山东省临沂市临沭县第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含解析

高18级2019—2020学年度上学期学情摸底调研
数学试题
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第一卷（选择题共52分）
一、选择题（本题共13小题，每小题4分，共52分．第1-10题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，第11-13题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得四分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
1.数列1,3,6,10,,21,28,x L 中，x 的值是（ ） A. 12 B. 13
C. 14
D. 15
【答案】D 【解析】 【分析】
观察相邻两项的关系,即可得到所求.
【详解】观察数列可得:312-=；633-=；1064-=； 所以105x -=, 则15x =, 故选:D
【点睛】本题考查观察法得数列的项,属于基础题. 2.数列－1，
43，－95，16
7
，…的一个通项公式是( ) A. 2
(1)21n
n n a n =-⋅-
B. (1)
(1)21
n
n n n a n +=-⋅
-
C. 2
(1)21
n
n n a n =-⋅+
D. 22(1)21
n
n n n
a n -=-⋅-
【答案】A 【解析】 【分析】 利用由数列﹣1，
43，95-，16
7
，…．可知：奇数项的符号为“﹣”，偶数项的符号为“+”，其分母为奇数2n ﹣1，分子为n 2．即可得出．
【详解】解：由数列﹣1，
43，95-，16
7
，… 可知：奇数项的符号为“﹣”，偶数项的符号为“+”， 其分母为奇数2n ﹣1，分子为n 2．
∴此数列的一个通项公式2
(1)21
n
n n a n =-⋅-．
故选：A ．
考点：数列的通项公式
3.数列{}n a 中，已知612000a =，且1n n a a n +=+，则1a 等于（ ） A. 170 B. 171
C. 172
D. 173
【答案】A 【解析】 【分析】
由1n n a a n +=+,则()11n n a a n -=+-,L ,211a a =+,则利用累加法可得()1112
n n n a a ++=+,
再令60n =,进而求解即可.
【详解】由题,因为1n n a a n +=+,所以()11n n a a n -=+-,L ,211a a =+, 累加可得1112n a a n +=++++L ,即()1112
n n n a a ++=+,
当60n =时,6116160
2
a a ⨯=+,则1170a =, 故选:A
【点睛】本题考查累加法处理数列的递推公式,考查等差数列的前n 项和公式的应用. 4.如图所示是一系列有机物的结构岗图，图中的“小黑点”表示原子，两基点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键（ ）
A. 6n
B. 51+n
C. 51n -
D. 42n +
【答案】B 【解析】
由图分别得到第1个图,第2个图,第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第n 个图中化学键的个数.
【详解】由图,第1个图中有6个化学键； 第2个图中有11个化学键； 第3个图中有16个化学键,
观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键, 则第n 个图有()65151n n +-=+个化学键, 故选:B
【点睛】本题考查图形的规律,考查等差数列的通项公式的应用.
5.已知等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是（ ） A. 20 B. 22
C. 23
D. 24
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列通项公式可整理18153120a a a ++=为()()1113714120a a d a d ++++=,即
1724a d +=,进而整理9102a a -即可求解.
【详解】由题,因为18153120a a a ++=,所以()()1113714120a a d a d ++++=, 即1724a d +=,
所以()()1901112897242a d a a a a d d =+-+=+=-, 故选:D
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.
6.等比数列{}n a 的各项都为正数，且564718a a a a +=，3132310log log log a a a +++L 等于（ ） A. 12
B. 11
C. 10
D.
32log 5+
【答案】C
【分析】
由等比数列的性质可得569a a =,再由对数的运算性质求解即可. 【详解】由题,因为564718a a a a +=,即569a a =,
所以()5
3131323102103563l log log log og log 5log 910a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅===L L , 故选:C
【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算,属于基础题. 7.若3log 2，3log (21)x -，3log (211)x
+成等差数列．则x 的值为（ ） A. 7或3- B. 3log 7
C. 4
D. 2log 7
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列中项可得3332log (21)log 2log (211)x x
+=+-,即()
()2
21
2211x x -=⨯+,进而
求解即可.
【详解】由题,3332log (21)log 2log (211)x x
+=+-,则()
()2
21
2211x x -=⨯+,
即(
)(
)
27230x
x
-+=, 所以2log 7x =, 故选:D
【点睛】本题考查等差数列中项的应用,考查对数的运算.
8.在等差数列{}n a 中， 14736a a a ++= ， 25833a a a ++=，则369a a a ++的值为（ ） A. 27 B. 30
C. 33
D. 36
【答案】B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得412a =,511a =,则可得541d a a =-=-,再由
()3696533a a a a a d ++==+求解即可.
【详解】由题,因为1474336a a a a ++==,则412a =； 因为2585333a a a a ++==,则511a =； 所以541d a a =-=-,
所以()369653330a a a a a d ++==+= 故选:B
【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的定义的应用. 9.若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223
S π
=，则6tan()a 的值为（ ）
A.
B.
C.
3
D. 3
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案．
【详解】∵()11111611221123
a a S a π+=== ，∴6
23a π=，()62tan tan 3a π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
故选B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.
10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r
；且A ，B ，C 三点共线（该
直线不过点O ），则200S 等于（ ） A. 90 B. 100
C. 200
D. 201
【答案】B 【解析】 【分析】
由A ,B ,C 三点共线（该直线不过点O ）可得12001a a +=,再由等差数列前n 项和公式求解即可.
【详解】由题,因为A ,B ,C 三点共线（该直线不过点O ）,
所以12001a a +=,
因为等差数列{}n a ,所以()12002002001002
a a S +⨯==,
故选:B
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查等差数列的前n 项和.
11.在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为()n S n *
∈N ．以下说法正确的
是（ ）
A. 若315S S =，则180S =
B. 若315S S =，则9S 是n S 中的最大项
C. 若315S S =，则9100a a +=
D. 若910S S >，则1011S S >
【答案】ABCD 【解析】 【分析】 由315
S S =可得45150a a a +++=L ,利用等差数列的性质可得
4151189100a a a a a a +=+=+=,即可判断选项A,C ；再由10a >,则0d <,即可判断选项B ；
由910S S >可得10
0a <,则110a <,即可判断选项D.
【详解】若315S S =可得45150a a a +++=L ,即4150a a +=,则1180a a +=,所以
()
118181802
a a S +=
=,故A 正确；
由4150a a +=可得9100a a +=,故C 正确； 又10a >,则0d <,所以90a >,10
0a <,所以9S 是n S 中的最大项,故B 正确；
若910S S >,则109100S S a -=<,因为10a >,所以0d <,则110a <, 所以1110110S S a -=<,即1011S S >,故D 正确, 故选:ABCD
【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的前n 项和的最大项. 12.已知数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A. {}2
n
a
B. {}
2
n a
C. {}1n n a a +⋅
D.
{}1n n a a ++
【答案】BC 【解析】 【分析】 由等比数列可得1
n n
a q a +=,进而对各选项中数列依次作前后两项的比,判断是否为常数,即可得到答案.
【详解】因为数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列,则
1
n n
a q a +=, 对于选项A,1
1222n n n n
a a a a ++-=,因为1n n a a +-不是常数,故A 错误；
对于选项B,2
2
21
12n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭
,因为2q 为常数,故B 正确；
对于选项C,
22121
11n n n n n n n n
a a a a q a a a a ++++++⋅=⋅=⋅,因为2q 为常数,故C 正确；
对于选项D,若10n n a a ++=,即1q =-时,该数列不是等比数列,故D 错误. 故答案为:BC
【点睛】本题考查等比数列的判断,需注意等比数列各项均不为0. 13.下列命题不正确的是（ ）
A. 若数列{}n a 的前n 项和为2
21n S n n =+-，则数列{}n a 是等差数列．
B. 等差数列{}n a 的公差0d >则{}n a 是递增数列．
C. 常数列既是等差数列，又是等比数列．
D. 等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >． 【答案】ACD 【解析】 【分析】
由等比数列的前n 项和公式判断选项A ；由0d >可得1n n a a +>,即可判断选项B ；当0n a =时,该数列不是等比数列,即C 错误；当0n a <且1q >时,D 错误.
【详解】对于选项A,{}n a 的前n 项和2
n S An Bn =+,故A 错误；
对于选项B,若0d >,则1n n a a +>,故B 正确；
对于选项C,当0n a =时,该常数列不是等比数列,故C 错误；
对于选项D, 等比数列{}n a 是递增数列，10,10a q >-<<,故D 错误； 故选:ACD
【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式,考查数列的单调性的判断,考查等比数列的判断.
第二卷（非选择题 共98分）
二、实验题（本题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中横线上．）
14.已知等差数列{}n a 中，48a =，84a =，则其通项公式n a =__________ 【答案】12n - 【解析】
∵等差数列{a n }中,a 4=8,a 8=4，
∴418
13874a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得a 1=11，d =−1，
∴通项公式a n =11+(n −1)×(−1)=12−n .
15.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若231n n S n
T n =+则55
a b ＝________． 【答案】
914
. 【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，由
19195919
19599()299229()3911422
a a a a a S
b b b b b T ++⨯=====++⨯+. 考点：等差数列的性质.
16.若x y ≠，两个数列:123,,,,x a a a y 和1234,,,,,x b b b b y 都是等差数列，则
21
43
a a
b b -=-______．
【答案】54
【解析】 【分析】
由等差数列的定义可得14y x d -=,且25y x d -=,则211
432
a a d
b b d -=-,即可求解.
【详解】由题,因为123,,,,x a a a y 是等差数列,所以14y x d -=,即()11
4
d y x =-； 因为1234,,,,,x b b b b y 是等差数列,所以25y x d -=,即()21
5
d y x =
-, 所以
2114325
4
a a d
b b d -==-, 故答案为:
54
【点睛】本题考查等差数列
的
定义的应用,属于基础题.
17.在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13
为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形的形状是 . 【答案】锐角三角形 【解析】 【分析】
根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质,可求出tan A 和tan B ,代入两角和的正切公式,结合诱导公式,可得tan C 的值,进而判断出三个角的大小,进而判断出三角形的形状. 【详解】设以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差为d 则1
[4(4)]24
d =
--= 即tan 2A = 设以
1
3
为第三项,9为第六项的等比数列的公比为q
则
3q =
= 即tan 3B =
则tan tan tan()tan 11tan tan A B
A B C A B
++=-=
=--⋅
即tan 1C = 故A,B,C 均为锐角 故ABC V 为锐角三角形 故答案为锐角三角形
【点睛】本题考查的知识点是等差数列及等比数列,考查了三角形内角和定理以及两角和的正切公式，属于中档题.
三、解答题（本原共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（1）在等差数列{}n a 中，若公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项，求数列{}n a 的通项公式；
（2）在等比数列{}n a 中，39a = ，42954a a +=．求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）2n a n =（2）13-=n n a 【解析】 【
分析】
（1）由等比中项可得2
2
14a a a =⋅,再由等差数列的定义可得()()2
1113a d a a d +=⋅+,即可求得
1a ,进而求解；
（2）由题可得2
19a q =,3
11954a q a q +=,进而求解.
【详解】解:（1）由题知2
2
14a a a =⋅
()()2
1113a d a a d ∴+=⋅+,即()()2
11126a a a +=+,
12a ∴=,
2(1)22n a n n ∴=+-⨯=.
（2）3429,954a a a =+=Q ,
219a q ∴=,311954a q a q +=,
解得11a =,3q =,
13n n a -∴=.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用. 19.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知10203050a a ==，． （1）求通项n a ； （2）若242n S =，求n ． 【答案】（1）；（2）n=11.
【解析】
【详解】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件用基本量列方程求解即可； （2）先求出n S ，再令242n S =解方程即可.
试题解析：
1设等差数列{}n a 的公差为d ，
由得方程组，解得
所以
2由得方程
，
解得
20.已知等差数列{}n a 中，19a =，470a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值？ 【答案】(1) 112n a n =-.(2) 当5n =时，n S 取得最大值． 【解析】 【分析】
（1）根据题设条件和等差数列的通项公式，化简求得2d =-，即可求解，得到答案．
（2）法一：利用等差数列的前n 项和公式，求得2
(5)25n S n =--+，再利用二次函数的性
质，即可求解；
法二：由（1），求得5n ≤时，0n a >，6n ≥时，0n a <，即可求解，得到结论． 【详解】（1）由题意，等差数列{}n a 中，19a =，470a a +=， 则11360a d a d +++=，解得2d =-，
所以数列{}n a 的通项公式为1(1)112n a a n d n =+-⋅=-. （2）法一：19a =，2d =-，
22(1)
9(2)10(5)252
n n n S n n n n -=+
⋅-=-+=--+， ∴当5n =时，n S 取得最大值．
法二：由（1）知19a =，20d =-<，∴{}n a 是递减数列． 令0n a ≥，则1120n -≥，解得112
n ≤
. ∵*n N ∈，∴5n ≤时，0n a >，6n ≥时，0n a <. ∴当5n =时，n S 取得最大值．
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，以及等差数列的前n 项和的最值问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和的最值问题的求解方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 21.设关于x 的一元二次方程
2x -1n a +x 1+0=(n N *∈)有两根α和β且满足
6263ααββ-+=.①试用
表示1n a +；②求证：数列23n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列.
③当17
6
a =
时，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】①②见解析③2132n
n a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
【解析】
（1）根据韦达定理，得1n n a a αβ++=
，1
n
a αβ⋅=,由6263ααββ-+=
得12
63n n n
a a a +⋅
-=，故
（2）证明：121112()32323
n n n a a a +-=-=-， 若203n a -=，则1203n a +-=，从而123
n n a a +==，
这时一元二次方程
2x -1n a +x 1+0=无实数根，故12
03
n a +-≠，
所以12
13223
n n a a +-
=-，数列23n a ⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭是公比为12的等比数列.
（3）设23n n b a =-，则数列{}n b 是公比1
2
q =的等比数列，又
1127213632b a =-=-=，所以1
11111222n n n n b b q --⎛⎫
⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以2132n
n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
2132n
n a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.
22.等差数列{}n a 中，321S = ，624S =， （1）求数列{}n a 的前n 项和公式n S ； （2）求数列{}
n a 的前n 项和n T ．
【答案】（1）n S 210n n =-+（2）2210(5)1050(6)n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩
【解析】 【分析】
（1）由题可得11323212
656242a d a d ⨯⎧
+=⎪⎪⎨
⨯⎪+=⎪⎩
,即可解得1,a d ,进而求解； （2）由（1）先求得211n a n =-+,由0n a ≥可得11
2
n ≤,再分别讨论5n ≤与6n ≥的情况,进而求解.
【详解】解:（1）设{}n a 首项为1a ,公差为d ,
由321S =,624S =得11
323212
656242a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩
,192a d =⎧∴⎨=-⎩
(1)
9(2)2
n n n S n -∴=⨯+
⨯-210n n =-+. （2）由（1）知,9(1)(2)211n a n n =+-⨯-=-+, 由0n a ≥得2110n -+≥即112
n ≤
, 当5n ≤时,12n n T a a a =+++L 2
1210n n a a a S n n =++⋯+==-+； 当6n ≥时,
516n n T a a a a =+⋯+++⋯+ ()()1256n a a a a a =++⋯+-+⋯+
255()1050n S S S n n =--=-+
综上,2210(5)
1050(6)n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩
.
【点睛】本题考查等差数列的前n 项和,考查等差数列的绝对值求和,考查分类讨论思想. 23.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，点()1,n n S S +在直线*1().1x y
n n n
-=∈+N （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
12n n n n n S S b S S ++=
+-数列{}n b 的前n 项和为n T ．是否存在正整数m 使得4
n m T <恒成立，若存在，求出正整数m 的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2n a n =（2）存在，最小的正整数m 为12． 【解析】 【分析】
（1）将点()1,n n S S +代入直线方程可得111n n
S S n n
+-=+,可解得2n S n n =+,再由1n n n a S S -=-求解即可；
（2）由（1）可得1122n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,利用裂项相消法可求得4n
m T <,则34m ≥,即可求解. 【详解】解:（1）由题知111n n
S S n n
+-=+, 当1n =时,112S a ==,
n S n ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭
是首项为2,公差为1的等差数列, 2(1)11n
S n n n
∴
=+-⨯=+, 2n S n n ∴=+,
当2n ≥时,1n n n a S S -=-, 又12a =适合上式,
2n a n ∴=.
（2）存在, 由（1）(1)(1)(2)
2(1)(2)(1)
n n n n n b n n n n +++=
+-+++
4112(2)2n n n n ⎛⎫=
=- ⎪++⎝⎭
1n n T b b b ∴=++⋯+
1111111112132435112n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭
1
1121212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭
3
112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭
22
3312
n n =-
-<++,
4
n m
T <
Q 恒成立, 34
m
∴
≥即12m ≥, 又*m N ∈Q ,min 12m ∴=,
∴存在最小的正整数m 为12.
【点睛】本题考查等差数列的定义,考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和,考查数列的不等式问题.。