《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1
教学设计1：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2．3.2双曲线的简单几何性质◆知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题．◆过程与方法目标让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．◆教学过程一.复习引入双曲线的定义及标准方程二.思考分析问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．三.抽象概括1．双曲线的几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x ＝±a ，y ＝±b (或x ＝±b ，y ＝±a )围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. 四.例题分析及练习[例1] 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨] 化为标准形式→求a ，b ，c →得双曲线的几何性质 [精解详析] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，渐近线的方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[感悟体会] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a ，b 对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． 训练题组11．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．42解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.答案：C2．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路点拨]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92.∴所求的方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2.∴所求的方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[感悟体会] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．若已知双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．训练题组23．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( )A.x 252－y 2122＝1B.y 2122－x 252＝1C.x 2122－y 252＝1D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D4．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1. 答案：y 24－x 212＝1.[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． [思路点拨]设F 1c ，0，将焦点F 1的横坐标代入方程→求出P 的纵坐标及|PF 1|→由∠PF 2Q ＝90°建立a ，b ，c 的关系→求出离心率[精解详析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.[感悟体会] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围． 训练题组35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca ＝ 2.答案：B6．设a >1，则双曲线x 2a2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2， 5)C ．(2,5)D ．(2, 5) 解析：e 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1a 2＋2a ＋2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a <1,1<1a ＋1<2，∴2<e 2<5.又e >1，∴2<e < 5.答案：B7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4， 由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2.答案：2五.课堂小结与归纳1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2(a >0，b >0)．六.当堂训练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由题意e ＝ca ＝2，∴c ＝2a .又c ＝4，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线方程是x 24－y 212＝1.答案：A2．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C3．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A. 5B.14 C ．2 D ．25解析：∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝ a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝ 5.答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3 B ．4＋2 3 C ．23－2 D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：1F M ·2FM ＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵M (3，m )在双曲线上，故m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴1F M ·2F M ＝0. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤5，即e 的取值范围为[52，5]．。
《两条直线的交点》教案(公开课)
《两条直线的交点》教案一、教学目标(一)知识教学点知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．(二)能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．二、教材分析1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．(二)对方程组的解的讨论若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．下面设A1、A2、B1、B2全不为零．解这个方程组：(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)(2)×B1得A2B1x+B1B2y+B1C2=0． (4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0．下面分两种情况讨论：将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得上面得到y可把方程组写成即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组．综上所述，方程组有唯一解：这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．(2)当A1B2-A2B1=0时：①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零(为什么？)．设C2②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．(四)例题例1 求下列两条直线的交点：l1：3x+4y-2=0， l2： 2x+y+2=0．解：解方程组∴l1与l2的交点是M(-2，2)．例2 已知两条直线：l1： x+my+6=0，l2： (m-2)x+3y+2m=0．当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合．解：将两直线的方程组成方程组解得m=-1或m=3．(2)当m=-1时，方程组为∴方程无解，l1与l2平行．(3)当m=3时，方程组为两方程为同一个方程，l1与l2重合．(五)课后小结(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征．(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．五、布置作业1．(教材第35页，1．9练习第2题)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标：2．(教材第35页，1．9练习第3题)A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0(1)平行；(2)重合；(3)相交．解：(1)A=3，C≠-2；(2)A=3，C=-2；(3)A≠3．3．(习题三第7题)已知两条直线：l1：(3+m)x+4y=5-3m，l2：2x+(5+m)y=8．m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：(1)m≠1且m≠-7；(2)m=-7；(3)m=-1．六、板书设计。
直线与双曲线渐近线的交点问题
直线与双曲线渐近线的交点问题
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的性质。
直线是一种简单且容易理解的图形，其方程通常可以用斜率和截距来描述。
而双曲线则是一种曲线，其方程通常可以用二次方程来描述，具有两个分支，分别向两个方向无限延伸。
双曲线还有一个重要的性质，就是它的渐近线。
渐近线是一条直线，它与曲线在无穷远处相交，并且在该点处的切线与渐近线平行。
对于双曲线来说，它有两条渐近线，分别与两个分支相交。
现在，让我们考虑直线与双曲线的渐近线的交点问题。
假设我们有一条直线和一条双曲线，它们的方程分别为y=mx+b和
y=±sqrt(a^2 + x^2)，其中a为双曲线的参数。
我们的问题是找出直线与双曲线的渐近线的交点坐标。
为了解决这个问题，我们可以利用微积分的知识来求解。
首先，我们需要找出双曲线的渐近线的方程。
对于双曲线
y=±sqrt(a^2 + x^2)，当x趋向正无穷时，y也趋向正无穷，因此双曲线的渐近线是y=±a。
现在我们可以将直线和渐近线的方程代入，解出它们的交点坐标。
这涉及到方程的求解和代数运算，最终我们可以得到交点的坐标。
通过以上的分析，我们可以看到直线与双曲线的渐近线的交点
问题涉及到了多个数学领域的知识，包括代数、微积分和解析几何。
这个问题不仅具有理论意义，还可以应用到实际问题中，例如在工
程和物理学中的应用。
因此，研究直线与双曲线渐近线的交点问题
不仅可以增进我们对数学的理解，还可以拓展我们对实际问题的解
决能力。
直线和双曲线关系 直线与双曲线位置关系及交点个数
直线与双曲线位置关系及交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点 相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围.
分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
变式:
⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围.
练习:求下列直线与双曲线的交点坐标．
x2 y2 14 2 (1)2x-y-10 0, 1 (6,2),( , ) 20 5 3 3 x2 y2 25 (2)4x-3y-16 0, 1 ( , 3) 25 16 4 (3)x-y 1 0, x 2 y 2 3 (2, 1)
⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围.
归纳直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有
一个公共点,求k的取值范围.
随堂练习
x y 过点 0,3的直线与双曲线 1 4 3 只有一个公共点，求直线L的方程.
2
2
试讨论过定点且与双曲线只有一个交点的 直线的 条数问题?
例2.已知双曲线方程为
3x y 3,
2 2
(1)求以定点(2,1)为中点的弦所在的直线 方程及弦长; (2)是否存在直线l，使Ｎ（１，1 )为l 被双 曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的 方程，若不存在，请说明理由. 不存在
《两直线的交点坐标》教案与导学案和同步练习
《2.3.1 两直线的交点坐标》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两直线的交点坐标从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况，在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.【教学目标与核心素养】【教学重点】：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标【教学难点】：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系【教学过程】一、情境导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。
二、探究新知 两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,设这两条直线的交点为P,则点P 既在直线l 1上,也在直线l 2上.所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x+B 1y+C 1=0,也满足直线l 2的方程A 2x+B 2y+C 2=0,即点P 的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.2.方程组的解一组无数组 无解 直线l 1和l 2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1和l 2的位置关系 相交 重合平行点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解. 1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( )A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1) 解析:解方程组{x +y =5,x -y =3,得{x =4,y =1.因此交点坐标为(4,1).答案:B 三、典例解析例1.直线l 过直线x ＋y －2＝0和直线x －y ＋4＝0的交点，且与直通过直线与二元一次方程的关系，提出运用方程研究直线位置关系得问题，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
直线与双曲线位置关系说课课件
2．教学目标 教学目标 依据教学大纲及以人为本的教育观着眼，我把教学目标 分为如下几点： （1）知识目标:掌握直线的斜率对其与双曲线位置关系的影 响。学会用根的判别式判断两者位置关系情况。初步掌握弦 长公式和中点弦有关知识。 （2）能力目标:培养学生观察、发现、分析、探索知识能力。 领悟培养数形结合和化归等思想。 （3）情感目标:通过问题情境，培养学生自主参与意识，及 合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程 和成功后的喜悦。
3．教学的重难点 教学的重难点 根据现代教育理念，学生能力的培养必须结合探究过程的 有意渗透。结合教材特点，我认为本节课的重难点是： 重点：如何创造问题情境，引导学生探究直线与双曲线相 关知识。 难点：应用数学思维及直线与双曲线位置关系及弦长公式 等知识来解决数学问题。
4．学情分析 学情分析 对于认知主体学生 ①在能力上：他们已经学习了直线与圆、椭圆位置关系及 相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上， 主动迁移、主动重组、整合能力较弱； ②在情感上：已初步形成小组自主合作、探究的学习方式。
谢谢大家 再 见！
过程演示： 相离 →相切 →相交（两个交点在同一支上）
过程演示：相交（交点落在两支上）
过程演示： 相交（一个交点）
设直线方程为ykxmm0双曲方程为k的取值范围直线与双曲线的位置关系设计意图相离无交点相切只有一个交点两个交点交点在同一支上利用直观的动态演示从运动角度帮助学生理解各位置关系的形成过程有助于学生从感性认识上升到理性认识从而发现问题的本质
探索直线与双曲线的位置关系
福鼎第四中学 数学组
一．设计理念
根据现代教学理念，数学学习不是学生对知识的记忆和被 动的接受，而是学生在某问题情境下自主探索、合作交流、提 出问题、分析问题、解决问题的体验过程，从而促进学生自主 全面、可持续的发展。 在本节课教学中，我力求通过问题情境，提供学生研究和 探讨的时间和空间，让学生充分经历“学数学”的过程，促使 学生在自主中求知，在合作中求取，在探究中求发展。
直线和双曲线交点个数情况总结
直线和双曲线交点个数情况总结直线和双曲线交点个数情况总结一、引言在数学中，直线和双曲线是常见的图形。
它们的交点个数是一个重要的问题，涉及到许多应用领域，如工程、物理等。
本文将对直线和双曲线交点个数的情况进行总结。
二、直线与双曲线的基本概念1. 直线：直线是由无数个点组成的，它没有宽度和长度，可以延伸到无穷远处。
2. 双曲线：双曲线是一种平面曲线，其定义为所有满足一定条件（如离心率小于1）的点构成的集合。
3. 直角坐标系：在平面上建立一个坐标系，将平面上任意一个点表示为有序数对(x,y)，其中x表示该点到y轴正方向距离（称为横坐标），y表示该点到x轴正方向距离（称为纵坐标）。
三、直线与双曲线交点个数情况总结1. 直线与双曲线有两个交点当直线与双曲线相切时，它们有且仅有一个交点；当直线穿过双曲线时，它们有两个交点。
例如，直线y=2x-1与双曲线y=1/x相交于两个点(0.5,1)和(-0.5,-1)。
2. 直线与双曲线有一个交点当直线与双曲线平行时，它们没有交点；当直线与双曲线相离时，它们也没有交点。
例如，直线y=2x+3与双曲线y=1/x没有交点。
3. 直线与双曲线无穷多个交点当直线为双曲线的渐近线时，它们有无穷多个交点。
例如，直线y=x 和双曲线y=1/x相交于(1,1)、(2,0.5)、(3,0.33)等无穷多个点。
四、应用举例直线和双曲线的交点个数在实际应用中具有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 工程：在桥梁设计中，需要确定桥墩的位置和高度。
如果桥梁为一条弧形，则可以使用弧形方程求得其与桥墩所在的直线的交点。
2. 物理：在光学中，研究光的传播路径时需要考虑折射率等因素。
如果光经过一条介质边界，则可以使用折射定律和直线方程求得光线与边界的交点。
3. 经济：在经济学中，求解供求关系时需要考虑价格和数量之间的关系。
如果供求曲线为一条双曲线，则可以使用价格和数量的直线方程求得它们的交点。
五、结论本文总结了直线和双曲线交点个数的情况，并举例说明了其在实际应用中的重要性。
双曲线(单元教学设计) 高中数学新教材选择性必修第一册
第二单元双曲线一、内容和内容解析（一）内容双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。
所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质二、目标及其解析（一）单元目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合思想．（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．三、教学问题诊断分析1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。
《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1
1《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计昌黎汇文二中 李小庆一、教学目的：1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。
二、教学重点和难点：1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；2. 数形结合思想方法在解题中的应用三、教学过程：1、复习提问：双曲线的方程和性质思考问题：求双曲线122=-y x 与下列直线的交点的个数：①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+=x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。
① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。
③与④的答案：1 直线与双曲线相切。
⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。
⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。
⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。
（以上内容都有多媒体演示）总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。
例1：论直线y=kx+1与双曲线C:122=-y x 公共点的个数。
分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。
通过多媒体演示得到答案解：⑴k=±1或k=±2时L 与C 有一个公共点；⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2在右支上时 –2＜k ＜-1在两支上时 -1＜k ＜1所以k ∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2)时L 与C 有两个公共点。
⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L 与C 没有公共点。
例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线122=-y x 公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;⑵k ∈(-∞,-1) 时有两个交点在右支上;k ∈(-1,1) 时有两个交点在两支上;2⑶k ∈(1,+∞) 时没有公共点。
教学设计和反思--课题直线和双曲线位置关系
当P点是原点时,不能做与双曲线只有一交点的直线.
例3对于双曲线 ，过 能否作直线 ，时使 与双曲线交于 两点，且 是 的中点.
解：假设存在直线 ，设 ，则
（1）－（2）得：
∴
∴
∴ 的方程为： 即
由 得
∴ 与已知双曲线无交点，即假设不成立，∴ 不存在.
例4．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围.
练习:过点 与双曲线 有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.
解：若直线的斜率不存在时，则 ，此时仅有一个交点 ，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为 则 ，
，∴ ，
，
当 时，方程无解，不满足条件；
当 时， 方程有一解，满足条件；
当 时，令 ，
化简得： 无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条 和
导入过程
我们知道,双曲线和它的渐近线是没有公共点的,那么,在其他情况下,直线和双曲线会有几个交点呢?本堂课,就是来思考和考察这个问题
.教学过程：
例1经过点 且与双曲线 仅交于一个点的直线有几条?(答案:4条)
可以从几何和代数两方面进行考察,结果是一样的
例2双曲线 的左焦点为F,过点F且斜率为 的直线L与双曲线左支上位于X轴下方的部分有且仅有一个交点(不包括与X轴的交点),求直线L的斜率 的范围.是?( )
教学设计与反思--课题直线与双曲线的位置关系
课题
直线与双曲线的位置关系
课时
1
授课对象
高二
教学目标
1.理解双曲线和直线的位置关系，并能够熟练地进行判定；
2.会求直线被双曲线所截得的弦长.
《直线与双曲线的位置关系》教学设计
《直线与双曲线的位置关系》教学设计教学设计的基本理念根据诱思探究学科教学论，改变教师的“满堂教”为学生的“满堂学”，让“教堂”变为“学堂”。
在本节课教学中充分安排回忆、尝试、讨论、发言、实物演示，让学生参与到数学知识的探索、发现过程中去，体验知识的形成过程。
本着这个原则，结合具体的教学内容，本节教学采用诱思探究式的教学方法。
理论探究采用老师创设问题情境，学生自主探究、分组讨论的方法；反馈练习采用学生独立思考，教师讲评的方法。
另外，多媒体手段的引入能直观地加深印象，实物投影仪给了交流的平台，提升了教学效益。
一、学情分析学生个性活泼，积极性高，思维逐渐由形象思维向抽象思维转化，但形象思维仍占主导地位，同时学生思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等水平仍有待提升。
直线与双曲线的位置关系是在已经对直线与椭圆的位置关系有了初步的理解和了解的基础上而实行的，但很多学生考虑问题往往不够全面，所以在创设问题情境以后，应让学生充分思考、讨论，而很多学生受传统教学的影响，习惯于听老师的分析，自己不主动探索，学习比较被动，往往老师分析的头头是道，学生也频频点头，但时间一长，就都忘了。
应充分调动学生的积极性，让学生在老师的引导下，贯穿“体验为红线，思维为主攻”，以诱达思、诱思交融，自主、探究、合作得出结论，实现学生的主体地位，让学生真正成为学习的主人。
二、教材分析1.教材背景新教学大纲对“直线与圆锥曲线的位置关系”这部分教材的要求是：掌握其简单应用。
主要考查：直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时的弦长，弦中点或相关轨迹问题，三角形面积问题，存有性问题，与向量综合等问题，因为本部分内容一直是高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，所以应给以充足的重视，而用坐标法研究几何问题，是数学中的一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。
为此，从解析几何的本质出发，用代数的方法来研究，体现分类讨论的数学思想，又体现数形结合的数学思想，是一节很重要但又有一定深度的课。
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》一. 教材分析《3.3.1两条直线的交点坐标》这一节内容，主要让学生了解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。
教材通过实例分析，引导学生探究并总结两条直线交点的性质，从而加深对坐标系中直线交点的理解。
二. 学情分析高一学生已经具备了一定的函数知识，对直线方程、坐标系等概念有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，仍可能对直线交点的求解方法感到困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探索并掌握求解直线交点坐标的方法。
三. 教学目标1.理解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。
2.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：两条直线的交点坐标的概念及求解方法。
2.难点：如何引导学生发现并总结两条直线交点的性质，以及如何在实际问题中灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例分析，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生主动探究，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：分组讨论，鼓励学生相互交流，提高学生的合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实例问题，用于引导学生观察和思考。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的实际问题，如平面直角坐标系中两条直线的交点问题。
引导学生关注问题，激发学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示两条直线的交点坐标实例，引导学生观察并描述两条直线的交点特征。
教师通过提问，引导学生思考并总结两条直线交点的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试求解两条直线的交点坐标。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一组练习题，学生独立完成，检验自己对直线交点坐标的理解和掌握程度。
高中数学必修二《两条直线的交点坐标》教学设计 (1)
①讨论：直线上的点与二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的解有什么样的关系？
②练习：完成书上P102的填表
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线L
L：Ax+By+C= 0
点A在直线上
直线L1与L2的交点是A
③讨论：两条直线的交点坐标与方程组的解的关系
（2）L1:x=2,L2:3x+2y-12=03.3.1两条直线的位置关系，能够根据
活动2：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数，和直线的位置关系有什么联系？3.
问题：如何判断两直线的位置关系？3
【合作交流与展示】
例2、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：3.3.1 两条直
线的（1）L1：x－y＝0，L2：3x＋3y－10＝03.3.1 两条直线的交点坐标方程成方程组求交点坐标。 2、进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据
两条直线的交点坐标
【学习目标】
1.通过复习回顾，能说出直线和二元一次方程的对应关系及两条直线的位置关系。
2.通过对点的坐标和直线方程的关系的分析，总结出两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，通过具体实例计算，得出解方程组求解两条直线交点坐标的方法，体会数形结合思想、转化思想。
3.借助具体实例能用解方程组的方法判断两条直线的位置关系，通过解决问题的过程，发展分析问题和解决问题的能力。
【合作交流与展示】
例1、求下列两直线交点坐标
L1：3x+ 4y–2 =0
L2：2x+y+2 =0
一、教学目标：1、会联立两条直线所表示的方程成方程组求交点坐标。 2、进一步掌握两
《两条直线的交点》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《两条直线的交点》教学设计教材分析:当两直线相交时，我们主要研究的是两直线的交点问题，这一内容相对来说较简单，理解起来也比较容易.教学目标：【知识与能力目标】掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标，理解通过解方程组求交点的意义.【过程与方法】通过探究两直线交点的解法，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．【情感态度与价值观】通过对两直线交点的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．教学重难点：【教学重点】两条直线交点的求法，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．【教学难点】启发学生, 把研究两直线交点的解法.课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：问题1：两直线相交时，你觉得有哪些需要研究的问题？问题2：那从几何特点上交点有什么样的特征？那相关的代数解法应该是什么呢？二、新课探究：1. 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可. 注：⑴ 若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合，为同一方程；⑵ 若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行； ⑶ 若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点坐标. 三、知识应用：题型一 求两直线方程例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩． 【答案】（1）1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）重合；（3）平行． 解：（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）解方程组2630 11 32x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6得2x －6y+3=0，因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．（3）解方程组260 11 32x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．【设计意图】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 教学反思：直线交点问题容易理解，孩子自己思考一会儿就可以得到结论，主要在于解决计算问题.。
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《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计
昌黎汇文二中 李小庆
一、教学目的：
1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；
2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。
二、教学重点和难点：
1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；
2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程：
1、复习提问：双曲线的方程和性质
双曲线的标准方程
顶点
渐近线
焦点在x 轴上
22
221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a
=±
焦点在y 轴上
22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b
=±
思考问题：求双曲线12
2
=-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+=
x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1
⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1
老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。
① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。
③与④的答案：1 直线与双曲线相切。
⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。
⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。
⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。
（以上内容都有多媒体演示）
总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。
例1：论直线y=kx+1与双曲线C:
122=-y x 公共点的个数。
分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。
通过多媒体演示得到答案
解：⑴k=±1或k=±2时L 与C 有一个公共点；
⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2
在右支上时 –2＜k ＜-1 在两支上时 -1＜k ＜1
所以k ∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1,
2)时L 与C 有两个公共点。
⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L 与C 没有公共点。
例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线12
2
=-y x 公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;
⑵k ∈(-∞,-1) 时有两个交点在右支上; k ∈(-1,1) 时有两个交点在两支上;
⑶k ∈(1,+∞) 时没有公共点。
例3：讨论直线y=kx 与双曲线
122=-y x 公共点的个数。
解：⑴没有和双曲线只有一个交点的直线；
⑵k ∈(-1,1) 时直线与双曲线有两个交点在两支上 ;
⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时直线与双曲线没有公共点。
例4：讨论过（1，0）点的直线与双曲线12
2
=-y x 公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=x-1和直线y=-x+1与双曲线有一个公共点;
⑵两个交点
在右下支上k ＜-1 在两支上-1＜k ＜1 在右上支上k ＞1 所以k ∈(–∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)时有两个公共点。
(3)(,1)k ∈-∞-时，没有公共点。
例5：已知双曲线12222=-b
y a x 的右焦点为F ，过点F 倾斜角为0
60的直线与双曲线的右支只有一个交点，
则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.(]2,1
B.()2,1
C.[)+∞,2 D ()+∞,2 答案：C
例7：已知10≠>a a 且试求使方程)(log )(log 2
2
2a x ak x a a -=-有解的k 的取值范围。
解：)(log )(log 2
2
2a x ak x a a -=-有解等价于
函数y=x-ak ＞0与y=22a x -＞0图象有交点 所以k ≤-1或 0＜k ＜1
四、总结：过一点和双曲线只有一个交点的直线的条数 过中心 0
过渐近线上一点且不是中心 2 过双曲线外一点且不在渐近线上 4 过双曲线上一点 3 过双曲线内一点 2
四、作业：过P （1，0）的直线与双曲线15
42
2=-y x 有且只有一个公共点，则斜率k 的取值范围。
答案：25±
或3
15
± 拓展：（1）()的取值范围
则斜率个公共点，
有且只有的直线与双曲线，过k y x P 215
40122=- 答案：2
5,315315±≠<<-
k k 且
（2）()的取值范围
则斜率没有公共点，
的直线与双曲线，过k y x P 15
4012
2=- 答案：3
15315〉或k k -
< （3）()的取值范围
则斜率交点，
的左、右分支各有一个的直线与双曲线，过k y x P 15
4012
2=- 小结：消元转化为讨论某个一元二次方程解的个数问题。
但要注意二次项系数分a=0与a ≠0两种情形的讨论,只有当a ≠0时才可以用Δ来确定解的个数。
但有时利用数形结合可以简化运算。