初中几何经典培优题型(三角形)

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性

质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，

构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常

是角平分线的性质定理或逆定理．

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与

特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用

三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、

差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

常见辅助线写法：

⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

⑵过点A作BC的垂线，垂足为D

⑶延长AB至C，使BC＝AC

⑷在AB上截取AC，使AC＝DE

⑸作∠ABC的平分线，交AC于D

⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

例1

如图，AB ＝CD ＝1，∠AOC ＝60°，证明：AC ＋BD ≥1。

O

C D

A

B

例2

(2007年北京中考）如图，已知△ABC

⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连

接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相

等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB＋AC＞

AD＋AE。

例3

已知线段OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 。

∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝∠EOF ＝60°。且AD

＝BE ＝CF ＝2。

求证：S △OAB ＋S △OCD ＋S △OEF 3。

例4

如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果∠1＝∠2，那么∠3＝∠4。

仔细阅读以上材料，完成下面的问题。

如图2，设P为□ABCD内一点，∠PAB＝∠PCB，求证：∠PBA＝∠PDA。

图1 图2

⑴集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，

将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。

⑵平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将

△ABC平移至△DEF。

1．在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EG⊥FH，求证：EG＝FH。

F D C

B H

G

E

A

2．如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一

个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。

3．如图，已知△ABC的面积为16，BC＝8，现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位到△DEF 的位置。

⑴当a＝4时，求△ABC所扫过的面积；

⑵连接AE、AD，设AB＝5，当△ADE是以DE 为一腰的等腰三角形时，求a的值。

4．如图，AA ′=BB ′=CC ′=1，

∠AOB ′=∠BOC ′=∠COA ′=60°，求证：

34AOB BOC COA S S S '''

++<

V V V 。

例1

如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD

上的点，且∠EAF＝45°，AH⊥EF，H为垂足，

求证：AH＝AB。

例2

△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC

内的一点，且AP＝3，CP＝2，BP＝1，求∠BPC

的度数。

例3

已知在△ABC中，AB＝AC，P为三角形内一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。

有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转

⑴边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等

⑵角度能拼成的特殊角指的是180°，90°等等

例4

已知△ABC，∠1＝∠2，AB＝2AC，AD＝BD。

求证：DC⊥AC。

例5

△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，

AB＝AE，∠BAE＝30°，求证：BE＝CE。

例6

在△ABC中，E、F为BC边上的点，已知∠CAE

＝∠BAF，CE＝BF，求证：AC＝AB。