【数学】3.2《二倍角的三角函数》课件(北师大版必修4)
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高中数 二倍角的三角函数课件 北师大必修
选择题
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性
高中数学 第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数 第2课时 半角公式及其应用课件 北师大版必修4
θ
sin 2 ，
θθ
cos 2 ，tan 2 的值分别为( B )
A．－255， 55，2
B．－255，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－255，－ 55，－2
(2)若 cosα＝－45，α 是第三象限的角，则11＋ －ttaannαα22＝( A )
A．－12
1 B.2
C．2
D．－2
(3)若1－sincoαs α＝2，则 cosα－sinα＝_－__75_____.
探究点一 给值求值
已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sinα＝45，sinβ＝1123，求 cosα－2 β的值． (链接教材 P127 例 6，例 7) [解]因为 α 为钝角，β 为锐角，sinα＝45，sinβ＝1123， 所以 cosα＝－35，cosβ＝153，
所以 cosα＝－35，cosβ＝153，
(4)若 α 是第一象限角，则 tanα2＝
1－cos α 1＋cos α.(
√
)
解析：(1)错误．只有当－π2 ＋2kπ≤α2≤π2 ＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ
≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cosα2＝
1＋cos α 2.
(2)正确．当 cosα＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用
tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
1－cos sin α
α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问
题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 siα计算．
(4)下结论．结合(2)求值.
1.(1)已知|cosθ|＝35，且5π 2 <θ<3π，则
高中数学 第三章 二倍角的三角函数课件2 北师大版必修4(1)
sin2x=2sinxcosx
上面公式成立吗? 怎样证明?
二、知识回顾：
1．写出两角和的正弦、余弦、正切公式是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan tan( ) 1 tan tan
发学生学数学的兴趣。(2)反馈练习法：以练习来检验
知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
一、问题 sin
6
与 cos
6
积的关系
用计算器计算sin 360 和sin 180 与cos180的积.
比较sin2x与sinx·cosx的值,猜想sin2x的公式
(2)求sin2α+cos2α的值
5 已知 sin( x) , (0 x ) 题 2、 4 13 4
求 cos 2 x cos( x) 4
(2)
7 15 8
的值。
24 13
已知(2sinx+cosx)(sinx+2cosx-3)=0
sin 2 x cos 2 x 求 的值。 tan 2 x
120 sin 2 169
119 cos 169
120 tan 119
（倍角公式的直接运用）
分析：
1、在题中要求的问题看：显然要写出倍角
公式。 2、分析可知,，要通过正弦函数来求余弦。 3、重点是要确定余弦的正、负号的问题。 一定要根据角终边所在的的象限来确定。
说明： 1、倍角公式不仅可运用 于将2作为的2倍 的情况，还可以运用于 诸如将4作为2的2倍。
北师大版必修4高中数学3.3.1《二倍角的三角函数》ppt课件
tan
1 2
1 3
1 2
5. 6
方法二：
sin2
2sincos sin2 cos2Biblioteka 2tan 1 tan2
,
cos2
cos2 sin2 sin2 cos2
1 1
tan 2 tan 2
,
2tan
原式
＝ sin2 1 cos2
【规范解答】由2α +β ＝π知，β =π-2α ， 所以y＝cos(π-2α)-6sinα =-cos2α-6sinα =2sin2α-6sinα-1 …………………………………………4分 令t＝sinα则t∈[-1,1]，原题变为求y＝2t2-6t-1在区间 [-1,1]上的最值． ………………………………………… 6分
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
sin20
1 sin40cos40cos80 2
sin20
1 sin80cos80 4
1 sin160 8
1.
sin20
sin20 8
方法二： 原式 sin40 g sin80 gsin160 1gsin160 1 .
【数学课件】二倍角的三角函数(2)
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
3.2 二倍角的三角函数(2)
探究练习1:
已知tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角,求 2的值?
7
3
探究练习2:
已知：tan
=
1 2
,
求
tan(
2
2
)的值？
探究练习3:
• 1) 已知
x ( , ),sin( x) 3 ,求cos 2x的值？
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
1.对二倍角公式的变形使用： 1+sin2x=(sinx+cosx)2 ; 1 sin 2x (sin x cos x)2; 1 cos 2x 2 cos2 x; 1 cos 2x 2sin2 x;
3.2 二倍角的三角函数(2)
探究练习1:
已知tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角,求 2的值?
7
3
探究练习2:
已知：tan
=
1 2
,
求
tan(
2
2
)的值？
探究练习3:
• 1) 已知
x ( , ),sin( x) 3 ,求cos 2x的值？
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
1.对二倍角公式的变形使用： 1+sin2x=(sinx+cosx)2 ; 1 sin 2x (sin x cos x)2; 1 cos 2x 2 cos2 x; 1 cos 2x 2sin2 x;
高中数学北师大版必修4第3章3《二倍角的三角函数》ppt课件
(5)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn320×°－101°0°＝4ssiinn2200°° ＝4. [规律总结] 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系， 另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及 诱导公式是常用的方法．
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
(1)化简2sicno2sxx·(1＋tanx·tan2x)．
(2)求证：33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A．
[解析] (1)原式＝2s2incxocsoxsx(1＋csoinsxx·1－sincoxsx) ＝sinx(1＋1－cocsoxsx)＝csoinsxx＝tanx.
[规范解答] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝ cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－ tan60°＝－ 3. (4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2 ＝12·2sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.
《二倍角的三角函数》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】
北师大版·统编教材高中数学必修4
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α＝β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x １
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以－β代β
S(α+β) C(α+β)
以－β代β
作 商 T(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
β＝α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结：注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值： （1）2cos105 cos15 ；
（3）1
tan15 tan2 15
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α＝β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x １
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以－β代β
S(α+β) C(α+β)
以－β代β
作 商 T(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
β＝α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结：注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值： （1）2cos105 cos15 ；
（3）1
tan15 tan2 15
高二数学3.3二倍角三角函数 课件 (北师大必修4)
例2.化简
(1ห้องสมุดไป่ตู้(sin
5 5 3 5 5 5 5 2 5 cos2 cos cos )(sin cos ) sin 12 12 6 2 12 12 12 12
4
(2) cos
2
sin
4
2
(cos 2
2
sin 2
2
)(cos 2
2
sin 2
2
) cos
2 tan 1 1 tan 2 (3) 2 1 tan 1 tan 1 tan
(4)1 2cos2 cos 2 2
(5) 1 sin | sin
=
2
cos
2
|
1 sin 8 8
(6)sin cos cos 2 cos 4
例3.已知
5 cos , 是第二象限角，求 sin 2 ,cos 2 , tan 2 的值。 13
例4.要把为R的半圆形木料截成长方形（如右图应怎样截取， 才能使长方形面积最大？
动态分析
7 例5.已知 cos 25
，求
sin
2
, cos
2
, tan
2
的值。
例6.已知
12 3 sin 2 , 2 , 求 tan 13 2
例7.求函数
y cos x cos x sin x
2
的值域.
小结：
sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 1
北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)
∵54π<x<74π，∴－32π<π4－x<－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
[巧归纳] 先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽
量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.
[练习 2] 1.已知 cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且 α，β∈0，π2，则 cos(α－β)的值等于
( D)
A.－12
1 B.2
C.－13
23 D.27
解析：∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－79，
∴sin 2α＝ 1－cos22α＝492， 而 α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，
sin cos
α＋cos α－sin
αα＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)．
因为 α∈0，π4，所以 sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝12，即 sin 2α＝12.由 α∈0，π4，得 2α∈0，π2，所以 2α＝π6，即 α
＝1π2.
[巧归纳] 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行： (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大 小. [练习 3] 已知 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且 α，β 都是锐角，求 α＋2β 的值．
[解] (1)由 2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π8＋k2π，k∈Z，所以 f(x)的定义域为 x∈Rx≠π8＋k2π，k∈Z .
高中数学北师大版必修四 二倍角的三角函数(一)ppt课件(50张)
§3
二倍角的三角函数(一)
二倍角公式及其变形
2sinα cosα
sinα cosβ+cosα sinβ
2cos2α -1 cosα cosβ-sinα sinβ 1-2sin2α
tan tan 1 tan tan
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 2α =2sin α .( ) ) )
【探究提示】1.利用降幂公式得 cos 2 ( ) 1 sin 2 . 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=
4
2
sin( 2x) 2sin( x)cos( x), 2 4 4 cos( x) sin[ ( x)] sin( x). 4 2 4 4
【解析】(1)原式= sin sin( ) sin cos
12
2 12
12
12
= 2sin
答案：
sin cos 12 12 6 1 . 2 2 4
1 (2)原式＝ 4 cos(2〓750°)＝cos 1 500°＝cos(4〓360°＋
60°)＝cos 60°＝ 答案： .
3 3
【题型示范】
类型一
用二倍角公式解决给值求值问题
【典例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ)已知sin 2α = =( )
2 ， cos 2 ( ) 3 4
则
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
(2)(2013·四川高考)设sin 2α =-sin α ，α ∈ ( , )，则 tan 2α 的值是_________． (3)已知
二倍角的三角函数(一)
二倍角公式及其变形
2sinα cosα
sinα cosβ+cosα sinβ
2cos2α -1 cosα cosβ-sinα sinβ 1-2sin2α
tan tan 1 tan tan
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 2α =2sin α .( ) ) )
【探究提示】1.利用降幂公式得 cos 2 ( ) 1 sin 2 . 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=
4
2
sin( 2x) 2sin( x)cos( x), 2 4 4 cos( x) sin[ ( x)] sin( x). 4 2 4 4
【解析】(1)原式= sin sin( ) sin cos
12
2 12
12
12
= 2sin
答案：
sin cos 12 12 6 1 . 2 2 4
1 (2)原式＝ 4 cos(2〓750°)＝cos 1 500°＝cos(4〓360°＋
60°)＝cos 60°＝ 答案： .
3 3
【题型示范】
类型一
用二倍角公式解决给值求值问题
【典例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ)已知sin 2α = =( )
2 ， cos 2 ( ) 3 4
则
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
(2)(2013·四川高考)设sin 2α =-sin α ，α ∈ ( , )，则 tan 2α 的值是_________． (3)已知
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数(2)课件2北师大版必修4
第四页，共50页。
3.计算tan22.5°=________. 【解析(jiě xī)】tan22.5°= 答案: -1
第五页，共50页。
4.若
=________.
【解析】因为(yīn wèi)
所以
答案:
第六页，共50页。
5.化简:
=________.
【解析(jiě xī)】原式=
答案:
第七页，共50页。
答案:-cos 2
第二十四页，共50页。
2.(变换条件(tiáojiàn))典例1中若将条件(t3iáojiàn)“ <θ<2π”改为“π<θ< ” 3
结果如何?
2
2
第二十五页，共50页。
【解析( jiě xī)】原式= 因为 故 又 故原式= 答案:2cos
2
第二十六页，共50页。
【方法技巧(jìqiǎo)】利用半角(倍角)公式化简三角函数的要求及方法 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求: ①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量 少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法: ①弦切互化,异名化同名,异角化同角.②降幂或升幂.
【延伸探究】典例2中f(x)在区间 上的最大值和最小值是什么?
【解析】因为(yīn wèi)
所以
所以f(x)在区间
上的最大值为2,最小值为-1.
[0, ] 2
第三十七页，共50页。
【方法技巧】较复杂三角函数性质(xìngzhì)问题研究流程
第三十八页，共50页。
【变式训练】函数y=-acos2x- as3in2x+2a+b,x∈ 值域是[-5,1],求常数(chángshù)a,b的值. 【解析】y=-a( s3in2x+cos2x)+2a+b
3.计算tan22.5°=________. 【解析(jiě xī)】tan22.5°= 答案: -1
第五页，共50页。
4.若
=________.
【解析】因为(yīn wèi)
所以
答案:
第六页，共50页。
5.化简:
=________.
【解析(jiě xī)】原式=
答案:
第七页，共50页。
答案:-cos 2
第二十四页，共50页。
2.(变换条件(tiáojiàn))典例1中若将条件(t3iáojiàn)“ <θ<2π”改为“π<θ< ” 3
结果如何?
2
2
第二十五页，共50页。
【解析( jiě xī)】原式= 因为 故 又 故原式= 答案:2cos
2
第二十六页，共50页。
【方法技巧(jìqiǎo)】利用半角(倍角)公式化简三角函数的要求及方法 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求: ①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量 少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法: ①弦切互化,异名化同名,异角化同角.②降幂或升幂.
【延伸探究】典例2中f(x)在区间 上的最大值和最小值是什么?
【解析】因为(yīn wèi)
所以
所以f(x)在区间
上的最大值为2,最小值为-1.
[0, ] 2
第三十七页，共50页。
【方法技巧】较复杂三角函数性质(xìngzhì)问题研究流程
第三十八页，共50页。
【变式训练】函数y=-acos2x- as3in2x+2a+b,x∈ 值域是[-5,1],求常数(chángshù)a,b的值. 【解析】y=-a( s3in2x+cos2x)+2a+b
高中数学 3.3二倍角的三角函数多媒体教学优质课件2北师大版必修4
2.(2014·安徽示范高中检测)若 sin(π－α)＝
－
5 3 ，且
α∈π，32π，则
sinπ2 ＋α2 ＝(
B
)
A．－
6 3
B．－
6 6
C.
6 6
D.
6 3
第二十二页，共30页。
3.(2013·新课标全国(quán ɡuó)高考)
已知 sin 2 2，则 cos2 ( （)
A. 1
B3. 1
用
2
代替推导出来的，记忆时可联想相应的二倍
角公式.
第十页，共30页。
3、关于公式的几个(jǐ ɡè)说 明： （1）正弦和余弦函数的半角公式对任意角均成立
(chénglì)，对于正切的半角公式 2k 1 (k Z ).
（2）等式中的“半角”的意义是相对的，如：
半角公式不仅可运用于将 作为的半角的情况，还可
看作是一个三角形的三个内角.
第十九页，共30页。
三角恒等式的证明:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般从
繁到简.
(tíshēng)
提 (2)左右归一，即证左右两边等于同一个式
总 升 子.
左
结 (3)分析法右,从结论出发,推理之后即证一个
显然成立的式子或已知条件.
(4)也可证 ＝1或左－右＝0.
第四页，共30页。
例1 利用(lìyòng)二倍角公式证明
：
sin
1 cos
2
2
cos
1 cos
2
2
tan 1 cos
2
1 cos
sin 1 cos
1 cos . sin
第五页，共30页。
证明 在二倍角公式
北师大版数学必修四课件：3.3.2二倍角的三角函数
sin
cos
1 cos 2 2 3 sin 2 5 3. tan 2 cos 4 4 2 5
利用公式化简、证明
1.三角函数式化简的方法与技巧： (1)应用公式：根据式子的结构，明确对公式是正用、逆用， 还是通过拼凑变形用.
(2)统一函数名称和角：常采用异名化同名，异角化同角等
【审题指导】半角公式是用单角的余弦值求半角的三角函 数值，因此要先根据条件求出cosα,再代入半角公式求值.
【规范解答】由已知 sin 24 , 3 2 得
25 2 cos 1 sin 2 7 3 , ( , ), 25 2 4
根据半角公式得
1 cos 2 2 1 7 25 3 , 2 5 1 7 25 4 ， 2 5
(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完
成恒等式的证明.
【例2】化简：
1 sin cos (sin
cos ) 2 2 0 . 2 2cos
【审题指导】式子中含有根式，先化单角为半角去根号，
再利用有关公式进行化简.
【规范解答】∵0<θ<π, 0 .
2 2 (2cos 2 2sin cos )(sin cos ) 2 2 2 2 2 ∴原式 2g2cos 2 2 2cos (cos sin )(sin cos ) 2 2 2 2 2 sin 2 cos 2 cos. 2 2 2cos 2
2
2
2
三角函数实际应用问题 解决三角函数实际应用问题的方法 三角函数实际问题以“三角函数”为模型的数学实际
应用问题，解决这类问题关键在于建立以“角”为自变量
高中数学北师大版必修四 第3章 §3 二倍角的三角函数 课件(39张)
【解析】 (1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错． (2)cos 2α＝2cos2α－1，所以(2)错． π kπ 2tan α (3)α≠4＋ 2 (k∈Z)时，有tan 2α＝ ，所以(3)错． 1－tan2α 1 1 2 (4)sin 22° 30′cos 22° 30′＝2×2sin 22° 30′cos 22° 30′＝2sin 45° ＝ 4 ，所以 (4)对．
2
[探究共研型]
三角恒等变形的综合应用
探究1 倍角公式成立的条件是什么？
2
6 ∴sin α＝－ 1－cos α＝－ 3 . sin α ∴tan α＝cos α＝－ 2.
∵α为第四象限角， α ∴2是第二或第四象限的角， α ∴tan 2<0. 2－ 6 α 由tan α＝ ，得tan2＝ 2 . α 1－tan22 α 2tan2
α α 在求半角的正切tan2时，用tan2＝±
10° 1＋
＝
3 10° ＋ 2 sin 10° 2 2 sin 40°
2 2sin 40° ＝ sin 40° ＝2 2.
3π π α 3π (2)∵π<α< 2 ，∴2<2< 4 ， α α ∴ 1＋cos α＝ 2|cos 2|＝－ 2cos 2， α α 1－cos α＝ 2|sin 2|＝ 2sin 2， 1＋sin α 1－sin α ∴ ＋ 1＋cos α－ 1－cos α 1＋cos α＋ 1－cos α 1＋sin α 1－sin α ＝ α α＋ α α － 2cos2＋sin2 2sin 2－cos 2
[再练一题] 1 1．已知 sin α＋cos α＝3，且 0<α<π，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的值.
北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 §3 二倍角的三角函数公式
1.(1)sin =±
(2)cos =±
(3)tan
=±
-
.
+
.
-
(无理式)
+
=+(有理式)
-
=
(有理式).
2.如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?
提示:(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两
(4)
=-cos(2×22°30')- =-cos 45°- =-
− .
探究二 给值求值、给值求角问题
【例 2】 (1)已知 α∈
- ,
,且 sin 2α=sin −
小;
(2)已知 sin
-
=
,0<x< ,求
+
的值.
+ +
证明:因为左边= +
(+)
=(+)
+
= = tan
所以原等式成立.
α+=右边,
探究四 三角恒等变换的综合应用
【例 4】 已知函数 f(x)=(3 sin x+cos x)cos x-2sin
间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和
角之间的二倍关系.
(2)当遇到±x
这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将
条件与结论沟通.
(2)cos =±
(3)tan
=±
-
.
+
.
-
(无理式)
+
=+(有理式)
-
=
(有理式).
2.如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?
提示:(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两
(4)
=-cos(2×22°30')- =-cos 45°- =-
− .
探究二 给值求值、给值求角问题
【例 2】 (1)已知 α∈
- ,
,且 sin 2α=sin −
小;
(2)已知 sin
-
=
,0<x< ,求
+
的值.
+ +
证明:因为左边= +
(+)
=(+)
+
= = tan
所以原等式成立.
α+=右边,
探究四 三角恒等变换的综合应用
【例 4】 已知函数 f(x)=(3 sin x+cos x)cos x-2sin
间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和
角之间的二倍关系.
(2)当遇到±x
这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将
条件与结论沟通.
高中数学下学期 3.2.3二倍角的正切课件 北师大版必修4
的两个实数根．∴tan A＋tan B＝－38
①
tan A·tan B＝－31 ②
A、B、C 是△ABC 的三个内角， 则有 A＋B＋C＝π⇒C＝π－(A＋B)， ∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) ＝－1t－antaAn＋AttaannBB＝2.
1．公式 Tα±β 的适用范围 由正切函数的定义可知 α、β、α＋β(或 α－β)的终 边不能落在 y 轴上，即不为 kπ＋π2(k∈Z)． 2．公式 Tα±β 的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值
＝1，求 tan β 的值． 解析： ∵sin α＝35，α 是第二象限角， ∴cos α＝－45，∴tan α＝－43， ∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝11－＋4343＝7.
两角和与差的正切公式活用 求值： (1)1＋3－3ttaann1155°°； (2)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°.
想办法利用已知条件中的角α＋β与α－β 表示所求式中的角，不难看出2α＝α＋β ＋α－β，2β＝α＋β－α－β，tan2α＋π4 可用tan 2α表示出来.
[解题过程] tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ＝1－5＋5×3 3＝－47， tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα－－ββ ＝1＋5－5×3 3＝81， tan(2α＋π4)＝11＋－ttaann 22αα＝11－ ＋4747＝131.
sin α 1．tan α＝__co_s__α__.
2．cos(α±β)＝__c_o_s _α_c_o_s_β_∓__si_n__α_si_n__β__.
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1 = 2sin cos = sin = 12 12 6 2
π
π
π
例2.化简 2.化简
5π 5π 5π 5π ①． (sin + cos )(sin − cos ) 12 12 12 12 5π 3 2 5π 2 5π = − cos = 解 : 原式 = sin − cos 6 2 12 12
②． cos
1 + cos 2 x 1 y= + sin 2 x 2 2
2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
Q sin(2 x + ) ∈ [ −1,1] 4
2 1 2 1 ∴ y ∈ [− + , + ] 2 2 2 2
π
课堂小结
.二倍角公式 1 .二倍角公式
sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − sin 2 α , 2 tan α tan 2α = . 2 1 − tan α
解 : 原式 = 1 + 2 cos 2 θ − 2 cos 2 θ + 1 = 2
例3、已知
12 π sin α = , α ∈ ( , π ) 13 2
:sin2α cos2α tan2α的值. 求:sin2α，cos2α，tan2α的值.
解: ∵ sin α =
12 π , α ∈ ( ,π ) 13 2
于是 sin4α = 2sin2α cos2α = 2×
；
5 12 120 × − = − 13 13 169
2
5 119 cos 4α = 1 − 2sin2 2α = 1 − 2 × = 13 169
120 sin 4α 120 tan 4α = = 169 = − cos 4α 119 119 169 −
5 π π sin2α = , <α < , 求: sin4α,cos4α,tan4α 的值． 的值． 变式1 变式1：已知 13 4 2
解：由 π < α < π ,
4 2
得
π
2
< 2α < π
5 , 又因为 s in 2 α = 13
2 2 2α = − 1 − 5 = − 12 cos 2α = − 1 − sin 13 13
1 2 sin 45o = 2 4
π 2 π ②．2 cos − 1 = cos = 4 2 8
2
③．sin 2 ④． 8 sin
π π π 2 − cos 2 = − cos = − 8 8 4 2
π π π π π π π cos cos cos = 4 sin cos cos 48 48 24 12 24 24 12
2.二倍角变式： 2.二倍角变式： 二倍角变式
2 cos α = 1 + 2 cos 2α
2
2sin α = 1 − cos 2α
2
3．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的. 公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的. α α 如: 是 的倍角. 的倍角. 4 8 4．应用公式解决求值、化简等问题. 应用公式解决求值、化简等问题.
二倍角的三角函数
赣州一中 高一数学备课组
探究新知 学生活动 你能否从两角和的正弦、余弦、 你能否从两角和的正弦、余弦、正切公式中 推导出二倍角公式吗? 推导出二倍角公式吗? 数学理论 二倍角公式： 二倍角公式： 二倍角公式的变形： 二倍角公式的变形：
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
1 sin 40 o cos 40 o cos 80 o = 2 sin 20 o
1 1 o o sin160o sin 80 cos80 1 =4 =8 = sin 20o sin 20o 8
1 变式: 变式:求值 sin 10° cos 20° cos 40° cos 60° = 16
x 2 cos − sin x − 1 2 5.已知 例5.已知 tan x = 2, 求 的值. 的值. sin x + cos x
谢谢各位的指导! 谢谢各位的指导!
4
α
2
− sin
4
α
2
2
解 : 原式 = (cos + sin )(cos − sin ) = cos α 2 2 2 2 1 1 − ③． 1 − tan α 1 + tan α 2 tan α 解 : 原式 = = tan 2α 2 1 − tan α
2 2 2
α
α
α
α
④． 1 + 2 cos 2 θ − cos 2θ
1 ∴ cos 2α = 3
又 π < 2α < 2π ∴
2 2 sin 2α = − 3
4 2 ∴ sin 4α = 2sin 2α cos 2α = − 9
求值：cos20°cos40°cos80° 例4. 求值：cos20°cos40°cos80°
sin 20 o cos 20 o cos 40 o cos 80 o 原式= 解:原式= sin 20 o
；
1 π 变式2: 2:已知 变式2:已知 sin( + α ) sin( − α ) = , α ∈ ( , π ), 4 4 6 2 求: sin 4α 的值. 的值.
1 π π 解：∵ = sin( + α ) cos( + α ) 6 4 4
π
π
1 π 1 = sin( + 2α ) = cos 2α 2 2 2
2
提示 :
x 2 cos − sin x − 1 cos x − sin x 2 = sin x + cos x sin x + cos x
2
1 − tan x 1 − 2 = = =3 1 + tan x 1 + 2
变式. 变式.求函数 解：
y = cos 2 x + cos x sin x
的值域. 的值域.
2 tan α tan 2α = 1 − tan 2 α
2α ≠
cos 2α = 2 cos 2 α − 1
= 1 − 2sin 2 α
1 + cos 2α cos α = 2 1 − cos 2α sin 2 α = 2
2
π
2
+ kπ ,α ≠
π
2
+ kπ
(k
∈ z)
数学应用
例1.（公式巩固性练习）求值： 1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22°30＇cos22°30＇= sin22°30＇cos22°30＇
2
5 ∴ cos α = − 1 − sin α = − 13
120 sin2α 2sinαcosα ∴sin2α = 2sinαcosα = − 169
119 cos2α cos2α= 1 − 2sin α = − 169
2
sin 2α 120 = tan2α tan2α = cos 2α 119