二项分布及其应用教案(绝对经典)

§12.5二项分布及其应用

会这样考 1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念；2.考查n次独立重复试验及二项分布的概念；3.考查利用二项分布解决一些简单的实际问题．

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫作条件概率，用符号

P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)

P(A)

(P(A)>0)．

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A)

.

(2)条件概率具有的性质：

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．相互独立事件

(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，

P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一

次试验只有__两__种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)(p为事件A发生的

概率)，若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．期望：EX=n p 方差：DX=n p（1-p）

[难点正本疑点清源]

1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系

(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．

(2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件

的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

(3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥．

2．计算条件概率有两种方法

(1)利用定义P(B|A)＝P(AB) P(A)

；

(2)若n (C )表示试验中事件C 包含的基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )

n (A )

.

且是相互独立

1.如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是1

2，

的，则灯泡甲亮的概率为________．

事件B ，“c 闭合”

答案

1

8

解析 理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为为事件C ，则灯亮应为事件AC B ，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝1

2

.

所以P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝1

8

.

2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．

答案 0.128解析 依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P ＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.

3．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于

( )

A.12

B.14

C.16

D.18

答案 A 解析 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

412

＝1

2

.

题型一 条件概率

例1 （1）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则

在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．

答案

499

解析 方法一 设A ＝{第一次取到不合格品}，B ＝{第二次取到不合格品}，则P (AB )＝C 25

C 2100

， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝5×4

100×995100

＝4

99.

方法二 第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为

499

. 探究提高 条件概率的求法：

(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝

P (AB )

P (A )

.这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包

含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )

n (A )

.

（2）一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘

记了密码的最后一位数字，求：

⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率； ⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；

⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率

解析：设事件(12)i A i =，

表示第i 次按对密码 ⑴211()9

P A A =

⑵事件12A A 表示恰好按两次按对密码，则12121911()()()10910

P A

A P A P A A ==⨯= ⑶设事件

B 表示最后一位按偶数，事件112A A A A =+表示不超过2次按对密码，因为事件1A 与事件

12A A 为互斥事件，由概率的加法公式得：

1121412

()()()5545

P A B P A B P A A B ⨯=+=+=⨯

说明：条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法

如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，

用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.

答案 2π 1

4

解析 (1)由题意可得，事件A 发生的概率 P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2

π.

(2)事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，

则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×1

2π×12＝12π. 故P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝12π2π＝1

4.

题型二 相互独立事件的概率

例2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1

2

与p ，且乙投球2次均未命中的

概率为1

16

.

(1)求乙投球的命中率p ；

(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；

(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．