曲线积分与路径无关的条件

1.曲线积分与路径无关的 概念;
2.曲线积分与路径无关的 四个等价命题 ;
3.简化曲线积分 ; 4.求二元函数的"原函数".
注: 对坐标的曲线积分计算方法 (1)代入法化成定积分；
(2)利用格林公式简化计算 （添加辅助线）； (3)利用积分与路径无关性 ,取特殊路径简化计算 ; (4)利用"原函数".
(2)对于D内任意一条分段光滑曲线L,积分L Pdx Qdy
与路径无关 ; (3)存在某一函数 u u(x, y)定义在D上,使得 du Pdx Qdy 在D内恒成立 ;
(4)在D内才处处有 P Q . y x
证明路线图 : (1) (2) (3) (4) (1).
说明:
(1)比较此定理的条件与格 林公式条件的差别；
(2)应用判别积分与路径无 关的条件 : P Q ; y x
(3)二元函数的＂原函数＂ 及其求法．
方法(i)
y
x
u(x, y) x0 P(x, y0 )dx
y
Q(x, y)dy y0
o
• A( x0 , y0 )
或
y
x
u(x, y)
y0 Q(x0 , y)dy
P(x, y)dx
x0
• B(x, y)
且在D内有 连续偏导数.若对D内任意两个
定点A, B,沿D中以A为始点 B为终点的任一分段
光滑曲线L,积分L P(x, y)dx Q(x, y)dy为同一个
值，则称此积分在D内与积分路径无关.否则, 称
y
与路径有关.
L1 B
D
A
L2
o
x
例32.1
证明 曲线积分 (3x2 y)dx (x 2y)dy L
A
x
显然P,Q, P 和 Q 在整个xoy面上连续,且 P Q ,
y x
y x
故积分L Pdx Qdy与路径无关.
因此取积分路径 L OA AB, 有
1
(1 x)dx
2 (e y 2 y)dy e2 7 .
L OA AB 0
0
2
例32.3
验证 : 在右半平面上 ,积分 xdy ydx 与路径无关 .
y 2
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ?
xd y 4ydx l x2 y2
L o 1 2x
1 4
l
xd
y
4y
d
x
1 4
D
5d
5
xd y ydx l x2 y2
提示:
x2 y2 0时
1 4
l
x
d
y
yd
x
1 4
D
2
d
2
(1) Q P x y
(2) Q P x y
例32.9 设
解:
1 5
M (x, y)
2 2
o
x
L x2 y2
例 32.4 设曲线积分 xy2dx y( x)dy与路径
L
无关, 其中具有连续的导数, 且(0) 0,
计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
0
0
2
O
x
例32.6
设质点在力场F
k
( y,x)作用下沿曲线L : y
c os x
r2
2
由点A(0, )移动到点B( ,0),求此力场所作的功.(其中r x2 y 2 )
2
2
解: 力场所作的功为
W F ds
ky dx kx dy,
L
L x2 y2
x2 y2
令
则有
P y
并求出这个函数．
证明: 令P(x, y) xy 2 ,Q(x, y) x2 y, 则
P,Q, P 和 Q 在整个xoy面上连续，且P 2xy Q .
x x
x
x
故表达式 xy 2dx x2 ydy是某个二元函数的全微 分.
取(x0 , y0 ) (0,0), 则
y
(x, y)
u(x, y) x x 02dx y x2 ydy 1 x2 y 2.
• C(x, y0 )
x
方法(ii)
由du Pdx Qdy得 u(x, y) P(x, y)dy (x),
对x求导, 得Q
u x
x
P(x,
y)dy
(x)
由此得(x)
(x)dx
Qdx
x
P(x,
y)dydx
三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
1.简化线积分的计算.
(1)直接简化 (取适当的路径 );
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念 二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念
引例. 计算对坐标的曲线积分 (3x2 y)dx (x 2y)dy, L (1)L是从点A(1,0)到点B(1,0)的线段;
L1
L1 L2
Pdx Qdy L2
D (1 1)d L2 Pdx Qdy
NB
A
M
Pdx Qdy. L2
二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理: 设D为平面单连通区域 , P(x, y), Q(x, y), P ,
y
Q 在D内连续,则下列四个命题等价: x
(1)沿D内任意一条分段光滑闭曲线L, L Pdx Qdy 0;
备用题:
例32.7
确定的值，使线积分 (x4 4xy )dx (6x1 y2 5y4 )dy AB
与路径无关．并求当 A与B分别为点(0,0)与点(1,2)时这个线积分
的值．
解: 3.
(1,2)(x4 4xy )dx (6x1 y 2 5y 4 )dy 79 .
(0,0)
5
例32.8 1. 设
k(x2 y2 r4
)
Q x
( x2 y2 0)
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB : x cos , y sin ( : 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(
y
dx
x dy)
y A
L
k
2
o
Bx
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
三. 小结
积分与路径无关 P Q ， y x
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
由(0) 0，知c 0 ( x) x2 .
故 (1,1) xy2dx y( x)dy (0,0)
1
0dx
1 ydy 1 .
0
0
2
2.求二元函数的原函数.
例32.5
验证：表达式 xy 2dx x2 ydy是某个二元函数的全微 分，
(2)间接简化(添加辅助线 ).
例32.2
计算 (e y x)dx (xe y 2y)dy,其中L为从点O(0,0) L
经过A(1,0)到点B(1,2)的圆弧段.
y B
解: 令P(x, y) e y x,Q(x, y) xe y 2 y,
则 P e y , Q e y ,
y
x
O
x5
2x2
y3
y5
C
例32.10
质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到
点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
解: F ( y , x),
y
B
F
AD
W Fds
(2)L是从点A(1,0)沿上半圆y 1 x2到点B(1,0)的圆弧；
(3)L是从点A(1,0)到点M (0,1)再到点B(1,0)的折线.
y
解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
1
I (3x2 y)dx (x 2y)dy 2
O
L
1
1x
注: 这是偶然的还是必然的?
1
定义:
设函数P(x, y), Q(x, y)定义在平面区域 D上
L x2 y2
证明：令P(x, y) y ,Q(x, y) x , x 0,
x2 y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 y2
则 P y2 x2 Q , x 0, 显然在右半平面 (x 0)上, y (x2 y 2 )2 x
P, Q,
P y
和
Q x
都连续,
且
P y
Q x
在右半平面上恒成立
,故
在右半平面上 ,积分 xdy ydx 与路径无关 .
与路径无关．
证明: 令P(x, y) 3x2 y,Q(x, y) x 2 y,则
显然它们在整个xoy平面上有连续偏导数 .
任取两点 A, B, 任取两条连接 A, B的分段光 滑曲线 L1 AMB, L2 ANB,
使闭曲线AMBNA的正向为逆时针方向,
则
Pdx Qdy Pdx Qdy