第十二章 数项级数解剖

第
十
二 章
级数与多元微积分
Series and Calculous in Several Variables
数
项
授课教师：胡鹏彦
级
授课对象：05本科
数
第
十
第十二章 数 项 级 数
二
章
§1 级数的收敛性
数
§2 正项级数
§3 一般项级数
项
级
数
第
§1 级数的收敛性
十
二 章
定义
给定一个数列{un}, 对它的各项依次用“”号
二 章
u1 u2 un ,
(3)
v1 v2 vn
(4)
数 是两个正项级数, 若
lim un l,
项
v n n
(5)
则 (i) 当0 l 时, 级数(3)与(4)敛散性相同;
级
(ii) 当l 0且级数(4)收敛时, 级数(3)也收敛;
数
(iii) 当l 且级数(4)发散时, 级数(3)也发散.
级
数
第
§1 级数的收敛性
十
二 章
例1 讨论等比级数(也称为几何级数)
a aq aq2 aqn
数
的敛散性(a0).
项 例2 讨论数项级数
11 1
级
12 23
n(n 1)
的敛散性.
数
第
§1 级数的收敛性
十
二
章
级数与数列敛散性的联系:级数敛散性与其部分和数
数 列的敛散性是相同的,一个级数对应一个部分和数列,
连接起来的表达式
数
u1 u2 un
(1)
称为数项级数或无穷级数(也简称级数), 其中un 称
项 为数项级数(1)的通项.
级 数项级数(1)常记作: un 或简单写作 un. n 1
数
第
§1 级数的收敛性
十
二
章 数项级数(1)的前n项之和记为
n
数
Sn uk u1 u2 un ,
项 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改
变级数的敛散性.
级 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变
数
级数的收敛性, 也不改变它的和.
第
§1 级数的收敛性
十
二 章
若级数un收敛, 其和为S, 则级数
un1 un2
(8)
数
也收敛, 且其和Rn S Sn. (8)式称为级数un的
章
要条件是: 任给正数 , 总存在正整数N, 使得当
数
mN以及任意的正整数 p, 都有
um1 um2 um p .
项
推论
若级数(1)收敛,
则
lim
n
un
0.
级
数
第
§1 级数的收敛性
十
二
章
级数(1)发散的充要条件是: 存在正数0 , 对任何
数
正整数N, 存在m0 N以及正整数 p0, 有
um0 1 um0 2 um0 p0 0.
级
比式判别法的极限形式在 q 1时是失效的.
数
§2 正项级数
第
十 二 例4 讨论级数
章
2 2 5 2 58 2 58 [2 3(n 1)]
1 15 159
159 [1 4(n 1)]
数
的敛散性.
项 例5 讨论级数nxn1x0的敛散性.
级
数
§2 正项级数
第
十 定理12.8(柯西(Cauchy)判别法或根式判别法)
二
设un为正项级数, 且存在某正数 N0及正常数 l,
章
(i) 若对一切n N0, 成立不等式
数
n un l 1,
(11)
则级数un收敛.
项
(ii) 若对一切n N0, 成立不等式
级
n un 1,
(12)
则级数un发散.
数
§2 正项级数
第
十 推论1(根式判别法的极限形式) 若un为正项级数, 且
级
数
§2 正项级数
第
十 二 章
定理12.6(比较原则) 设un和vn是两个正项级数, 若 存在某正数N, 对一切nN都有
un vn
(1)
数 则 (i) 若级数vn收敛, 则级数un也收敛;
(ii) 若级数un发散, 则级数vn也发散.
项
级
例1
考察
n2
1 n
wenku.baidu.com
1
的收敛性.
数
§2 正项级数
第
十 推论 设
§2 正项级数
第
十
二 章
例2
考察
2n
1
n
的收敛性.
数
例3
考察
sin
1 n
的收敛性.
项
级
数
§2 正项级数
第
十 二 比式判别法和根式判别法
二 定理12.7(达朗贝尔(D’Alembert)判别法或比式判别法) 章 设un为正项级数, 且存在某正数N0及常数q 0 q 1
数 (i) 若对一切n N0, 成立不等式
(2)
k 1
项 称它为数项级数(1)的第n个部分和, 也简称为部分和.
级
数
第
§1 级数的收敛性
十
二 定义 若数项级数(1)的部分和数列{Sn}收敛于S, 即
章
lim
n
Sn
S,
数 则称数项级数(1)收敛, 称S为数项级数(1)的和, 记作
S u1 u2 un 或 S un.
项 若{Sn}是发散数列, 则称数项级数(1)发散.
同时一个数列可以作为某个级数的部分和数列.
项
级
数
第
§1 级数的收敛性
十
二 章
数列收敛的柯西(Cauchy)准则 数列{an}收敛的充
要条件是: 任给正数 , 总存在正整数N, 使得当
数
mN以及任意的正整数 p, 都有
am am p .
项
级
数
第
§1 级数的收敛性
十
二 定理12.1(级数收敛的柯西准则) 级数(1)收敛的充
项
级
数
第
§1 级数的收敛性
十
二 例3 讨论调和级数
章
1 1 1
23
数
的敛散性.
1 n
项
例4
应用级数收敛的柯西准则证明级数
n 1
1 n2
收敛.
级
数
第
§1 级数的收敛性
十
二 章
定理12.2 若级数un与vn都收敛, 则对任意常数c, d,
级数cun dun也收敛, 且
数
(cun dvn) c un d vn.
un1 q,
(7)
项
un
则级数un收敛.
级 (ii) 若对一切n N0, 成立不等式
数
则级数un发散.
un1 1, un
(8)
§2 正项级数
第
十
二 推论1(比式判别法的极限形式) 若un为正项级数, 且
章
lim un1 q,
(9)
数
u n n
则
项
(i) 当q 1时, 级数un收敛;
(ii) 当q 1或 q 时, 级数un发散.
二 章
lim n
n
un
l,
(13)
则
数
(i) 当l 1时, 级数un收敛;
项
(ii) 当l 1时, 级数un发散.
根式判别法的极限形式在 l 1时是失效的.
第n个余项(或简称余项), 它表示以部分和Sn代
项
替S时所产生的误差.
级
数
§2 正项级数
第 十 一 正项级数收敛性的一般判别原则 二 章 若数项级数各项的符号都相同, 则称它为同号级数.
由正数项组成的级数称为正项级数.
数
定理12.5 正项级数un收敛的充要条件是: 部分和数
项 列{Sn}有界, 即存在某正数M, 对一切正整数n有Sn M.