常微分第五章
常微分方程 第五章 线性微分方程组(3)
推论5.4 线性齐次方程组(5.2)的线性无关解的个数不能多于n 个.
3．刘维尔公式 齐次方程组(5.2)的解和其系数之间有下
列联系. 定理5.7 如果
是齐次方程组(5.2)的n个解，则这n个解的朗斯基行列式 与方程组(5.2)的系数有如下关系式
实际上，这个推论是定理5.3的逆否命题. 推论5.2 如果方程组(5.8)的n个解的朗斯基行列式 W(x)在其定义区间I上某一点x0等于零，即
则该解组在I上必线性相关.
实际上，这个推论是定理5.4的逆否命题.
推论5.3 方程组(5.2)的n个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式 W(x)在I上任一点不为零.
条件的充分性由推论5.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论5.2证明是显然 的．证毕．
2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．
我们把一阶线性齐次方程组(5.2)的n个线 性无关解称为它的基本解组.
例4 易于验证向量函数
是方程组
的基本解组. 定理5.5 方程组(5.2)必存在基本解组.
定理5.6 如果 是齐次方程组(5.2)的基本解组，则其线性组合
的一阶微分方程组。
含有n个未知函数 的一阶微分方程组的一般形式为：
此方程组在
上的一个解，是这样的一组函数
使得在
上有恒等式
含有n个任意常数 的解
称为方程组的通解. 如果通解满足方程组
则称后者为(1)的通积分. 如果已求得(1)的通解或通积分，要求满足初始条件
的解，可以把此初始条件代入通解或通积分之中，得到关于 的n个方程式，如果从其中解得
这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.
第五章-微分方程
第五章 微分方程第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念微分方程的定义：①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数)(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.初始条件与特解：用未知函数与其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。
例1 课本294页 例1二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 的任一x ，恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性相关，否则称为线性无关.显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是)()(21x y x y 在区间),(b a 恒为常数. 如果)()(21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性无关.独立的任意常数：在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中,1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关.例2 课本297页 例4第二节 可分离变量的微分方程 一、定义形如)()(d d y g x f xy= 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数.二、求解方法可分离变量的微分方程)()(d d y g x f xy=的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ⎰⎰=x x f y y g d )(d )(.[例1]求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解先合并dx 与dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解.)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下,用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.[例2] 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222yyx x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x第三节 线性微分方程 一、一阶线性微分方程定义 ：形如)()(d d x Q y x P xy=+. 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 都是x 的已知连续函数，“线性”是指未知函数y 和它的导数y '都是一次的. 求解方法 ：一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解方法,一般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+所对应的齐次线性微分方程0)(d d =+y x P xy的通解⎰=-x x P c C y d )(e . 第二步：设⎰=-x x P x C y d )(e )(为一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的解,代入该方程后,求出待定函数)(x C .第三步: 将)(x C 代入⎰=-xx P x C y d )(e )(中,得所求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的通解. 注：只要一阶线性微分方程是)()(d d x Q y x P xy=+的标准形式,则将⎰=-x x P x C y d )(e )(代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有)(e )(d )(x Q x C xx P =⎰'-,该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. 一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解公式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )( (其中C 为任意常数). [例1] 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y 的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .[例2] 求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u uln ln ln 1-=-，将x y u =代入原方程，整理得原方程的通解为yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy xy 分离变量，得xy x y2d d =，x x yyd 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式C x x Q y xx P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(）求通解.二、二阶常系数齐次线性微分方程定义：形如0=+'+''qy y p y的微分方程（其中q p ,均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程. 求解方法：求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步 写出方程0=+'+''qy y p y 的特征方程 02=++q pr r ，第二步 求出特征方程的两个特征根 1r ,2r ，第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出0=+'+''qy y p y 的通解.[例3] 求微分方程02=+'-''y y a y 的通解.解 原方程对应的特征方程为 0122=+-ar r ，244222,1-±=a a r =12-±a a ，（1）当1>a ，即 1>a 或1-<a 时，特征方程有两个不相等的实根121-+=a a r ，122--=a a r ，故原方程的通解为xa a xa a C C y )1(2)1(122e e ---++=.（2）当1=a ，即1=a 或1-=a 时，特征方程有两个相等的实根 a r r ==21， 故原方程的通解为 axx C C y e )(21+=.（3）当1<a ，即 11<<-a 时，特征方程有两个共轭复根 22,11i a a r -±=，故原方程的通解为)1sin 1cos (e 2221x a C x a C y ax -+-=.三、二阶常系数非齐次线性微分方程定义：形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程（其中q p ,均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.求解方法：求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:第一步 先求出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''所对应的齐次线性微分方程方程0=+'+''qy y p y 的通解c y ;第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的含待定常数的特解p y ,并将p y 代入非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''解出待定常数,进而确定非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解p y ;第三步 写出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的通解p c y y y +=.方程)(x f qy y p y =+'+''的特解p y 的形式表注:①表中的)(x P m 为已知的m 次多项式，)(x Q m 为待定的m 次多项式，如C Bx Ax x Q ++=22)( （C B A ,,为待定常数）.②在设微分方程 xm x P qy y p y λe )(=+'+''的特解时，必须注意把特解p y 设全.如：2)(x x P m =，那么 2120)(b x b x b x Q m ++=，而不能设20)(x b x Q m =.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.[例4] 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解 对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.[例5] 求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解 对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
第五章：常微分方程数值解法第一节欧拉法
常微分方程王高雄第五章定理8的证明
常微分方程王高雄第五章定理8的证明【最新版】目录1.介绍常微分方程2.概述王高雄的《常微分方程》第五章3.定理 8 的内容4.定理 8 的证明过程5.总结正文一、常微分方程简介常微分方程是微分方程的一个分支，主要研究常数项微分方程的解法及其性质。
常微分方程在数学、物理、化学、生物等科学领域中都有着广泛的应用，因此对于这一领域的研究具有重要的意义。
二、王高雄的《常微分方程》第五章概述王高雄教授是我国著名的数学家，其编写的《常微分方程》一书成为许多高校的教材。
本书第五章主要介绍了常微分方程的稳定性、奇点、相空间等内容，为后续的微分方程研究奠定了基础。
三、定理 8 的内容定理 8 是第五章中的一个重要定理，其主要内容是：若一阶常微分方程的解为 x=x(t)，则其相空间中的轨迹为 x(t) 的导数。
也就是说，相空间中的轨迹可以反映出微分方程解的变化规律。
四、定理 8 的证明过程为了证明定理 8，我们需要先引入一些相关概念和定理。
首先，相空间中的轨迹可以表示为 (x(t), y(t))，其中 x(t) 为微分方程的解，y(t)为对应的导数。
然后，根据微分方程的解的定义，我们可以得到 x(t) 的导数为微分方程的导数。
因此，我们只需要证明相空间中的轨迹的导数等于微分方程的导数即可。
证明过程如下：设相空间中的轨迹为 C(t)，则 C(t) 的导数为 dc/dt。
根据微分方程的解的定义，我们有：dx/dt = a(x, y)其中 a(x, y) 为微分方程的导数。
因此，我们可以得到：dc/dt = d(x(t) + y(t))/dt = dx/dt + dy/dt = a(x, y) + y"(t) 由于 y(t) 为 x(t) 的导数，因此 y"(t) = x"(t)。
将其代入上式，我们得到：dc/dt = a(x, y) + x"(t)根据定理 7，我们知道 x(t) 的导数等于微分方程的导数，即 x"(t) = a(x(t), y(t))。
《常微分方程》第五章练习题
x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案 一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（ ）
常微分方程数值解法欧拉法
)
f ( xn1, yn1)
hL
y(k ) n 1
yn1
L
hL
k 1
y(0) n 1
yn1
Q
hL 1,
y (k 1) n 1
yn1 (k
)
在迭代公式中取极限，有
yn1 yn h f ( xn1, yn1 ) 因此yn(k1)的极限就是隐式方程的解
几何意义
y
设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该 点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的 方向场f(x,y)方向,若步长h充分小， 可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似 曲线与垂线的交点。
式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式
得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公
式较显式公式计算复杂，但稳定性好
y0 n1
yn
h
y(k 1) n1
yn
h
f (xn , yn )
f
( xn1 ,
y(k) n1
)
收敛性
y (k 1) n 1
yn1
h
f
( xn1,
y(k ) n 1
如何求解
解析解法：（常微分方程理论）
只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一 定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。
数值解法: 求解所有的常微分方程
计算解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b
处的近似值 yi y( xi ) (i 1, ... , n)
y(xn1) y(xn ) hy(xn ) y(xn ) yn
y(xn1) yn1 yn h f (xn , yn )
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例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
第五章 常微分方程初值问题数值解法
则有
yn 1 yn hf ( xn , yn )
( 5.2 ) Euler格式
例5.1 用Euler格式解初值问题
2x y y y y (0) 1
取步长h=0.1.
(0 x 1)
Euler格式的具体形式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) 2 xn yn 0.1( yn ) yn 0.2 xn 1.1 yn yn
计算公式的精度 常以Taylor展开为工具来分析计算公式的精度. 为简化分析，假定yn是准确的，即在 yn y ( xn ) 的前提下估计误差 y ( xn 1 ) yn 1 Euler格式的局部截断误差 由 从而 局部截断误差
f ( xn , yn ) f ( xn , y ( xn )) y '( xn ) y ( xn 1 ) yn 1 y ( xn 1 ) ( yn hf ( xn , yn )) y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn )
y ( xn ), y ( xn 1 ), 的近似值 y1 , y2 , , yn , yn 1 ,
相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，步 长可以相等，也可以不等.本章总是假定h为定数， 称为定步长，这时节点可表示为
xn x0 nh , n 0,1, 2,
由f ( xn 1 , yn 1 ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) y '( xn 1 )（在xn点Taylor展开） h2 y '( xn ) hy ''( xn ) y '''( xn ) ... 2 3 2 h h 因此yn 1 y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 4 h f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) 2 h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 3!
常微分方程第5章答案
习题1.给定方程组x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又 v(0)= =v (t)= = = v(t)因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.&b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0;c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x ＝x, x = x , 得即又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝ x(1)＝其中 x＝ .b) 令＝x ＝＝＝则得：/且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中 x= .c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即 ww(0)= 其中 w＝3. 试用逐步逼近法求方程组】＝ x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：\0241201 杨素玲习题02412—02 02412—031.试验证 =是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解：令的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。
53收敛性与稳定性
第五章常微分方程的差分方法5.3 线性多步法一、教课目标及基本要求经过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的线性多步法。
二、教课内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。
详尽内容以下：解说内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。
三、教课要点难点1．教课要点：开型求解公式，闭型求解公式。
2.教课难点：收敛性与稳固性。
四、教课中应注意的问题多媒体课堂教课为主。
合适发问，加深学生对看法的理解五、正文线性多步法及其收敛性与稳固性、方程组与高阶方程1 前言收敛性问题微分方程数值解法的基本思想是：经过某种失散化手段，将微分方程转变成差分方程（代数方程）来求解。
这类转变能否合理，还要看差分问题的解yn ，当h0 时能否会收敛到微分方程的正确解y(xn),需要注意的是，假如只考虑h0 ，那么节点xnxnh对固定的 n 将趋势于x0，这时谈论收敛性是没有意义的，所以，当h0 时，同时n时才合理。
定义：若一种数值方法对于任意固定的xnxnh，当h0（同时n）时，有yny( xn),则称该方法是收敛的。
观察欧拉公式y n 1y nhf ( x n, y n )（1）设 y n 1 为在 y ny(x n )条件下按欧拉公式计算的结果，yn 1y( x n ) hf (x n , y(x n ))（ 2）y(x n 1)yn 1即为局部截断偏差。
T n 1y( x n 1) y n 1 h 2 y '' ( )，存在常数 C 使y( x n 1 )y n 1 Ch 2（3）2考虑整体截断偏差en 1y(x n 1 ) y n 1 （无 y n y( x n ) 条件），因为y( x n 1) y n 1y( x n 1 ) y n 1 y n 1yn 1（4）（1）- （2）得：yn 1yn 1y(x n ) y n h( f ( x n , y n ) f (x n , y(x n )))由常微分方程李普希兹条件得：y n 1yn 1y( x n ) y n hL ( y(x n ) y n ) (1 hL ) ( y(x n ) y n )（ 5）由（ 3），（ 4），（ 5）式得en 1(1 hL )e n Ch 2e n(1 hL)n e 0 Ch [(1 hL) n 1]递推得L又1hLe hL，设 x n x 0nhT（T 为定数），则(1 hL )ne nhLe TLe n e TL e 0C (e TL 1)h故L若初值正确，则h0 时en，欧拉公式是收敛的。
第5章_常微分方程数值解法
（5.2.6）
由于方程关于 uk +1 是隐式形式，所以式（5.2.6）称为隐式 Euler 公式。前面显式和隐式 Euler 公式在计
u '(tk ) ≈
得到的递推公式：
u (tk +1 ) − u (tk −1 ) 2h
（5.2.7）
uk +1 ≈ uk −1 + 2hf (tk , uk )
在计算 uk +1 时，需要用到前两步结果 uk −1 , uk ，称为两步法公式。 （2）积分近似方法 将（5.2.1）式的微分方程写成 du = f (t , u )dt ，在区间 [tk , tk +1 ] 上积分，有：
5.2.2 Runge-Kutta 方法 Euler 方法比较简单，但它的收敛阶数低。可以利用 Taylor 展开式构造高阶的单步方法。Euler 公式 可以看成是由一阶 Taylor 展开式得到的，所以应用高阶 Taylor 展开就可以得到高阶单步法。例如：将 u (tk +1 ) 在 tk 处作 q 阶 Taylor 展开：
dy = a − by (t ) dt
是一阶常微分方程，而
2 ∂ 2 u ( x, t ) 2 ∂ u ( x, t ) a = ∂t 2 ∂x 2
（5.1.1）
（5.1.2）
是二阶偏微分方程。 所有使微分方程成为等式的函数，都是微分方程的解；在 n 阶微分方程中，将微分方程的含有 n 个任 意常数的解称为该微分方程的通解。为确定微分方程通解中的任意常数而需要的条件称为定解条件；定解 条件可以分为初始条件和边界条件两类。由微分方程和定解条件一起构成的问题称为微分方程定解问题。 根据定解条件的不同，常微分方程分为初值问题和边值问题；若定解条件是描述函数在一点（或初始 点）处状态的，则称为初值问题，一阶常微分方程初值问题的一般形式为：
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
5.1常微分方程的数值解法
5.1常微分⽅程的数值解法第五章常微分⽅程的差分⽅法⼀、教学⽬标及基本要求通过对本节课的学习，使学⽣掌握常微分⽅程、常微分⽅程⽅程组的数值解法。
⼆、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分⽅程的数值解法。
具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。
三、教学重点难点1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔⽅法、收敛性与稳定性。
2. 教学难点：收敛性与稳定性。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学⽣对概念的理解。
五、正⽂基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式引⾔1．主要考虑如下的⼀阶常微分⽅程初值问题的求解:00()(,)()y x f x y y x y '=??=?微分⽅程的解就是求⼀个函数y=y(x)，该函数满⾜微分⽅程并且符合初值条件。
2. 例如微分⽅程:xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。
于是可得⼀阶常微分⽅程的初始问题24(1)3y y x y ?'=+=-?。
显然函数y(x)=x 2-4x 满⾜以上条件,因⽽是该初始问题的微分⽅程的解。
3. 但是,只有⼀些特殊类型的微分⽅程问题能够得到⽤解析表达式表⽰的函数解，⽽⼤量的微分⽅程问题很难得到其解析解，有的甚⾄⽆法⽤解析表达式来表⽰。
因此，只能依赖于数值⽅法去获得微分⽅程的数值解。
4．微分⽅程的数值解：设微分⽅程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进⾏划分得⼀系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。
y(x)的解析表达式不容易得到或根本⽆法得到，我们⽤数值⽅法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分⽅程的数值解。
如果计算y n 时，只利⽤y n-1，称这种⽅法为单步法；如果在计算y n 时不仅利⽤y n-1，⽽且还要利⽤y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种⽅法为r 步⽅法，也称多步法。
常微分方程第五章微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线上某点)yy=点的导数；力学中的牛顿第二运动(x(xyy=的切线斜率即函数在该)F=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一定律：ma阶导数等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
第5章_常微分方程
将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程: dx 1 1 − x= y P( y ) = − , Q( y ) = y dy y y
∴x = e
1 − − dy y
∫
[ ∫ ye
−
∫
1 dy y
dy + C ]
= y( y + C )
由 y | x =3 = 1 得: C = 2 故所求特解为: x = y ( y + 2)
解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0. 例 解方程
a b 2 解： = a1 b1 2 -5
2 x - 5 y + 3 = 0, ≠ 0 令 4 2 x + 4 y - 6 = 0,
解得x 解得 0=1, y0=1
dy 2 X − 5Y 2 − 5 Y x = X + 1, X 则 = = 令 dx 2 X + 4Y 2 + 4 Y y = Y + 1, X Y dY du 令u = , 有 =u+ X X dX dX du 2 − 5u 4u + 2 1 方程变为u + X = ,即 2 du = − dX dX 2 + 4u 4u + 7u − 2 X 4u + 2 2 1 4 1 1 du = ∫ ( ⋅ + ⋅ )du = ln | (u + 2) 2 (4u − 1) | +c ' ∫ 4u 2 + 7u − 2 3 u + 2 3 4u − 1 3
二.齐次方程 齐次方程 如果方程(1)可化成: 令u=
y 解法: 化成可分离变量方程. x dy du y = xu =u+x dx dx du 1 du = dx ∴u + x = ϕ (u ) ϕ (u ) − u x u) dx
§5.7 边值问题的数值解法
© 2009, Henan Polytechnic University §7 边值问题的数值解法
1010
第五章 常微分方程数值解法
即为如下的线性方程组：
1 1 2 h2q 1 1 1 2 h 2 q2 y0 y h2 f 1 1 y2 h2 f 2 ... 1 yn1 h2 f n1 1 yn
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i 1, ... , N 1
6 6
第五章 常微分方程数值解法
考虑如下的线性方程
y( x ) p( x ) y( x ) q( x ) y( x ) r ( x ), a x b y(a ) , y(b)
先猜测一个初始斜率 y (a) = s，通过解初值问题 y f ( x , y , y) y(a ) a y(b) = (s) y( a ) s 找出s*使得(s*) = ，即把问 题转化为求方程 (s) = 0 的根。
© 2009, Henan Polytechnic University §7 边值问题的数值解法
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1414
考虑如下的二阶常微分方程的边值问题
y( x ) q( x ) y( x ) f ( x ), a x b y(a ) , y(b) 其中q(x)(0)，f(x)在[a，b]上连续，，为常数。
对应的差分问题是：
常微分方程-总复习
dy a1 x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
dx
x
2.3 恰当方程和积分因子 2.3.1 恰当方程 定义、判别方法、求解方法 2.3.2 积分因子 定义、特殊类型方程的积分因子的求法 2.4 一阶隐方程和参数表示
第三章 一阶微分方程解的存在定理
解的存在唯一性定理的内容及证明过程。
近似计算和误差估计；
解对初值的可微性
第四章 高阶微分方程
4.1 线性微分方程的一般理论 4.1.1 齐线性方程解的性质与结构 定理2－定理6 4.1.2 非齐线性方程与常数变易法 定理7 常数变易法 4.2 常系数线性方程的解法 4.2.2 复值函数与复值解 复值函数的运算性质、定理8、定理9
4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 欧拉待定指数函数法、根据特征根的性质确定 方程的基本解组、欧拉方程的求解 4.2.3 非齐线性方程－比较系数法
第五章 线性微分方程组
5.1 解的存在唯一性定理 5.1.1 记号和定义 将n阶线性微分方程的初值问题化为等价的微分 方程组的初值问题 5.1.2 存在唯一性定理 5.2 线性微分方程组的一般理论 5.2.1 齐线性微分方程组
定理2－定理6 定理1＊定理2＊ 5.2.2 非齐线性微分方程组 定理7 定理8 常数变易公式
常微分方程
总复习
第一章 绪论
基本概念 常微分方程、偏微分方程、微分方程的阶 线性和非线性微分方程 解：隐式解、通解、特解 积分曲线
第二章 一阶微分方程
2.1 变量分离方程和变量变换 2.1.1 变量分离方程 2.1.2 可化为变量分离方程的类型 y 1) dy g
2) 2.2 线性方程与常数变易法 一阶齐线性微分方程、一阶非齐线性微分方程、 伯努利方程
江苏省专转本高等数学第五章常微分方程核心知识点例题讲解(含答案)
第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e x y =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 xdx p p dp p =--+⇒221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212，将xy p =代入即可。
常微分方程教案(王高雄)第五章
⎡ a1 1 ( t ) ⎢ a (t ) A( t ) = ⎢ 2 1 ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣ a n1 ( t )
a1 2 ( t ) a 22 (t ) L a n 2 (t )
L L L L
a1 n ( t ) ⎤ a 2 n (t ) ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ a nn (t ) ⎥ ⎦
（5.2）
不难证明，如果 n × n 矩阵 A(t ), B(t ) 及向量 u(t ), v (t ) 是可微的，那么下列等式成立：
( I ) ( A(t ) + B(t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v′(t ) ( II ) ( A(t ) ⋅ B(t ))′ = A′(t )B(t ) + A(t )B′(t ) ( III ) ( A(t )u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A (t )u′(t )
类似的，矩阵 B (t ) 或者 u (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
a ≤ t ≤ b 上可积．并且它们的积分分别由下式给出：
⎡ b b ( t ) dt ⎢ ∫a 11 ⎢ b b ( t ) dt b = B ( t ) dt ⎢ ∫a 21 ∫a L ⎢ ⎢ b b ( t ) dt ⎢ ⎣ ∫a n1
b 22 ( t ) dt L b ∫ b n 2 (t ) dt
a a
∫ ∫
b
a b
b12 ( t ) dt
L L L L
∫ ∫
b1 n ( t ) dt ⎤ ⎥ b 2 n ( t ) dt ⎥ a ⎥ L ⎥ b ⎥ ∫a b nn (t ) dt ⎥ ⎦
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3. 高阶线性方程与一阶线性微分方程组
n阶线性微分方程的初值问题为
(n) ( n 2) x a ( t ) x an 1 (t ) x an (t ) x f (t ), 1 (5.6) ( n 1) t0 n , x t0 1 , x t0 2 , , x
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
如果bij(t)(i, j 1, 2, , n)都在区间[a, b]上
可微, 则称矩阵B(t)在区间[a, b]上可微;
若ui(t)(i 1, 2, , n)都在区间[a, b]上可微, 则 称向量u(t)在区间[a, b]上可微. 且
矩阵与向量的范数具有如下性质:
AB A B , Ax A x , A B A B , x y x y .
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
2. 矩阵与向量的收敛性
向量序列量{xk}, xk (x1k, x2k, , xnk)T称为是
b b (t ) d t a 11 b b b21 (t ) d t a B ( t ) d t a b bn1 (t ) d t a
b ( t ) d t a a 1n b b a b22 (t ) d t a b2n (t ) d t b b a bn 2 (t ) d t a bnn (t ) d t
则(5.1)可写成
x A(t ) x f (t ).
(5.4)
定义1 设nn矩阵A(t)与n维向量f (t)都在区间
[a, b]上连续. 若定义在区间[, ][a, b]上的n维
可微向量u(t)在[, ]上有
u A(t )u(t ) f (t ),
即在[, ]上u(t)满足方程组(5.4), 则称u(t)为(5.4) 的解.
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
例2 验证向量
et u(t ) t e
是初值问题
0 1 1 x x, x(0) 1 0 1 在区间[, ]上的解.
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
2. 一阶线性微分方程组
一阶线性微分方程组形如
a11 (t ) x1 a12 (t ) x2 a1n (t ) xn f1 (t ), x1 x a (t ) x a (t ) x a (t ) x f (t ), 2 21 1 22 2 2n n 2 (5.1) an1 (t ) x1 an 2 (t ) x2 ann (t ) xn f n (t ), xn
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
二、存在唯一性定理
1. 矩阵与向量的范数
对于nn矩阵A [aij]nn和n维向量x (x1, x2, ,
xn)T, 其范数定义为
B
i , j 1
a
n
ij
,
x xi .
i 1
n
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 章 线 性 微 分 方 程 组
关于矩阵和向量的导数成立如下等式: 设
nn矩阵A(t), B(t)以及n维向量u(t), v(t)都可微, 则
A(t ) B(t ) A(t ) B(t ), u(t ) v(t ) u(t ) v(t ), A(t ) B(t ) A(t ) B(t ) A(t ) B(t ), A(t )u(t ) A(t )u(t ) A(t )u(t ).
收敛的, 如果对每个 i(i 1, 2, , n), 数列{xik}都是
收敛的. 向量函数序列量{xk(t)}, xk(t) (x1k(t), x2k(t), , xnk(t))T称为在区间[a, b]上是收敛的 (一致收敛的), 如果对每个 i(i 1, 2, , n), 函数序列{xik(t)}在区间
0 0 A(t ) 0 an (t )
1
0 1 0 0 0 1 an 1 (t ) an 2 (t ) a1 (t ) 0 0
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
则(5.6)可写成如下线性微分方程组的初值问题
其中a1(t), a2(t), , an(t), f (t)是区间[a, b]上的已知
连续函数, t0[a, b], 1, 2, , n是已知常数.
若令
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
x1 x 1 0 x x 0 , f (t ) , 2 x x (t ) 2 ( n 1) f (t ) xn x n
x A(t ) x f (t ). (5.7) x t0 η. 容易验证初值问题(5.6)与(5.7)在如下意义下 是等价的: 给定其中一个初值问题的解, 可以构造 另一个初值问题的解. 注 任何一个n阶线性微分方程都可以化为n个 一阶线性微分方程构成的方程组, 反之不真. x1 1 0 x x, x 0 1 x2
u1 (t ) u (t ) 2 u(t ) un (t )
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
如果bij(t)(i, j 1, 2, , n)都在区间[a, b]上 连续, 则称矩阵B(t)在区间[a, b]上连续; 若ui(t)(i 1, 2, , n)都在区间[a, b]上连续, 则 称向量u(t)在区间[a, b]上连续.
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
如果bij(t)(i, j 1, 2, , n)都在区间[a, b]上
可积, 则称矩阵B(t)在区间[a, b]上可积;
若ui(t)(i 1, 2, , n)都在区间[a, b]上可积, 则 称向量u(t)在区间[a, b]上可积. 且
b
b12 (t ) d t
b
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
b u (t ) d t a 1 b b u2 (t ) d t a u(t ) d t a b un (t ) d t a
(t ) b12 (t ) b1n (t ) (t ) b11 u1 b (t ) b (t ) b (t ) u (t ) 21 22 2n 2 B(t ) u(t ) 1 (t ) bn 2 (t ) bnn (t ) (t ) bn un
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
R I1 L A I , R I2 2L
I AI f .
R E L , f L , 2R 0 L
§5.1 存在唯一性定理
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
定义2 求方程组(5.4)满足初值条件
A(t0)
的解称为求解方程组的初值问题. 一般记为
x A(t ) x f (t ), x t0 η.
[, ]上的解u(t), 且满足 u(t0) .
(5.5)
初值问题(5.5)的解是指(5.4)的包含t0的区间
f1 (t ) f (t ) 2 f (t ) f n (t )
x1 (t ) x (t ) 2 x (t ) xn (t )
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
数项级数的和函数的连续性与可积性相同. 即具有
极限与极限、极限与积分的可交换性和极限与求
和、求和与积分的可交换性.
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
注 将向量和向量函数换成矩阵和矩阵函数, 上述定义和结论依然成立.
可以给出向量函数项级数的M判别法.
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
如果
xk (t ) M k , t [a, b],
而级数 M k 收敛, 则 xk (t ) 在[a, b]上一致收敛.
k 1 k 1
注 向量函数序列的极限函数与向量函数级数 的和的连续性与可积性与函数列的极限函数和函
Shenzhen University
主讲： 主讲：张文俊 胡鹏彦
pyhu@
zwj@
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
第五章 线 性 微 分 方 程 组
授课教师：胡鹏彦 授课对象：10本科
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组 本章主要讨论一阶线性方程组的一般理论 和求解问题.
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
例1 试列出图(5.1)中经过L1及L2的电流 I1
及 I2应满足的微分方程.
d I1 L R I1 I 2 E , dt 2 L d I 2 3RI R I I 0 2 2 1 dt R R E d I1 I1 I 2 , dt L L L d I2 R I 2R I . 1 2 L d t 2L