成了一个单面典面(麦比乌斯带)的一部分, 而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i nγβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαc o s c o s c o s R Q P n v ++=⋅则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A在有向曲面∑上的第二类曲面积分. 三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体 }0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解 如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yzyzD D ⎰⎰⎰⎰=-=类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分.解 把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰dxdy y x xy xyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xyD 例3 (E03) 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解.cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα 在曲面∑上，有.11c o s c o s x x z x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222.821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D 课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节 高斯公式 通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，n 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A称为向量场A通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zR y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A 的散度，记为A div，即zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= . (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 ,)(x z y P -=,0=Q ,y x R -=,z y x P -=∂∂,0=∂∂y Q ,0=∂∂zR利用高斯公式，得 原式=⎰⎰⎰Ω-dxdydz z y )(（利用柱面坐标）⎰⎰⎰Ω-=dz rdrd z r θθ)sin (rdz z r dr d ⎰⎰⎰-=10320)sin (θθπ.29π-=例2（E02）计算 ,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.解 作辅助平面∑=1,0:z 则平面∑1与曲面∑围成空间有界闭区域,Ω由高斯公式得⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z)()(22⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-+---+-=11)()()()(2222dxdy z x dzdx y z dxdy z x dzdx y z ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω---=1)()2(2dxdy z x dv⎰⎰⎰⎰⎰--=-xyD r d x rdz dr d σθπ22011022.434cos 0)1(42012212πππθθππ-=+-=⋅--=⎰⎰⎰rdr r d dr r r例3（E03）计算,)cos cos cos (222⎰⎰∑++dS z y x γβα 其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.解 补充平面),(:2221h y x h z ≤+=∑取1∑的上侧，则1∑+∑构成封闭曲面， 设其所围成空间区域为.Ω 于是⎰⎰∑+∑++1)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(2⎰⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy22)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=--==+ππθ200422222.21)()(222h D D hy x h rdr r h d dxdy y x h zdz dxdy xyxy而⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===++11,)cos cos cos (422222xyD h dxdy hdxdy z dS z y xπγβα故.2121)c o s c o s c o s (444222h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v 其中nu∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证 因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n 是∑在点),,(z y x 处 的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nuv)[()(dS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式.通量与散度例5（E05）求向量场k z j y i x r++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解 设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量 Q ⎰⎰+⋅=S S d r⎰⎰⎰=Vdv r div⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1)穿过底面向上的流量 1Q ⎰⎰+⋅=S S d r⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2)穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0=课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.第四节 斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系.分布图示★ 斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2★ 例3★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度★ 例4 ★ 例5★ 例6★ 斯托克斯公式的向量形式 ★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习★ 习题11-7★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.c o s c o s c o s ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQ P zy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度 设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A++= 则沿场A中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQ P z y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=.四、向量微分算子：,k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解 按斯托克斯公式，有,⎰⎰⎰∑++=++Γdxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于∑的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3⎰⎰⎰⎰=∑++xyD d dxdy dzdx dydz σ所以.23=++⎰Γydz xdy zdx例 2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解 取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n即,31cos cos cos ===λβα原式dS y x x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.解 由斯托克斯公式，有 原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R rd R Rdxdy rxy x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+例4 求矢量场k z j xy i x A 222+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度. 解 A div z A y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div.4= A rot k y A x A j x A z A i z A y A x y z x x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂= k y j i)02()00()00(--+-+-= .2k y -= 故0M Arot .2k -=例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 g r a d u ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -= div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y xωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v的旋度.解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径rOM =,k z j y i x ++= 则点M 的线速度v r⨯=ωzyx kji z yx ωωω =,)()()(k x y j z x i y z y x x z z yωωωωωω-+-+-=于是v rot x y z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=)(2k j i z y x ωωω++=.2ω =即速度场v 的旋等于角速度ω的 2 倍.课堂练习1. 计算,)()()(222⎰-+-+-AmBdz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线πϕϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线. 2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v 和加速度w在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.。
高等数学第四节 曲 面 积 分
例 1 计算曲面积分 (xz2)dS, 其中 为
球面 x2 + y2 + z2 = 1.
解 球面方程为 z 1x2y2 与z 1x2y2.
上半球面记为 1，下半球面记为 2，则根据
对面积的曲面积分的性质，有
(xz2)dS(xz2)dS(xz2)dS.
设曲面 是双侧的. 例如方程 z = z(x, y) 表示的曲
面，有上侧与下侧之分；方程 y = y(x, z)表示的曲面.
有左侧与右侧之分；方程 x = x(y, z) 所表示的曲面， 有前侧与后侧之分；对于封闭曲面，有内侧与外侧之
分
z
上侧
z
外侧
Mo
内侧
下侧
内侧
O
y
x (a)
O
外侧 y
x (b)
P 1, Q 1,
x
y
所以由高斯公式，得
R 0. z
I(x1 )d yd zyd zd xd x d y
2dV
211111.
6
3
时，则曲面的法向量
n与
z
轴正向的夹角不大于 π
2
,
于是，曲面的面积元素 dS 在 xy 平面的投影 dxdy 不
为负值，如果 Dxy 表示曲面 在 xy 平面上的投影区
域，那么我们可将对坐标的曲面积分化成在 xy 平面
上区域 Dxy 的二重积分来计算，即
R(x, y,z)dxdy R[x,y,z(x,y)d ]xdy.
在曲面 上连续，则
f
(x,
y,
z)dS
曲面积分的面积和体积
曲面积分的面积和体积曲面积分是多元积分中的一种特殊形式，它是应用到曲面上的面积或体积积分。
在物理学上，曲面积分可以用来计算流体的质量或质心，在工程学中，它可以被用来计算结构的强度或展示形状。
在本文中，我们将讨论曲面积分的面积和体积，并讨论如何进行计算。
1.面积首先，我们来看曲面积分的面积。
在数学上，曲面积分可以被看作是一个积分，它将曲面上的每个点的面积相加。
通常情况下，我们使用二重积分进行计算，但是当曲面形状比较复杂时，我们需要使用曲面积分来求解。
假设我们有一个曲面F(x, y, z) = 0，我们需要求解它的面积。
首先，我们需要找到曲面上的一个向量场F，使得F点积n给出了每个点处的面积元素。
其中，n是曲面上法向量，即在每个点上垂直于曲面的向量。
然后，我们需要对曲面上的每个点进行积分。
这个积分需要在整个曲面上进行，因此我们需要使用曲面积分来求解。
曲面积分的公式如下：$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S$其中，S是曲面的面积，$\mathbf{F}$是曲面上的向量场，$\mathbf{n}$是曲面上的法向量，$dS$是曲面上的微元面积。
积分的结果就是曲面的面积。
2.体积接下来，我们来看曲面积分的另一个应用——体积。
在数学上，曲面积分可以被看作是一个积分，它将曲面上每个点处小的体积元素相加。
通常情况下，我们使用三重积分进行计算，但是当曲面形状比较复杂时，我们也需要使用曲面积分来求解。
假设我们有一个由曲面S(x, y, z)和平面z = 0围成的封闭立体，我们需要求解它的体积。
首先，我们需要找到一个曲面S(x, y, z)的向量场F，使得F点积n给出了每个点处的体积元素。
其中，n是曲面上法向量，即在每个点上垂直于曲面的向量。
然后，我们需要对曲面上的每个点进行积分。
这个积分需要在整个曲面上进行，因此我们需要使用曲面积分来求解。
曲面积分的公式如下：$\iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} d V$其中，V是立体的体积，$\mathbf{F}$是曲面上的向量场，$\nabla$是梯度算子。
数学分析第二十二章曲面积分
a2 h2
0
例2. 计算Байду номын сангаас
其中 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 上的部分, 则 原式 = x y z dS 2 3 4 1
1 x
o
1 y
的底部 2 : z a ( x a , y a ) 取下侧 2 2 2 ( z x) d x d y
3 a
a ( x) d x d y Dx y 2
2
Dx y
d xd y
例2. 计算曲面积分 xyz d x d y, 其中 为球面 x 2
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
R d x d y
称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
Pd y d z Qd z d x Rd x d y
0 y 1 x 4 : z 1 x y , ( x, y ) D x y : 0 x 1 1 1 x 3 x d x y (1 x y ) d y 3 120 0 0
4
x yz d S
练习1. 设 是四面体 x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0 的表
R( x, y, z ) d x d y Dx y R( x, y, z( x, y)) d x d y
•若 则有
P( x, y, z ) d ydz Dy z P( x( y, z) , y, z ) d y d z
§6.5 第一类曲面积分的计算
得投影区域Dxy ,被积函数 f x , y , z 中的z换为
曲面方程z z x , y
f x, y, z x, y
f x , y , z dS S
D
xy
z z f x, y, z x, y 1 x y dxdy .
2
2
2. 若曲面S：y y( x , z )
则
S
f ( x , y , z )dS f [ x , y( x , z ), z ] 1 y x y z dxdz;
2 2 Dxz
3. 若曲面S：x x( y , z )
则
f ( x , y , z )dS S
M i i , i , i Si ,
mi f i ,i , i Si .
求和
m f i ,i , i si .
n 1
f i ,i , i si . 取极限 m lim 0
n 1
为所有小块的最大直径 .
x 2 y 2 dS
S2
D
xy
x 2 y 2 dxdy
s1 : z
x2 y2
D
1
2 0
d r rdr
2 0
1
2
1 2 2 x y dS 2 S1 S2 S
2 1 .
三、第一类曲面积分的计算
定理 设积分面S由方程z z x , y 给出, S在
xoy平面上的投影区域为Dxy , 且z z x , y
第四节对面积的曲面积分11-421页PPT
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往xoy面投影 z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例：求 f x2 y2 z2 ds，
其中为球面x2 y2 z2 R2
对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步：
1 首先根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表 示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区 域；
2 根据曲面方程求得相应的面积元素ds；
3 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得 到相应投影区域上的二重积分；
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有 二代
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
)
一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分
为曲面的面积元素
若 曲 面 为 ： y y (x ,z ) ,(x ,z ) D x z
往zox平面投影
则 f(x,y,z)dSf[x,y(x,z)z,]1yx2yz2dx;d
a2h2
0
例题2
计算
1
1 x y2
dS , 其中为平面
x y z 1及三个坐标面所围立体的表面。
例题3 设为锥面z= x2 y2在柱体
x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 zds
例4 计算曲面积分 I (a xb yc zd)2d,s
4 4 计算转化后的二重积分。
例1. 计算曲面积分
其中是球面
曲面面积
§1 曲面面积
教学目的与要求： 掌握利用显式方程和参数方程求曲面面积． 教学重点，难点： 重点：用显式方程表示的曲面面积分计算公式 难点：用参数方程表示的曲面面积
一、曲面的面积
Σ 曲面的方程 x x= ( u, v ), y y = ( u, v ), z z ( u, v ), ( u, v ) ∈ D,
2 2 2
M
a r
φ=
π
6
ϕ
. .
S
θ π π /2 2 2 2 x 6 4= 2 R sin 2 ϕ d ϕ d θ 8 R d θ d ϕ = π R ∫∫ ∫ ∫
0 ≤θ ≤π / 2 0 ≤ϕ ≤ π / 6 0 0
0
y
例4
2 Rz 包含在锥面 = z 2 3( x 2 + y 2 ) 设 Σ 为球面 x + y + z = z 内的部分，求它的面积 化为球系下的方程 x r= sin ϕ cos θ , y r= sin ϕ sin θ , z r cos ϕ r=2Rcosϕ x 2 = R sin ϕ cos ϕ cos θ , y 2 R sin ϕ cos ϕ sin θ ,
x
o
2
z
y
例3
求圆柱面 y 2 + z 2 = 2 z 被圆锥面 y 2 + z 2 = x 2 所截的有限部分的面积
x
问题：
曲面向哪个坐标面投影？ 只能向xoz平面投影
o
2
z
.
y
例3
求圆柱面 y 2 + z 2 = 2 z 被圆锥面 y 2 + z 2 = x 2 所截的有限部分的面积
x
第四节第一类曲面积分
)
（1）确定 的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。 一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.
求曲面面积的积分公式
求曲面面积的积分公式曲面积分是多元积分的一种，主要用于计算曲面面积。
在数学中，曲面是在三维空间中的二维流形。
曲面积分的公式是一种重要的工具，被广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域，用于计算场景中各种复杂曲面的面积。
在进行曲面积分前，我们首先需要对曲面进行参数化。
参数化是将曲面映射到一个参数空间中，使得曲面上的每一点都能够通过参数化函数的输入参数来表示。
比如，对于球面，我们可以使用球坐标系进行参数化；对于平面上的曲线，我们可以使用笛卡尔坐标系进行参数化。
一旦我们完成了曲面的参数化，我们就可以使用曲面积分公式进行计算。
曲面积分公式是通过将曲面划分成无穷小的面元，并对每个面元的面积进行求和来计算整个曲面的面积。
具体而言，曲面积分公式可以表示为：S = ∬dS其中，S表示曲面的面积，∬表示对整个曲面进行积分，dS表示一个面元的面积。
对于曲面的参数化表示，我们可以将面积元素dS写成参数化函数的导数之间的乘积，例如：dS = |r_u × r_v|dudv其中，r_u和r_v是参数化函数在参数空间中对u和v的偏导数，|r_u × r_v|表示这两个向量的叉积的模。
通过将这个面积元素代入曲面积分公式，我们可以得到具体的计算公式。
需要注意的是，曲面积分公式只能应用于参数化的曲面，对于非参数化的曲面，我们需要使用其他方法进行计算。
此外，对于特殊形状的曲面，也可以使用相应的特殊曲面积分公式进行计算，例如球面积分、柱面积分等。
曲面积分公式在实际应用中具有广泛的意义和指导作用。
通过使用曲面积分公式，我们可以计算各种复杂曲面的面积，从而解决一些实际问题，例如计算流体力学中的流量、计算表面张力、计算电场和磁场等。
曲面积分公式的应用可以提高问题的求解效率和精度，为学科发展和工程实践提供重要支撑。
总之，曲面积分公式是计算曲面面积的重要工具之一。
通过合理地进行曲面参数化，并应用曲面积分公式，我们可以计算各种曲面的面积，并在物理学、工程学等领域中解决一些实际问题。
第四节 曲面积分
从而在单位时间内流过曲面Σ指定一侧的流量为
Δ i Δ i
i 1 n n
P i ,i , i ΔSi yz Q i ,i , i ΔSi zx R i ,i , i ΔSi xy .
i 1
令λ=max{ΔSi的直径}，当λ→0时，上面和式的极 限值就是所求的流量Φ，即
Σ1,Σ2合并而成，即Σ=Σ1+Σ2，则有
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Σ
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy.
Σ1 Σ2
上式可以推广到Σ是由有限片光滑曲面
Σ1,Σ2,…,Σn合并而成的情形.
性质2 设Σ是光滑的有向曲面，Σ－表示与
x2+y2=25所截得的部分(图10-59).
解 积分曲面Σ的方程为
z=5-y，它在xOy面上的
投影为闭区域
Dxy
又
x, y x
2
y 25 .
2
图10-59
2 z z 2 1 1 0 1 2, x y
v P( x, y, z )i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k,
Σ是速度场中的一片有向光滑曲面，函数P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在Σ上连续.求在单位时间内流体
流过曲面Σ指定侧的流量Φ.
如果流体在这区域上各点的流速为常向量v，那 么单位时间内流过平面上面积为A的流量为
eni cos i i cos i j cos i k
近似代替ΔSi上各点处的流速，以该点的单位法 向量
代替上各点处的单位法向量，把小曲面近似看成平
高数 对面积的曲面积分讲解
4 xd S 4 x d S
x xd S d S
25
例8 求半径为R 的均匀半球壳 的重心。
解 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 x y 0 ,而
用球面坐标系
z Rcos
d S R2 sin d d
R3
2
3
0
5 4cos2 t dcos t
z oz y
L ds x
29
内容小结
1. 定义:
n
lim
0
i 1
f
(
i
,i
,
i
)
Si
2. 计算: 设 :z z( x, y),( x, y) Dx y , 则
Dx y f ( x, y, z( x, y) )
1
1
x x2
y2
2
y x2
y2
2
O
dxdy
a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy
2a cos
2
18
例3 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式
=
1
2
3
4
x
yz
dS
§6.5第一型曲面积分的计算
记d max 1 k n
的直径
k
，k的面积记为Ak .
如果不论将如何分割，点M
k
如何选取，
k
n
当d 0时， f (Mk )Ak有确定的极限，则称 k 1
函数f 在曲面上可积，极限值为f 在上的
第一型曲面积分,即
n
f
( x,
y, z)dA
lim
d 0
k 1
f (k ,k , k )Ak
( x, y) Dx y
A Dxy
Fx2 Fy2 Fz2 dxdy. Fz
例1.求球面 x2 y2 z2 a2在 z b部分的面积(a b 0).
az
S
b
y
x
二. 第一型曲面积分的概念
定义 设是一个分片光滑曲面，函数f 在上有定义.
将任意分割成n个小部分（k k 1,2,L ,n),
'(面积A')
的一个法向量：{0, 0,1}
'的一个法向量：{zx , zy ,1}
| cos |
1
1
z
2 x
z
2 y
x
dAA 11zzx2x2zz2y2yd
o
y
Dxy
P(x, y)
曲面的面积元素
结论： 1.设光滑曲面 的方程为 z z( x, y)，Dxy是在 xy平面上的投影区域， 的面积为A，则
y
x
Dxy
例3.计算 ( x2 y2 z2 )dA,其中是由 x 0, y 0, x2 y2 z2 1 ( x 0, y 0)所围成的闭曲面.
z
2 1
y
x 3
§6.5 第一型曲面积分的计算
一.曲面的面积
(完整版)(整理)第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解： 曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。
曲面积分的面积讲解
dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2 y2
1 arctan z
R
R
H 0
dy
HR 1
arctan
dy
R 0 R2 y2
而
R1
dy
0 R2 y2
瑕积分
lim R1 R1 R 0
1 R2 y2 dy (R1 R)
lim arcsin R1
z a h
O
a
Dxy
y
a
x
解 的方程为z a2 x2 y2
它在xoy面上的投影区域 Dxy : x2 y2 a2 h2
z a h
曲面面积元素
O Dxy
a
a
y
dS
x
1
z
2 x
z
2 y
d
a
d
a2 x2 y2
的方程为z a2 x2 y2
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
f ( x, y, z)dS
向xoy面投影Dxy 代入z z x, y
f x, y, zdS f x, y,z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
1.若 : z z x, y
f x, y, zdS f x, y,z x, y
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
截切平面 T为 dA，
dA
M
则有dS dA.
高等数学 第四节 对面积的曲面积分
第十一章 第四节
8
轮换对称性 如果积分曲面 Σ 的方程中某两个变量对调其方程 不变， 则将被积函数的这两个变量对调积分值不 变，例如：Σ 中 x 与 y 对调 Σ 不变
f ( x , y , z)dS f ( y , x , z)dS
Σ
Σ
注意：利用曲面方程化简曲面积分
曲面积分和曲线积分一样，积分区域是由积分变
一卦限中的部分，则有( C )。
( 2000 考研 )
第十一章 第四节
15
例6 设 : x2 y2 z2 a2
计算 I f ( x , y , z)dS 。
Σ
z
a
Σ1 a
2
O Dxy
xa
ay Σ2
第十一章 第四节
16
例7
计算 I =
dS x2 y2 z2
其中 Σ 是介于平面
之间的圆柱面
量的等式给出的，因而可以将 Σ 的方程直接代入
被积表达式。
第十一章 第四节
9
例1 计算曲面积分 I x2dS ， Σ 为
Σ
x2 y2 a2 介于 z 0 与 z k 之间的部分。
z k
O y
x
第十一章 第四节
10
具体步骤： 1 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲 面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投 影区域； 2 根据曲面方程求得相应的面积元素 dS ； 3 将曲面方程的表达式和面积元素 dS 代入被积 表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。
第十一章 第四节
6
若曲面为：y y( x , z) , ( x , z) Dxz 往 zOx 平面投影
则 f ( x , y , z)dS f [x , y( x , z) , z] 1 yx2 yz2dxdz
曲面的面积与曲面积分
其中dS 1Fra bibliotekz2 x
z
2 y
dxdy几何上代表小切面块的面积.
特别的，曲面∑的面积 1dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
2. 若曲面：y y(z, x)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y(z, x), z]
1
y
2 z
y
2 x
dzdx
;
Dzx
3. 若曲面：x x( y, z)
D yz
如果曲面的方程为： y y(z, x)
曲面面积公式为：S
1
yz2
y
2 x
dzdx
.
Dzx
例1. 证明球的表面积 4 R2 .
解: 上半球面的方程为 : z R2 x2 y2
它在xoy面上的投影区域Dxy : x2 y2 R2 .
z x
x
, z
R2 x2 y2 y
y
R2 x2 y2 , z
球面面积S 2
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
R
Dxy
2
dxdy
Dxy R2 x2 y2
o Dxy R y x
2
R
2 d
R
R
rdr 2a
1
d(R2 r2)
0
0 R2 r2
0 R2 r2
4 R2 .
例2. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度
h = 36000 km,运行的角速度与地球自转角速度相同,
S
y
(x, y)
的 边 界 为 准 线 ， 作 母 线平 行 于z 轴 的 小 柱 面 ，
曲面积分面积微元推导
曲面积分面积微元推导曲面积分在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用，其计算过程需要利用到曲面面积微元的推导。
下面将从曲面面积微元的基本概念出发，分别介绍曲面面积微元的推导过程。
一、平面面积微元平面三角形的面积可表示为S=1/2×底边×高，反映了底边长度和高度对于面积的影响。
当三角形面积微元趋近于0，即当底边和高度都很小的时候，可将三角形近似看作矩形，并使用微积分的方式计算微元面积。
设三角形底为dx，高为dy，则微元面积dS=dx×dy。
这里，dS也被称为平面面积微元。
二、球面面积微元对于球面面积，微元面积也是关键。
球面的一小块面积可以看作是一个圆锥形，其底面为一个小圆，圆心与球心之间的距离即为该圆锥形的高。
设球面的半径为r，当微元面积趋近于0时，可将圆视为平面，圆心与球心之间的距离看作是圆锥形的高度。
那么，该圆面积S可表示为：S=πr²，而微元面积dS在沿高度方向上近似为该圆形的弧长乘以圆心到球心的距离，即dS=rdθdsinφ，其中dθ和dφ分别是该圆上沿经线和纬线的微小变化，s为圆心到该圆上一点的距离，φ为该点的纬度角度。
因此球面面积可表示为：S=∫∫dS=∫θ1θ2∫φ1φ2rdθdsinφ三、曲面面积微元简介对于一般曲面而言，微元面积的计算既不像平面面积微元那样简单，也不像球面面积微元那样方便。
对于曲面上的一小块面积而言，其形状比较复杂，无法用简单的组合形式来描述。
因此，需要引入切平面和切向量的概念，从而建立曲面面积微元的推导过程。
四、曲面微元面积推导设曲面上的一点为(x,y,z)，则该点周围可以找到一个极小的面区域。
将该面区域近似看作是一块小平面，这块小平面的面积可以用平面微元的式子计算，但是与该点周围的曲面有接触，且不是相切于曲面的平面。
因此，需要找到一个切平面来代替切点处的小平面。
将曲面在该点处横向和纵向的两个方向进行微小平移，可以得到该点处的曲面法向量n。
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以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
截切平面 T为 dA，
dA
M
则有dS dA.
o
曲面块 切平面块 T x
z z(x, y)
dS
(x, y)y
d
dS与 dA 在 xoy 面上的投影均为d ,
d 为 dA 在 xoy 面上的投影,
d dA cos ,
的面积元素dS =
a
d
a2 x2 y2
1dS
1
a
d
z
Dxy a2 x2 y2 a2 x2 y2
Dxy
a2
a x2
y2 dxdy
Dr
a2
a
r 2 rdrd
a
2
d
0
0
a2 h2
a2
r
r 2 dr
2 a ln
3
3 0 x
6
dx 120
例3
计算
dS
x2 y2 z2
，其中 为圆
柱面 x2 y2 R2 介于平面 z =0 和
z =H(H>0)且在第一卦限的部分.
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1 x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
a h
例2 计算 xyzdS,其中是三个坐标面和
平面x
y
z
1围成的四面体的整个
边界曲面.
解 边界曲面 由四块组成： z
1 2 3 4
它们的表达式分别是
x 0, y 0, z 0,
1
2 1
O Dxy
4
1
y
x y z 1
1
3
x
于是 xyzdS xyzdS
cos
1
,
1
z
2 x
z
2 y
z
n
dA
dA
1
z
2 x
z
2 y
d
d
的面积元素：dS
1
z
2 x
z
2 y
d
曲面的面积公式为：
A dS 1 zx2 zy2d
Dxy
计算对面积的曲面积分
——化为二重积分
向xoy面投影Dxy
f ( x, y, z)dS
几何形体上的积分 G f P dg
重积分
f x, yd ; f x, y, zdv
D
对弧长的（第一型）曲线积分
L f x, yds; f x, y, zds
对面积的（第一型）曲面积分
f ( x, y, z)dS
当几何形体G为一光滑曲面 时,相应的 积分
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
如果曲面 的方程由
x=பைடு நூலகம்(y,z) 或 y=y(x,z) 给出，也可类似地把对面积的曲面积分化 为yoz面或xoz面上的二重积分。
f x, y, z ds : x x y, z
f x y, z , y, z
第五节 对面积的曲面积分
（第十章 第四节） 一、曲面面积 二、对面积曲面积分的计算法
G 表示的几种几何形体以及其上的积分：
闭区间 [a,b]
D (平面有界 闭区域)
二重积分
(空间有界
闭区域)
三重积分
L （平面有限 对弧长的曲线积分 曲线段）
(空间有限
曲线段)
（有限曲 对面积的曲面积分 面片）
？
z z x, y
x, y, z在上变化
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
曲面积分元素为
: z z x, y
dS
1
z
2 x
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1 2 3 4
由于在 1 : x 0, 2 : y 0, 3 : z 0上,
f x, y, z xyz 0
z
1
所以
xyzdS 0
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
1
x
2 y
xz2 d
D yz
f x, y, zds : y y x, z
f x, y x, z , z
1
y
2 x
yz2 d
Dxz
例1 计算 1 dS，其中：x2 y2 z2 a2
z
被平面 z h,0 h a 截出的顶部。
z
2 y
d
3d
xyzdS xyzdS xy1 x y 3d
4
Dxy
Dxy : 0 y 1 x,
3
1
xdx
1x y1 x ydy
0
0
0 x1
3
1 0
x
1
x
y2 2
y3 1 x
3
0
dx
1 1 x3
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
z x, y在Dxy上偏导数连续， z
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域，
任取一个小矩形 d
o
x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
z a h
O
a
Dxy
y
a
x
解 的方程为z a2 x2 y2
它在xoy面上的投影区域 Dxy : x2 y2 a2 h2
z a h
曲面面积元素
O Dxy
a
a
y
dS
x
1
z
2 x
z
2 y
d
a
d
a2 x2 y2
的方程为z a2 x2 y2
f ( x, y, z)dS
积分曲面 曲面面积元素
就是函数f x, y, z在曲面上的
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素