第六章定积分应用

第六章 定积分应用

一、定积分应用的类型及定积分的元素法 1、基本内容：

本章是利用定积分理论来分析解决几何学和物理学中的一些问题，进而掌握用元素法（微元法）求解问题的基本思想。

几何问题包括：平面图形的面积；旋转体的体积；平行截面面积为已知的立体的体积；

平面曲线的弧长。

物理问题包括：变力沿直线作功（含吸水和将水中物体提出）；铅直放入水中的平板所

受压力；细棒对质点的引力。

2. 构造微元的基本思想及解题步骤 （1）构造微元的基本思想

无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部],[],[b a dx x x ∈+上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分

⎰

b a

dx x f )(。

(2) 元素法是应用定积分求具有可加性几何量和物理量的重要方法，具体步骤如下：

①根据实际问题，先作草图，再选取适当的坐标系和积分变量(例如x 为积分变量)，并确定其取值区间；

②在积分区间[b a ,]上，任取一个小区间，如[dx x x +,]，dx 很小，故运用“以直代曲”，“不变代变”等思想，求出欲求量U 的元素dx x f dU )(=； ③对元素进行积分，得⎰

=

b

a

dx x f U )(，并应用微积分基本公式计算出U 值.注意

()dU f x dx =中不能出现dx 的其它幂次，如2dx ；正确找出dx x f dU )(=是求总量

U

的关键.

二、定积分在几何上的应用 1 平面图形的面积

（1）直角坐标系下的面积

① 设平面图形由连续曲线)(x f y =，)(x g y =，a x =和b x =)(b a <围成，则面积 =

A ()b

a

y y dx -⎰

上下.

② 设平面图形由连续曲线)(y g x =，)(y h x =，c y =和d y =)(d c <围成，则面积 =

A ()d c

x x dy -⎰

右左.

（2）极坐标系下的面积

设曲边扇形由连续曲线)(θρρ=及射线,(0)θαθβαβ==<<围成,则面积

θθρβα

d A )(212

⎰=.

2 平行截面面积)(x A （b x a ≤≤）为已知的立体体积⎰=b

a dx x A V )( .

3 旋转体的体积

① 设由a x =，b x =(0)a b <<，x 轴和连续曲线()0y f x =≥所围成的曲边梯形设为G 。G 绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积为dx x f V b

a x )(2⎰=

π

；

② 设由c y =，d y =(0)c d <<，y 轴和连续曲线()0x y φ=≥所围成的曲边梯形设为H ，H 绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积为dy y V d

c

)(2⎰=

ϕπ

4 曲线弧长

①直角坐标方程)(x f y = )(b x a ≤≤,则弧长公式dx y S b

a

⎰

'+=

2

1.

②参数方程)( )()(βα≤≤⎩

⎨⎧==t t y y t x x ，则弧长公式=

S ⎰'+'β

α

dt t y t x )()(22.

③极坐标)(θρρ=

)(βθα≤≤,则=

S θθρθρβ

α

d ⎰'+)()(22

三、几何应用典型例题

【例1】求由0=-y x ，x x y 22-=所围成图形的面积。 【例2】

过曲线(0)y x ≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图

形的面积为

3

4

，求点A 的坐标。 【例3】求曲线θρcos 3=及θρcos 1+=所围成的在原点侧图形的面积。

解：画草图，求得极坐标下交点)0,0(，)3,

23(π

和)3

,23(π-。 由图形的对称性，仅考虑x 轴上方部分的面积的计算方法。 选θ为积分变量，变化范围是]2

,

0[π

。

从而，所求面积⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰θθθθπ

ππd d A 22 3 23 0 )cos 3(21)cos 1(212 π45= 【例4】假设曲线21:1L y x =-与x 轴、y 轴所围的平面图形D ，被曲线22:L y ax =分成面积相等的两部分，其中0a >为常数，试确定的a 的值。 【例5】设由曲线x y sin =（2

0π

≤

≤x ），1=y 及0=x 围成平面图形A

，试分别求平

面图形A 绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积。

【例6】设由曲线x y sin =（2

0π

≤

≤x ），2

π

=

x 及0y =围成平面图形A ，试求平面图

形A 绕直线2

1

-

=y 旋转而成的旋转体的体积。 【例7】 计算底面是半径为2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三

角形的立体的体积。

【例8】计算半立方抛物线32

)1(3

2-=x y ，被抛物线32x

y =

截得的一段弧的长度。

【例9】求星形线t a x 3

cos =，t a y 3sin =的全长. 【例10】求心形线(1cos )(0)a a ρθ=+>的全长.

四、定积分在物理上的应用与典型例题：

定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。

【例1】一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘米，求每面所受的压力。

【例2】 将半径为R 的半球形水池内注满水，若将满池水全部抽出，需作多少功？ 【例3】为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深m 30，抓斗自重N 400，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥重N 2000，提升速度为s m 3，在提升过程中，污泥以s N 20的速度从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功．

（说明：(1) J s N m J m N ,,,;111=⨯分别表示米，牛顿，秒，焦耳．(2) 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计）．

【例4】用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板 的深度成正比，在击第一次时，将木板击入木板1cm ，如果木板每次打击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？

【例5】在平面上, 有一条从点(a ,0)向右的射线,线密度为ρ,在点(0, h )处（其中h > 0）,有一质量为m 的质点. 求射线对该质点的引力. 【例6】有一半径为r 的均匀半圆弧，质量为m ，求它对位于圆心处的单位质量质点的引力。 【例7】一质量为M 长为l 的均匀细杆AB ，在AB 的延长线上且与B 的距离为r 处有一质