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7
基本再生数
R0=p*k ， 当 R0 接 近 于 1 时 有 一 个 刀 刃 （knife-edge）特性
如果R0略低于1，略微增加传染概率 p；结果 可能会使R0 高于1，造成一个疾病突然的巨 大爆发
如果略微减少疾病的传染性 ，将导致R0减小 到1以下，可以消除疾病大范围流行的风险
同样，稍微改变人群间联系的数目k也会对结 果产生很大影响
1898 - 1970 biochemist and mathematical epidemiologist
1876 -1943 Scottish physician and epidemiologist 11
SIR流行病模型
SIR模型可以应用于任何网络结构，接触网络中 的每个节点在流行病传播过程中经历三个状态
R0是由一个节点造成的新病例数，预期为4/3 >1 每条边不传播疾病的概率为1/ 3，所有四条边都没导
致疾病传播的概率为(1/3)4, 于是每一层成为最后一 层（疾病传染终止层）的概率至少是1/81
14
SIR流行病模型
给定β和γ的SIR时间曲线 设β=1,γ=0.4, s(at start)=0.99, i(at start) = 0.0
疾病什么时候消失呢？ 取决于：β/γ。如果发病率高于痊愈率，则疾
病会持续，否则疾病将消失
15
SIR模型示例
接触网络是有向图， tI=1
可对节点感染期长度的随机性建模
受感染节点在感染期内每一步都以概率q恢复健 康，其它细节不变
将状态I进一步分离成若干子状态
感染的早、中、晚期 允许子状态中的传染概率有所不同
17
网络结构对疾病传播起不同的作用
网络由每层两个节点组成向右无限伸延，tI= 1，传 染概率p=2 / 3，最左边的两个节点是最初传染者
的邻居 经过 tI步后，节点 v 不再具有传染性，也不会再受感染；进
入隔离期R，成为接触网络中的无效节点
敏感 S
感染 I
隔离 R
13
SIR流行病模型
易感人数、传染人数、移出人数分别为S(t), I(t), R(t)，占比分别为s(t), i(t), r(t)
β：个人单位时间与其他人平均有效接触次数 γ：单位时间治愈人数 SIR模型描述为：
最初节点y和z感染疾 病
粗线边界的阴影节点 处于感染状态I
细线边界的阴影节点 处于隔离状态R
16
SIR模型扩展
对不同的节点组合采用不同的感染概率p值：
对于有向接触网络中一对节点v、w，v连接到w，设 其相应的传播概率为pv,w
pv,w值较高意味着接触密切，容易传染；反之则表 示接触比较稀少
21 流行病学 Epidemics
1
流行病和传播网络
流行性疾病的研究一直是生物学与社会学融合 在一起的专题研究
流行性疾病，如流感、H7N9、麻疹、性病等， 都是通过人际传播
极端情况下，一种单一疾病暴发可能会对世界产生 重大影响。如14世纪初欧洲人向美洲迁徙时，腺鼠 疫在美洲暴发，7年内超过20%的欧洲人死于该病
敏感期(Susceptible)：易感者，有可能被一个患病的 网络邻居节点感染
感染期(Infectious)：患病者，以一定的概率将疾病 传染给处于敏感期的邻居
隔离期(Removed)：痊愈并免疫者，当一个节点经历 了完整的感染期，就不再会被传染，也不会再对其他 节点造成威胁，相当于从接触网络中移出
p传染给遇到的每个人 假设疾病感染期间每个人遇到k个其他人，以同样
的概率将疾病传染给所遇到的人
5
分支过程
传染过程停止的条件？
6
基本再生数
由单一个体引起的新发病例数期望值，记为 R0，R0=p*k
疾病在分支过程模型中传播的结果取决于基本再 生数是小于1还是大于1
如果R0 < 1，则疾病将在有限的疫情波后以概率1 消失。如果 R0 > 1，则疾病持续在每一波以大于 0的概率至少传染一个人（证明参见21.8节）
8
基本再生数ຫໍສະໝຸດ Baidu
结论：当门槛值R0=1附近，社会应该付出加倍的 努力减小基本再生数
降低k：如隔离人群 降低p：提倡良好的卫生行为和习惯，减少细菌传播，
如戴口罩，勤洗手等
9
分之过程太简化
分支过程模型显然是疾病传播的一个非常简化 的模型，没有考虑接触网络中的三角关系、弱 连接………实际的疾病传播要复杂得多
10
SIR流行病模型
1927年用动力学的方法建立 W. O. Kermack, A. G. McKendrick. Contributions to the mathematical theory of epidemics, part I[J]. Proceedings of the Royal Society of London, 1927, 115: 700–721 (引用 2680)
4月5日，上海关闭松江区沪淮农副产品批发市场活 禽交易区，所有禽鸟被扑杀，共计20536只；4月7 日，上海交大捣毁校内鸟窝
2
流行病和传播网络
决定流行病传播模式的因素：
病原体特性：传染性、传染周 期、严重性
接触网络 传染概率
人们关心的问题：
多大范围？是否需要采取措施？ （有些传染病会自生自灭，例如 季节性传染病）
12
SIR流行病模型
SIR模型流行病的传播进展情况取决于基础网络结 构，以及两个量值：p（传染的概率）和 tI（感染期的 长度）
最初，一些节点处于感染期 I，所有其他节点处在敏感期 S 每个进入 I 的节点v在固定的步骤 tI 期间内具有传染性 在 tI的每一步，v 以概率 p 将疾病传染给它的处于易感状态
多长时间？会不会反复？ 对患者影响的程度？（生命、损
伤、不适）
3
流行病传播与行为思想传播
相似点：两者都是通过接触网络在人之间传播， 某种程度上思想传播也是一种“社会传染”
区别：
对于社会性传染，宜采用决策模型 对于疾病传播，宜采用随机模型
4
最简单的传染病模型-分支过程
分支过程形成树结构接触网络 最初一个人携带病菌进入人群，以一个独立的概率
基本再生数
R0=p*k ， 当 R0 接 近 于 1 时 有 一 个 刀 刃 （knife-edge）特性
如果R0略低于1，略微增加传染概率 p；结果 可能会使R0 高于1，造成一个疾病突然的巨 大爆发
如果略微减少疾病的传染性 ，将导致R0减小 到1以下，可以消除疾病大范围流行的风险
同样，稍微改变人群间联系的数目k也会对结 果产生很大影响
1898 - 1970 biochemist and mathematical epidemiologist
1876 -1943 Scottish physician and epidemiologist 11
SIR流行病模型
SIR模型可以应用于任何网络结构，接触网络中 的每个节点在流行病传播过程中经历三个状态
R0是由一个节点造成的新病例数，预期为4/3 >1 每条边不传播疾病的概率为1/ 3，所有四条边都没导
致疾病传播的概率为(1/3)4, 于是每一层成为最后一 层（疾病传染终止层）的概率至少是1/81
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SIR流行病模型
给定β和γ的SIR时间曲线 设β=1,γ=0.4, s(at start)=0.99, i(at start) = 0.0
疾病什么时候消失呢？ 取决于：β/γ。如果发病率高于痊愈率，则疾
病会持续，否则疾病将消失
15
SIR模型示例
接触网络是有向图， tI=1
可对节点感染期长度的随机性建模
受感染节点在感染期内每一步都以概率q恢复健 康，其它细节不变
将状态I进一步分离成若干子状态
感染的早、中、晚期 允许子状态中的传染概率有所不同
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网络结构对疾病传播起不同的作用
网络由每层两个节点组成向右无限伸延，tI= 1，传 染概率p=2 / 3，最左边的两个节点是最初传染者
的邻居 经过 tI步后，节点 v 不再具有传染性，也不会再受感染；进
入隔离期R，成为接触网络中的无效节点
敏感 S
感染 I
隔离 R
13
SIR流行病模型
易感人数、传染人数、移出人数分别为S(t), I(t), R(t)，占比分别为s(t), i(t), r(t)
β：个人单位时间与其他人平均有效接触次数 γ：单位时间治愈人数 SIR模型描述为：
最初节点y和z感染疾 病
粗线边界的阴影节点 处于感染状态I
细线边界的阴影节点 处于隔离状态R
16
SIR模型扩展
对不同的节点组合采用不同的感染概率p值：
对于有向接触网络中一对节点v、w，v连接到w，设 其相应的传播概率为pv,w
pv,w值较高意味着接触密切，容易传染；反之则表 示接触比较稀少
21 流行病学 Epidemics
1
流行病和传播网络
流行性疾病的研究一直是生物学与社会学融合 在一起的专题研究
流行性疾病，如流感、H7N9、麻疹、性病等， 都是通过人际传播
极端情况下，一种单一疾病暴发可能会对世界产生 重大影响。如14世纪初欧洲人向美洲迁徙时，腺鼠 疫在美洲暴发，7年内超过20%的欧洲人死于该病
敏感期(Susceptible)：易感者，有可能被一个患病的 网络邻居节点感染
感染期(Infectious)：患病者，以一定的概率将疾病 传染给处于敏感期的邻居
隔离期(Removed)：痊愈并免疫者，当一个节点经历 了完整的感染期，就不再会被传染，也不会再对其他 节点造成威胁，相当于从接触网络中移出
p传染给遇到的每个人 假设疾病感染期间每个人遇到k个其他人，以同样
的概率将疾病传染给所遇到的人
5
分支过程
传染过程停止的条件？
6
基本再生数
由单一个体引起的新发病例数期望值，记为 R0，R0=p*k
疾病在分支过程模型中传播的结果取决于基本再 生数是小于1还是大于1
如果R0 < 1，则疾病将在有限的疫情波后以概率1 消失。如果 R0 > 1，则疾病持续在每一波以大于 0的概率至少传染一个人（证明参见21.8节）
8
基本再生数ຫໍສະໝຸດ Baidu
结论：当门槛值R0=1附近，社会应该付出加倍的 努力减小基本再生数
降低k：如隔离人群 降低p：提倡良好的卫生行为和习惯，减少细菌传播，
如戴口罩，勤洗手等
9
分之过程太简化
分支过程模型显然是疾病传播的一个非常简化 的模型，没有考虑接触网络中的三角关系、弱 连接………实际的疾病传播要复杂得多
10
SIR流行病模型
1927年用动力学的方法建立 W. O. Kermack, A. G. McKendrick. Contributions to the mathematical theory of epidemics, part I[J]. Proceedings of the Royal Society of London, 1927, 115: 700–721 (引用 2680)
4月5日，上海关闭松江区沪淮农副产品批发市场活 禽交易区，所有禽鸟被扑杀，共计20536只；4月7 日，上海交大捣毁校内鸟窝
2
流行病和传播网络
决定流行病传播模式的因素：
病原体特性：传染性、传染周 期、严重性
接触网络 传染概率
人们关心的问题：
多大范围？是否需要采取措施？ （有些传染病会自生自灭，例如 季节性传染病）
12
SIR流行病模型
SIR模型流行病的传播进展情况取决于基础网络结 构，以及两个量值：p（传染的概率）和 tI（感染期的 长度）
最初，一些节点处于感染期 I，所有其他节点处在敏感期 S 每个进入 I 的节点v在固定的步骤 tI 期间内具有传染性 在 tI的每一步，v 以概率 p 将疾病传染给它的处于易感状态
多长时间？会不会反复？ 对患者影响的程度？（生命、损
伤、不适）
3
流行病传播与行为思想传播
相似点：两者都是通过接触网络在人之间传播， 某种程度上思想传播也是一种“社会传染”
区别：
对于社会性传染，宜采用决策模型 对于疾病传播，宜采用随机模型
4
最简单的传染病模型-分支过程
分支过程形成树结构接触网络 最初一个人携带病菌进入人群，以一个独立的概率