小学四年级奥数(周期问题)

小学四年级奥数
第8 讲周期问题
知识方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
我们发现在日常生活和学习中，有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重夏出现的，我们把这种现象叫周期现象，而重复出现一次的时间或重复出现一次的个数做周期。

在研究这些筒单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环一次的个数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

重点点拨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
【例 1】假设所有的自然数排列起
来，
如下所示， 49 应该排列在
第几个循环及哪个字母下
面 ?
(1) A B C D E
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11
(2) A B C D E
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
11
分析与解从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大5 个数一个循环，我们可以根据这些数除以 5 所得的余数来分析判断 :
(1)49÷5=9⋯4
49 应该排在第 10 个循环第 4 个字母 D 下面。

(2)49÷10=4⋯9 应该在 B的下面。

【例 2】用 1，2， 3，4 这四张卡片可以组成不同的四位数，如把它们从小到大依次排列，第一个是 1234，第二个是1243，第 20 个是多少 ?
分析与解每个数字在千位上都出现 6次，一共可以组成24 个不同的四位数，以 6 次为一周期。

20÷6=3⋯⋯ 2
应是第四周期中的第 2 个数，千位上是 4 的数从小到大是 4123， 4132，4213等，所以第 20 个数是 4132。

【例 3】下面是一个 11 位数，它的每三个相邻的数字之和都是 24，求它每一位数上的数字分别是多少 ?
分析与解我们把从左边算起的第一数记做 a1(a1=8)，依次编号位 a1，a2，⋯⋯ a11.
每三个相邻数字和都是 24 可知，
a1+a2+a3=a2+a+a4=a+a1+a3=24 因为 a1=8，所以 a2+a3=16，而 a2+a3+a1=24，所以 a4=8，同理 a7=8，a10=8，由此可见这个数字的周期是 3。

因为 a11=9，所以 a9=7，由此可知这列数是以 8，9， 7 这三个数字为循环周期的，因此这个 11 位数是 89789789789789。

【例 4】有一列数 :6，5，4， 2，6，5，4，2，⋯⋯
(1)第 130个数是多少 ?
(2)这 130个数相加的和是多少 ? 升 5年级
分析 (1)从排列可以看出，这组数是按照 6，5，4，2 一个循环
依次不断重复出现的，那么一个循环就是 4 个数，由
130÷4=32⋯⋯
2.可知有 32个循环(6，5，4，2)还剩 2个数，所以第 130 个数是 5。

(2)每个循环各数之和是 6+5+4+2=17。

所以这 130 个数相加应是 17×32+6+5=555。

解答 (1)130÷4=32⋯2，第 130 个数是 5。

( 3)(6+5+4+2)X32+6+5=55，5 这 130 个数之和是 555。

答:第130个数是 5。

这 130个数相加是 55。

【例 5】有一列数 2， 9，8，2， 6，⋯从第 3 个数开始，每个数都是前面两个数乘积的个位数字，那么这一列数的第101个数是几 ?
分析与解我们继续写这列数， 2，9，8，2，6，2，2，4，8，2， 6，2，2，4，⋯⋯发现这列数从第 3 个数字开始循环(8，2，6，2，2， 4)，6 个数字为一周期。

(101-2)÷6=16⋯⋯ 3
答:第 101 个数是 6。

【例 6】有一个 1000 位数，各数位上的数字都是 1，这个数除以
6，余数是几 ?商的个位数字是几 ?
分析与解先除一除，然后列表找周期：
观察发现，余数是按 1，5，3 重复出现的。

余数周期是 3，商的
末位数字除第一个“ 0”以外，出现的周期也是 3 1000÷ 3=333⋯1，余数是 1。

(1000-1)÷3=33，商的末位数字是 5
培优高手⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1. 假设所有自然数排列起来，如下图所示， 78， 2016 应分别排列在哪个字母下面 ?
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
16 15 14 13
2.2000个学生按下列方法编号，排成五列。

问 :第 2000个学生排在哪个字母的下面 ?
A B C D E
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
18
3.用 1，4，6，8 四个数字组成不同的四位数，把它们按从大到小的顺序排列，第 16 个数是什么？
4.小明把积存下来的硬币按照四个 1 分，再三个 2 分，最后
两
个 5 分这样的顺序一直往下排。

(1)他排到的第 101 个是几分硬币 ?
(2)这 101 个硬币是多少钱 ?
5.⋯按这样的排法， 75 枚棋子中有多少枚白棋子 ?有多少枚黑棋子 ?
6.下面是一个 11 位数，它的每三个相邻的数字之和都是 18，求它每一位数上的数字分别是多少 ?
7.有一串数字 9，2，8，6，⋯，从第三个数字起，每一个数字都是它前面两个数字的积的个位数字。

这一列数的第 100 个是几 ?
8.有一个 100位数，各位数字都是 1，这个数除以 3，余数是几 ? 商的末位数字是几 ?
9.有 14 个数从左到右排成一横排。

任何 3 个相邻的数加起来都是 20。

如果第 4 个数为 9，第 12 个数为 7 ，那么第 8
个数为多少 ?
10.下表中，每列上下两个汉字组成一组，例如，第一组
是（学，
认），那么，第 500 组是什么？
11.有一个 1000 位数，各位数都是 1，这个数除以 7，余数是
几 ?
商的末位数字是几 ?
12.求下面算式所得结果的个位数字
22222
444
44。