最新实数讲义

第一讲：平方根与立方根

【典例解析】

知识点一：平方根和算术平方根的求法 例：求下列各数的平方根与算术平方根

4)3(-；

变式训练：962

+-x x . 知识点二：平方根性质的应用

例：下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根；如果没有，说明理由。 （1）2010-； （2）2)2

3(-； （3）0； （4）2

x -

变式训练：某数的平方根是3a +和215a -，求这个数。

知识点三：立方根定义的识别和立方根的求法 例：求下列各数的立方根

（1）8-； （2）064.0；

变式训练：求3

)4

3(--的立方根。 知识点四：平方根与立方根的综合应用

例：已知374-x 的立方根是3，求42+x 的平方根与算术平方根

变式训练：

1、已知a x =m 的立方根，而2a y =n 的算术平方根，求3

22a b + 的平方根。

2 1.887= 5.966=。

（1

（2188.7=59.66=，求x ，y 的值。

知识点五：算术平方根的非负性质的应用 例：x 为何值时，下列各式有意义

（1）x

x 22

+ （2）532-+x x

变式训练：

1、已知实数a 、b 满足02

4

)2(22=+-+-a a b a ，求2ab 的值

2、已知x 、y 4y +=-，求x y +的平方根 【课堂练习】

1．一个自然数的算术平方根为a ，则下一个自然数的平方根为 。

22，则a = 。

311=-a 的取值范围为 。

4．2

x -= ，若

,4)4(33

-=-x x 则x = .

5．若,9,42

2

==b a 且a b <,则a b -的值是（ ）

A 、-2

B 、4

C 、-1或-5

D 、±2或±4

7．若a 是2

)3(-的平方根，则3a =( )

A 、-3

B 、33

C 、±33

D 、±3 8.若,01442=-++

++y x y y 则xy 的值等于（ ）

A 、-6

B 、-2

C 、2

D 、6 9.求下列各式中x 的取值范围。

（1）1225--x x （2）4

5

22-+x x

10.a 是10的整数部分，b 是5的整数部分，则2

2b a +＝____________。

11.52-a 与2+b 互为相反数，求ab 的值 12.已知43

=x ，且,0)3(122=-++-z z y 求333z y x ++的值。

13.求x 值： 2542

=x 28、求x 值：027.0)7.0(3

=-x

【巩固练习】 1．计算下列各题：

（1； （2）0

12⎛⎫

-+

⎪⎝⎭

2．已知()()22a b a b +++-=45，求a b +的算术平方根。

3.解方程

（1）()2

31250x +-= （2）3

272160x +=

4 2.359 1.095= 5.084=

求（1

（20.2359=61.09510=⨯50.84=，求x 、y 、z 的值。

5．已知0)2(12

=-+-ab a ，

求)

2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值。

6.甲乙二人计算a +2

21a a +-的值，当3=a 的时候，得到下面不同的答案：

甲的解答：a +2

21a a +-=a +2)1(a -=11=-+a a 乙的解答：a +2

21a a +-=a +2)1(-a =1-+a a =512=-a

哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？

第二讲：实数

【知识要点】

一、实数：有理数和无理数统称为实数。 1、实数有以下两种分类方法：

（1）按定义分类 （2）按大小分类

2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如3-的相反数为3，倒数为3

33

1-

=-

，3-的绝对值为33=-。

3、实数与数轴上点的关系：

实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。 4、实数的运算：

（1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。

（2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。

()0a ≥叫做二次根式，其中a 叫做被开方数。 1、二次根式的性质：

（1）)0()(2

≥=a a a ；

（2）⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>==)

0()0(0

)0(2

a a a a a a a ； 2、最简二次根式：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。

（2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。 3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。 4、二次根式的运算： （1）．二次根式的运算法则：

)0()(≥+=+c c b a c b c a ； )0,0(≥≥=⋅b a ab b a ；

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数

负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0⎪⎩

⎪⎨⎧负实数正实数

实数0