正余弦函数的图像和性质导学案

1.4.1-1.4.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质
学习目标
1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象． 2．了解周期函数及最小正周期的概念．
3．熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题．
学习重点、难点
1．能熟练运用“五点法”作图． 2．会求一些简单三角函数的周期．
3．掌握正、余弦函数的有关性质并会运用．
学习过程 任务一、课前准备
（预习教材P 30~ P 40，找出疑惑之处）
任务二、新课导学
一、正（余）弦函数的定义
实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值，这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sin x （或cos x ）与之对应,由这个对应法则所确定的函数sin y x = (或cos y x =)叫做正弦函数（或余弦函数）其定义域是R ，及sin y x =)(R x ∈叫做正弦函数，cos y x =)(R x ∈叫做余弦函数．
二、正（余）弦函数的图像
注：1．我们可以利用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象．
2．为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．
※ 探索新知：正弦函数的图像
① 函数y=sinx 的图象
第一步：在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线． 第二步：在相应坐标系内，在x 轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线
进行右移． 第三步：通过刚才描点（x 0,sinx 0）,把一系列点用光滑曲线连结起来．
2π11π
6
5π
3
3π24π37π6
π5π62π3
π2
π3π612π11π6
3π27π65π6π6π2
5π34π3π2π3π3-1
O
x
y
问题1：观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？
问题2：如何作sin ()y x x R =∈的图象？（自己动手完成）
② 余弦函数y=cosx 的图象
探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图像变换得到余弦函数的图象吗？
)2
sin(
)2
sin(
cos x x x +=-=π
π
根据诱导公式cos sin()2
x x π
=+
,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移
2
π
个单位长度即得余弦函数y=cosx 的图象.
问题：为什么选第二个诱导公式而不选第一个？
余弦函数cos y x =，[0,2]x π∈的五个关键点是： . ③ 正弦曲线与余弦曲线：
正弦函数sin y x =的图象和余弦函数cos y x =的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
④用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
y=cosx
y=sinx
π
2π
3π
4π
5π
6π-π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-6π
-5π
-4π
-3π
-2π
-π
6π5π
4π
3π
2π
π
-1
1
y x
-11
o x
y
例1．画出下列函数的简图．
（1）1sin ,[0,2]y x x π=+∈（2）cos ,[0,2]y x x π=-∈
练1．画出下列函数的简图：
（1）sin y x = （2）2sin ,[0,2]y x x π=-∈
三、正（余）弦函数的性质
1．定义域：
正(余)弦函数的定义域都是 ． 2．值域：
（1）正弦函数的值域是[1,1]-
① 当且仅当22x k π
π=+, ()k Z ∈时，取得最大值 ； ② 当且仅当322
x k π
π=+，()k Z ∈时，取得最小值 ． （2）余弦函数的值域是[1,1]-
① 当且仅当2k π()k Z ∈时，取得最大值 ； ② 当且仅当2x k ππ=+，()k Z ∈时，取得最小值 ．
例2．求下列函数的定义域、值域． （1）4cos y x =-（2）lgsin y x =（3）cos(2),[,]3
y x x π
ππ=-∈-
练2：
（1）求函数22sin cos 1y x x =+-的定义域． （2）求函数2sin(2),[,]3
66
y x x π
ππ
=+
∈-
的值域．
例3．求下列函数的最值，并指出分别什么时候取到最值.
（1）sin 21y x =+ （2）2
sin 2sin y x x =+
课后作业（一）
1．函数sin
3
x
y =
-的定义域 ．
2．()f x 的定义域为[0,1)，(cos )f x 的定义域 ． 3.求函数的定义域:（1）x y cos 11-= （2）2cos sin cos x
y x x
=-
4．求下列函数的值域． （1）1
3sin(),[,]2
4
y x x π
ππ=-
∈- （2）3sin 1
sin 2
x y x -=
+
5．求下列函数的最值，并指出分别什么时候取到最值. （1）2sin y x =-
（2）cos 1y x =+ ①x R ∈ ②[,]34
x ππ
∈- （3）1sin()33
6
y x π
=-++
6．若cos3y a b x =-的最大值为32，最小值为1
2
-，求2sin y a x b =+的最值.
3．周期性：
周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.（观察图象）正弦函数()sin f x x =性质如下：
（1）正弦函数的图象是有规律不断重复出现的.
（2）规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k Z ∈重复出现）. （3）这个规律由诱导公式sin(2)sin k x x π+=可以说明.
当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． （4） 2π,4π等叫做函数sin y x =的周期. 有关周期函数的说明：
（1）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期. 我们通常所说的三角函数的周期是指三角函数的最小正周期. （2）并不是所有周期函数都存在最小正周期.
（3）周期函数x M ∈，则必有x T M +∈, 且若0T >则定义域无上界；0T <则定义域
无下界. （4）“每一个值”只要有一个反例，则()f x 就不为周期函数（如00()()f x T f x +≠）. （5）周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则()kT T Z ∈一定也是这个函数的周期. 问题：
（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin(
)sin 6
36
π
ππ
+
=，能否说23π是它的周期？
（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？ （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*
k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？
同理当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有)(cos )2cos()2(x f x k x k x f ==+=+ππ． cos y x =周期为2k π（k Z ∈），最小正周期为2π. 例4.求下列函数的周期.
（1）3cos y x =（2）sin 2y x =（3）12sin()2
6
y x π
=-
结论：函数sin()y x ωϕ=+的周期是2T π
ω
=
．
练3.求下列函数的周期. （1）1sin(
)4y x ππ=-（2）sin(2)4
y x π
=-+
注：有关三角函数的周期性： （1）sin()y A x k ωϕ=++ 2T π
ω
=
．
（2)若函数()y f x =满足()()f x a f x +=-，其中0a >，则()f x 的周期为2a ． （3）若函数()y f x =满足1
()()
f x a f x +=
，其中0a >，则()f x 的周期为2a ． （4）若函数()y f x =满足()()f x a f x a +=-，其中0a >，则()f x 的周期为2a ．
例5．已知函数()f x 是奇函数，6是()f x 的一个周期，而且(1)1f -=,求(5)f .
例6．已知偶函数()y f x =满足条件(1)(1)f x f x +=-,且当]0,1[-∈x 时，9
4
3)(+
=x
x f ,求)(log 5
31f 的值.
课后作业（二）
1．设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ） .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f << 2．函数2
sin
x
y =的最小正周期是 ( )
A ．
2
π
B ．π
C ．π2
D ．π4 3．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )
A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 4．若函数()f x 满足(1)()f x f x -=，则函数()y f x =的一个周期是______________． 5．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=，若()15f =-， 则()()5f
f = ______________．
6．判断下列函数是否为周期函数；若存在最小正周期，请求出.
（1）sin 2y x = （2）sin(5)2
x y =+ （3） sin y x = （4）sin y x =
4．单调性：
（1）正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从 增大
到 ；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从 减
小 到 .即 ↑; ↓. （2）余弦函数在每一个闭区间 上都是减函数，其值从 减小
到 ；在每一个闭区间 上都是增函数，其值从 增大
到 .即 ↓; ↑.
例6．确定下列函数的单调区间． （1）1cos 2y x =- （2）1sin()23
y x π
=-+，[2,2]x ππ∈-
练4.确定下列函数的单调区间． （1）sin 3y x = （2）1sin()2
3
y x π
=+
，[2,2]x ππ∈-
例7．利用三角函数的性质比较下列各组数的大小． （1）sin()18
π
-
与sin()10
π
-
（2）23cos()5π-
与17cos()4
π
-
练5.利用三角函数的性质比较下列各组数的大小． （1）7cos()8π-与7cos()6
π
- （2）cos217与cos(1220)- （3）sin1,sin 2,sin 3
例8．解不等式1
sin 2
x ≥，[0,2]x π∈，若x R ∈呢？
练6.解不等式（1）3sin 2x ≥-（2）1cos 2
x ≤
课后作业（三）
1.函数⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y 23sin π的单调递减区间是（ ） A ．Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
-
,1252,12
2πππ
π B ．Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
,3114,354ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++
,1211,125ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ 2.下列不等式成立的是（ ） A ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-
10sin 18sin ππ B ．2sin 3sin >
C ．⎪⎭
⎫
⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-
417cos 533cos ππ D ．516cos 57cos
ππ< 3.若函数sin 1y x =+在区间,
2a π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．,
2π⎛
⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
B ．,2π⎛⎫
-∞-
⎪⎝
⎭
C ．,02π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．,22ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
4.函数cos y x =的一个单调增区间是（ ）
A ．,44ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5 .α、β、γ均为锐角,若31sin =α,2tan =β,4
3
cos =γ,则α、β、γ的大小顺序 是（ )
A.γβα<<
B.βγα<<
C.αβγ<<
D.αγβ<<
6.比较大小
（1）sin 250 sin 260 （2）15cos
8π 14cos 9
π
7.设sin 51x t =-，则t 的范围是 .
8.在ABC ∆中，sin sin sin A B C >>,则角A 、B 、C 的大小关系是 . 9.（1）求函数)3
2sin(2)(π
-
=x x f 在区间[0,]π上的单增区间. （2）求函数)3
2sin(2)(π
+-=x x f 的单调增区间.
10.解下列方程或不等式； （1）1sin 2x =
； （2）2
1sin 2x = （3）1sin 2
x >
5．奇偶性：
（1）正弦曲线关于 对称,及定义域关于原点对称且()()f x f x -=-所以函数
sin ,y x x R =∈为 函数；
（2）余弦曲线关于 对称,及定义域关于原点对称且()()f x f x -=，所以函数
cos ,y x x R =∈为 函数．
思考：请用诱导公式推导正（余）弦函数的奇偶性：
例8．求下列函数的奇偶性． （1）5()2sin(2)2
f x x π=
+（2）()2sin 2f x x =-（3）1sin ()lg
1sin x
f x x -=+
练7.判断下列函数的奇偶性．
（1）cos 2y x =+ （2）sin cos y x x =
例9．若函数()sin()f x x ϕ=+是R 上的偶函数，则ϕ= ．
练8.()5sin(2)f x x ϕ=+的图象关于原点轴对称，则ϕ= ．
6、对称性：
（1）sin y x =的对称轴为2
x k π
π=+
，k Z ∈；对称中心为)0,(πk ，k Z ∈．
（2）cos y x =的对称轴为x k π=，k Z ∈；对称中心为)0,2
(ππ
k +，k Z ∈．
例10．函数x y 2
1
sin
=的图象的一条对称轴的方程是（ ） A ． 0=x B ． 2
π
=x C ． π=x D ． π2=x
练9.函数 1()cos(3)22
f x x π
=+的对称轴是 ．
例11．设函数()sin(2) (0),f x x ϕπϕ=+-<<()y f x =的一条对称轴是直线8
x π
=
，
求ϕ的值．
例12．函数()4sin(2)6
f x x π
=-的对称中心是 ．
练10.函数1()2cos(
)28
f x x π
=-的对称中心是 ．
任务三、巩固训练
一、选择题
1．函数1cos y x =+的图象 （ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线x=
2
π
对称 2．函数1sin 32y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的最小正周期是（ ） A ．
π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π 3. 已知x x y x cos sin ),2,0(-+=
∈函数π的定义域为( )
A.][0,π
B.]23,2[ππ
C. ],2[ππ
D. ],22
3[ππ
4．不等式cos 0,[0,2]x x π<∈的解集为（ ） A ．[]π,0 B ．()π,0 C ．3[
,
]22ππ
D ．3(
,
)22ππ
5．函数y ＝sin （2x ＋2
5π）图象的一条对称轴方程是 ( ) A ．2
x π
=-
B ．4
x π
=-
C ．8
x π
=
D ．54
x π=
6.函数πsin 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象 （ ） A ．关于点π
03
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称 B ．关于直线π
4x =
对称 C ．关于点π
04
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称 D ．关于直线π
3
x =对称 7． 函数[]),0(),26
sin(2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )
A. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,
0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65 8.已知函数()sin()()2
f x x x R π
=-
∈，下面结论错误．．
的（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数 C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D ．函数()f x 是奇函数
9.函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ）
A ．ππ⎛⎫
- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭
，
D ．32π⎛⎫
π
⎪2⎝⎭
， 10.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离 的最小值
4
π
，则)(x f 的最小正周期是 A 2π B π C
2π D 4
π 二、填空题
11.)6
cos(
)(π
ω-=x x f 最小正周期为
5π
，其中0>ω，则=ω . 12.已知函数53
()sin 7f x ax bx c x =+++（a 、b 、c 为常数），且(3)8f =，则 (3)f -= .
13．函数sin(2)4
y x π
=+的周期是 ，对称轴是 ，对称中心是 ，
单调递增区间是 . 14. 比较ππ6
7
sin ,54cos ,4cos 的大小 .
15. 下列命题中正确命题的序号是 ． （1）cos y x =的图象向左平移
2
π
，得sin y x =的图象. （2）sin y x =的图象向上平移2个单位，得sin(2)y x =+的图象. （3）cos y x =的图象向左平移ϕ个单位，可得cos()y x ϕ=+的图象. （4）sin()3
y x π
=+
的图象由sin y x =的图象向左平移
3
π
个单位得到. 三、解答题
16.用五点法画出函数1cos (02)y x x π=+≤≤的简图
17.求下列函数的定义域 （1）sin
3x
y =-（2）1sin cos 2y x x =-+ （3）12
log [2sin(2)2]4x π++
18．求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的x 的取值集合. （1）3sin 2y x =- ①x R ∈ ②[,]34
x ππ
∈- （2）1
5cos()142y x π=-+
19.求下列函数的值域： （1）32cos 22y x =-+
（2）2
2cos cos 1y x x =-+ （3）3cos(3),[,]426
y x x πππ=-∈-
20.求下列函数的最小正周期. （1）1sin 2y x = （2）12sin()36y x π=- （3）112sin()cos()2326
y x x ππ=+--
21.判断下列函数的奇偶性. （1）2sin 2y x =（2）sin 1y x =-（3）1cos cos 1y x x =-+-
22.已知定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且1()02
f =，ABC ∆的内角A 满足(cos )0f A ≤，求角A 的取值范围.
1.4.3 正切函数的图象与性质
学习目标：
1.熟练运用正切函数的图象与性质解题.
2.能借助正切函数的图象探求其性质.
学习重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象、性质的研究. 学习过程：
任务一、课前准备
（预习教材P 42~ P 45，找出疑惑之处）
任务二、新课导学
复习回顾：
1.正切函数的定义域： ，周期： .
2.作正切线.
设置情境：前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数， 今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质.
知识探究
1.利用正切线绘制tan y x =在)2
,2(π
π-
内图象.
（将单位圆左移到y 轴的左侧，正切线的大小和方向不变，不影响其应用）
2.观察正切函数在定义域内的图象，填写正切函数性质：
（1）定义域： . （2）值 域： . （3）周期性： . （4）奇偶性： . （5）单调性： . （6）对称性： .
任务三、例题分析
例1.求函数)4
tan(π
+=x y
的定义域 .
练1.求下列函数的定义域. （1）)3tan(5x y
= （2）)
4
2tan(1π
-
=
x y
例2.求函数53tan()6126
y x x ππ
π
⎛⎫
=+≤≤ ⎪⎝⎭
的值域.
练2. 求函数tan(3),[0,]32
y x x π
π
=-∈的值域.
例3.比较大小：︒138tan 与︒143tan
练3.比较大小：)4
11tan(π-与)513tan(π
-
例4.求函数)4
2tan(3π
+=x y 的单调区间.
练4.求函数)4
2tan(3π
+-=x y 的单调区间.
例5.函数)4
2tan(3π
+=x y 的周期为 .
练5.函数)4
2tan(3π+-
=x y 的周期为 .
结论：tan()y A x ωϕ=+的周期为 .
例6.求函数1
2tan()23y x π=-的对称中心 .
例7.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围：
① tan 0x > ②tan 0x =
练6.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围：
① tan 0x < ②tan 3x >
任务四、巩固训练
一、选择题
1．函数)4tan(x y -=π
的定义域是（ ）
A ．{R x x ∈|且4π
-≠x } B ．{R x x ∈|且4
3π≠x } C ．{R x x ∈|且z k k x ∈-
≠,4ππ} D ．{R x x ∈|且z k k x ∈+≠,43ππ} 2．函数y =tan (2x +6
π)的周期是 ( ) A ． π B ．2π C ．
2π D ．4
π 3．已知a =tan1,b =tan2,c =tan3,则a 、b 、c 的大小关系是 ( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．b <c <a
D ． b <a <c
4．在下列函数中,同时满足(1)在(0,2
π)上递增；(2)以2π为周期；(3)是奇函数的是 ( ) A ． y =|tanx | B ． y =cos x C ．y =tan
21x D ．y =－tanx 5．函数y =lgtan 2
x 的定义域是 ( ) A ．{x |k π<x <k π+
4π,k ∈Z} B ．{x |4k π<x <4k π+2
π,k ∈Z} C ．{x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z} D ．第一、三象限 6．函数tan y x = 的图像对称于（ ）
A ．原点
B ．y 轴
C ．x 轴
D ．直线y x =
7．函数2tan(3)4y x π
=- 的一个对称中心是（ ）
A ．(,0)3π
B ．(,0)6π
C ．(,0)4π-
D ．(,0)2π
- 8．函数()tan (0)f x ωω=> 的图像相邻的两支截直线4y π=
所得线段长为4π ，则()4f π 的值是（ ）
A ．4
π B ．0 C ．1 D ．－1 9．已知函数y =tan ωx 在(-2π,2
π)内是单调减函数,则ω的取值范围是 ( ) A ．0<ω≤ 1 B ． -1≤ω<0 C ．ω≥1 D ． ω≤ -1
10．如果α、β∈(2
π,π)且tan α<tan β，那么必有 ( ) A ．α<β B ． α>β C ． α+β>
32π D ．α+β<32π 二、填空题
11．函数y =2tan(3π-2
x )的定义域是 ,周期是 ． 12．函数y =tan 2x -2tan x +3的最小值是 ．
13．函数y =tan(2x +3
π)的递增区间是 ． 14．下列关于函数y =tan2x 的叙述：①直线y =a (a ∈R)与曲线相邻两支交于A 、B 两点,则线段AB 长为π；②直线x =k π+2
π,(k ∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是(4k π,0),(k ∈Z),正确的命题序号为 ．
三、 解答题
15．求下列函数的定义域．
（1） 2cos 1
tan()3x y x π-=- （2）3tan 2
x y =-
16．判断下列函数的奇偶性．
（1）()tan f x x = （2）2tan tan ()1tan x x f x x
-=-
17．（1）函数 310cos ,136sin ,224tan 的大小关系是（用不等号连接）．
（2）若⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈6,
0πα,试比较tan(sin ).tan(tan ),tan(cos )ααα的大小．
18．已知α、(
,)2πβπ∈,且tan(π+α)<tan(52π-β),求证: α+β<32
π．
19．（1）求函数tan()24x y π=+的单调区间． （2）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x
＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值．
20.是否存在实数a ，a Z ∈，使得函数tan()4y ax π=-在5(,)88
x ππ∈时是单调递增的？若存在，求出a 的一个值；若不存在，说明理由．。