全国高中数学联赛江西省预赛

2014年高二数学竞赛模拟试题（6）
一、填空题（每题8分）
1、若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列{}n a 中的项，则2013a 的最大值
是 ．
答案：4027．
解：201331161=⨯⨯，若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项，则公差d 应是
1138-=与61358-=的公因数，为使2013a 取得最大，则其首项1a 和公差d 都应取尽可能
大的数，于是13,2a d ==，所以2013a 的最大值是320124027d +=．
2、若,,0a b c >，123
1a b c
++=，则23a b c ++的最小值为 ．
答案：36．
解：据柯西不等式，()()2123232312336a b c a b c a b c ⎛⎫
++=++++≥++=
⎪⎝⎭
． 3、若123!12!3!4!
(1)!n n
S n n ⎛⎫=⋅++++- ⎪+⎝⎭L ，则2013S = ．
答案：1
2014
-． 解：因
(1)111
(1)!(1)!!(1)!
k k k k k k +-==-+++，则
123112131(1)1112!3!4!(1)!1!2!3!(1)!(1)!
n n n n n ---+-++++=++++=-+++L L 所以，11!11(1)!1
n S n n n ⎡⎤⎛⎫=-
-=-⎢⎥
⎪++⎝⎭⎣⎦，故20131
2014S =-． 4、如果一个正方体X 与一个正四面体Y 的表面面积（各面面积之和）相等，则其体积之
比
x
y
V V = ．
解：记表面面积为12（平方单位），则正方体每个面的面积为2
，所以
32
2x V =；正四面体每个面的面积为3，设其边长为a
，则由2
34
a =，得1
423a =⋅；
于是31
2
423
y V -
=⋅
，因此
1
43x
y
V V == 5、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离之和
的最小值是 ．
答案：61．
解：设椭圆方程为22
221x y a b +=，0a b >>，椭圆中心O 到长、短轴端点距离为,a b ，
到焦点距离c 满足：2
2
2
c a b =-，到准线距离
d 满足：2
a d c
=，由于,,a b c 组成勾股数，
满足20a ≤的勾股数组有{}{}{}{}{}{},,3,4,5,6,8,10,9,12,15,12,16,20,5,12,13,a b c =
以及{}8,15,17，其中只有215259=与2
202516
=，而(,,,)(15,12,9,25)a b c d =使得 a b c d +++的值为最小，这时有61a b c d +++=．
6
、函数()f x = ．
答案：[1,2]．
解：()f x =[2,3]，故可设2
2sin (0)2
x π
αα=+≤≤，
则()cos 2sin()6
f x π
ααα==+=+，
而
2663π
π
πα≤+
≤
，这时1sin()126
π
α≤+≤，因此12f ≤≤．
7、设合数k 满足：1100k <<，而k 的数字和为质数，就称合数k 为“山寨质数”
， 则这种“山寨质数”的个数是 ．
答案：23个．
解：用()S k 表示k 的数字和；而()M p 表示山寨为质数p 的合数的集合．当99k ≤时，
()18S k ≤，不大于18的质数共有7个，它们是：2,3,5,7,11,13,17，山寨为2的合数有
{}(2)20M =，而{}{}{}(3)12,21,30,(5)14,32,50,(7)16,25,34,52,70M M M ===； {}(11)38,56,65,74,92M =，{}(13)49,58,76,85,94M =，{}(17)98M =；
共得23个山寨质数．
8、将集合{}1,2,3,4,5,6,7,8中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对于其
余的每个数n ，在n 的左边某个位置上总有一个数与n 之差的绝对值为1，那么，满足条件的排列个数为 ．
答案：128．（即72个）．
解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为k ，(18)k ≤≤，则在其余
7个数中，大于k 的8k -个数1,2,,8k k ++L ，必定按递增的顺序排列；而小于k 的1
k -个数1,2,,1k -L ，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）
事实上，对于任一个大于k 的数k n +，设8k n +<，如果1k n ++排在k n +的左边， 则与1k n ++相差1的另一数2k n ++就必须排在1k n ++的左边；同样，与2k n ++相差1的另一数3k n ++又必须排在2k n ++的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与k 相差1，矛盾！因此1k n ++必定排在k n +的右边．
用类似的说法可得，小于k 的1k -个数1,2,,1k -L ，必定按递降的顺序排列；
由于当排在左边的第一个元素k 确定后，右边还有7个空位，从中任选8k -个位置填写大于k 的数，（其余1k -个位置则填写小于k 的数），选法种数为87k
C -；而当位置选定后，
则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为8
7
877
71
2k
j k k C
C -====∑∑．
二、解答题
9、
（20分）设直线1x y +=与抛物线2
2(0)y px p =>交于点,A B ，若OA OB ⊥，求抛物线方程以及OAB ∆的面积．
解：设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由
22y px =与1x y +=，得2220y py p +-=，
故有111x p y p =+=-
以及221x p y p =++
=-
因OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，所以12120x x y y +=，即
2222
(1)(2)(2)0p p p p p p ⎡⎤⎡⎤+-++-+=⎣⎦⎣⎦，化简得120p -=，因此抛物线方程为
2y x =，从而交点,A B
坐标为：,A B ⎝
⎭⎝⎭，
22222211225,5OA x y OB x y =+=-=+=+，
因此12OAB S OA OB ∆=
⋅=． 10、（20分）在非钝角三角形ABC 中，证明：sin sin sin 2A B C ++>．
证一：sin sin sin 2sin sin sin()A B C A B A B ++-=+++
2222(sin cos )(sin cos )A A B B -+-+
22sin (1sin )sin (1sin )sin()(cos cos )A A B B A B A B =-+-++-+
sin (1sin )sin (1sin )cos (sin cos )cos (sin cos )0A A B B B A B A B A =-+-+-+->．
这里用到，在非钝角三角形ABC 中，任两个内角之和不小于090，所以由0
90A B +≥，得0
90,90A B B A ≥-≥-，因此0
sin sin(90)cos B A A ≥-=，同理sin cos ,A B ≥ 而1sin A -，1sin B -不能同时为0．从而结论得证．
证二：sin sin sin 2sin sin sin()2sin(
)22
A B C
A B C A B A B +++-=+++-+ 2sin
cos 2sin cos 2sin cos 2cos sin 22222222
A B A B A B A B A B C A B C
+-++++=+--2sin
(cos cos )2cos (sin sin )222222A B A B C A B A B C
+-++=-+- 4sin sin sin 2cos (cos sin )0222222A B A C B B C A A B C C ++-+-+=+->；
（这是由于，锐角三角形ABC ∆中，任两个内角之和大于0
90，而任一个半角小于0
45；）
所以 sin sin sin 2A B C ++>． 证三：令tan
,tan ,tan 222
A B C
x y z ===，则1xy yz zx ++=，且 222
222sin ,sin ,sin 111x y z A B C x y z
=
==+++； 即要证
222
2222111x y z
x y z
++>+++ … ①，因为 21()()x x y x z +=++， 221()(),1()()y y x y z z z x z y +=+++=++，
故①式即
4
2()()()
x y y z x z >+++，也即()()()2x y y z x z +++<，
即 2x y z xyz ++-<
… ②
而因
,,(0,]2224
A B C π
∈，故,,(0,1]x y z ∈，所以(1)(1)(1)0x y z ---≥， 即 1()()0x y z xy yz xz xyz -+++++-≥． 此式即为 2x y z xyz +++≤ … ③
由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证． 11、（20分）设函数()f x 对所有的实数x 都满足(2π)()f x f x +=，求证：存在4个函数()i f x ()1234,,,i =满足：
⑴ 对1234,,,i =，()i f x 是偶函数，且对任意的实数x ，有(π)()i i f x f x +=； ⑵ 对任意的实数x ，有1234()()()cos ()sin ()sin 2f x f x f x x f x x f x x =+++． 【解答】 记
()()()2f x f x g x +-=
，()()
()2f x f x h x --=
，
则()()()f x g x h x =+，且()g x 是偶函数，()h x 是奇函数， 对任意的x ∈R ，(2π)()g x g x +=，(2π)()h x h x +=．
令
1()(π)
()2
g x g x f x ++=
，2()(π)
π
π2cos 2()π
0π2
g x g x x k x
f x x k -+⎧≠+⎪⎪=⎨
⎪=+
⎪⎩
，
3()(π)π()2sin 0πh x h x x k f x x
x k -+⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
，4()(π)
π
2sin 22()π0
2h x h x k x x f x k x ++⎧≠
⎪⎪=⎨⎪=
⎪⎩，其中k 为任意整
数．
容易验证()i f x ，1234,,,i =是偶函数，且对任意的x ∈R ，(π)()i i f x f x +=，1234,,,i =．
下证对任意的x ∈R ，有12()()cos ()f x f x x g x +=． 当π
π2x k ≠+时，显然成立；
当ππ2x k =+
时，因为121()(π)
()()cos ()2g x g x f x f x x f x +++==
，
而3π3πππ(π)ππ2(1)π(π)π()
2222g x g k g k k g k g k g x ⎛⎫⎡⎤⎛
⎫+=+=+-+=--=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，
故对任意的x ∈R ，12()()cos ()f x f x x g x +=．
下证对任意的x ∈R ，有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=．
当
π
2k x ≠
时，显然成立； 当πx k =时，()(π)(π2π)(π)(π)h x h k h k k h k h k ==-=-=-，所以()(π)0h x h k ==， 而此时34()sin ()sin 20f x x f x x +=，故34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=； 当
ππ2
x k =+
时，
3π3πππ(π)(π)π2(1)πππ()2222h x h k h k k h k h k h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+
=+-+=--=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
故
3()(π)
()sin ()
2h x h x f x x h x -+=
=，
又4()sin 20f x x =，从而有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=． 于是，对任意的x ∈R ，有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=． 综上所述，结论得证．
12、
（26分）四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 延长交于点P ，AD 、BC 延长交于点Q ，由Q 作该圆的两条切线QE 、QF ，切点分别为E 、F ，求证：P 、E 、F 三点共线．
证明 连PQ ，作⊙QDC 交PQ 于点M ，
则∠QMC =∠CDA =∠CBP ，于是M 、C 、B 、P 四点共圆． 由 PO 2-r 2=PC ·PD =PM ·PQ ， QO 2-r 2=QC ·QB =QM ·QP ， 两式相减，得PO 2-QO 2=PQ ·(PM -QM )
=(PM +QM )( PM -QM )=PM 2-QM 2， ∴ OM ⊥PQ ．
∴ O 、F 、M 、Q 、E 五点共圆． 连PE ，若PE 交⊙O 于F 1，交⊙OFM 于点F 2，则 对于⊙O ，有PF 1·PE =PC ·PD ， 对于⊙OFM ，又有PF 2·PE =PC ·PD ． ∴ PF 1·PE =PF 2·PE ，即F 1与F 2重合于二圆的公共点F ．即P 、
F 、E 三点共线
P。