《高等工程力学》第6章_线弹性断裂力学(正式)

Fa 3 2 3EI
bh3 ，梁的柔度为 其中，I 12
2a 3 c F 3EI
由式(6-10)可以得到临界应变能释放率为
2 2 2 2 1 Fcr 2acr 12 Fcr acr Gcr 2 b EI Eb2 h3

图6-3 双悬臂梁的断裂试件
（6-11）
6.3 应力强度因子
第6章
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
线弹性断裂力学
断裂分析的能量方法 临界应变能释放率的确定 应力强度因子 材料的断裂韧度 应用权函数法计算应力强度因子 叠加原理在计算应力强度因子中的应用 确定应力强度因子的其他方法 线弹性材料的断裂判据 小结
6.1 断裂分析的能量法1
K k a
（6-14）
式中，因数 k 为大于或等于l的值，其具体数值解答请见参考 有关文献。
6.3 应力强度因子 7
6.3.3 二维Ⅱ型裂纹和Ⅲ型裂纹
对于图6-5中平面问题的应力单元，类似关于Ⅰ型裂纹的推导，可以 给出平面剪切型(Ⅱ型)裂纹的应力强度因子KⅡ。裂纹尖端附近的应力场 为
6.3.1 裂纹的基本类型 裂纹基本类型： 类型Ⅰ（张开型），其裂纹表面位移彼此相反，方向均垂直于裂纹 的扩展方向，这是工程上常见的裂纹形式； 类型Ⅱ（滑开型），裂纹上下表面位移也彼此相反，一个沿着裂纹 扩展方向，另一个背离扩展方向； 类型Ⅲ（撕开型），裂纹上下表面产生方向相反的离面位移，如图 6-4所示。

1 F dx Fdx d V A l
（6-1）
式中，V为体积；F为力；A和l分别为截面积和长度。 对于线弹性材料（＝E），则应变比能为
E 2 2 2 2E
（6-2）
6.1 断裂分析的能量方法2
如图6-1所示，当裂纹长度增长至a 时，在裂纹的两侧形成了自由表面，由 于卸载导致了应变能的释放。比较裂纹 扩展前后的总应变能就可以得到能量释 放率或称为裂纹驱动力。而在Griffith时 代，要进行这样的计算并不容易，他所 能解决的算例是受到单向均匀拉伸的无 限大平板，带有穿透板厚的中心裂纹问 题。他利用Inglis的无限大平板带有椭 圆孔的弹性解析解，令椭圆的短轴趋近 于零，单向均匀拉伸应力的方向与椭圆 的长轴垂直，得到了单位厚度板的总应 变能释放量为 2
G E 21
r sin 1 2 cos2 2 2 2 r cos 1 2 sin 2 2 2 2
6.3 应力强度因子 9
6.3.5 均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移场
考察裂纹尖端附近的位移场，我们仍然采用以裂纹尖端为原点的局部 极坐标(r,θ)，如图6-7所示。考虑到Ⅰ型和Ⅱ型裂纹，给出均匀受载含中 心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移场的表达式。
ux uy K 2G K 2G r K cos 1 2 sin 2 2 2 2 2G r K cos 1 2 cos2 2 2 2 2G
K 3 sin 2 cos cos 2 2 2 2r K 3 y sin cos cos 2 2 2 2r K 3 yx cos 1 sin sin 2 2 2 2r
x
（6-15）
6.1 断裂分析的能量方法
英国物理学家Griffith的基本观点：
在裂纹扩展过程中，由于物体内部能量的释放所产生的裂纹驱动力 导致了裂纹的增长。同时，也存在着阻止形成新的裂纹面积的阻力，即 在裂纹增长过程中，物体中驱动裂纹增长的动力与阻止裂纹增长的阻力 是平衡的。这一能量平衡方法成为材料和力学科学发展史上最著名的贡 献之一。下面将简单介绍这一方法。 材料在单向应力作用下，应变比能为
图6-1 含中心裂纹的板
V

2E 断裂分析的能量方法3
应变能是由裂纹扩展释放出来的，而在形成裂纹的过程中，材料内 部的结合键将发生断裂，所引起的能量被材料吸收，产生了与裂纹扩展 长度a相关联的表面能
Es 2a （6-4） 式中，为单位面积表面能，单位为(J/m2)；系数2是因为形成了两 个自由表面。 令总能量Es＋V的导数为零，可得到临界裂纹长度值
Es V 2 f a 0 （6-5） a E 式中的f表示该应力满足了裂纹扩展的必要条件，即裂纹尖端区释 放的应变能等于形成裂纹面积所需的表面能。 求解上式得到
2
f
2 E a
（6-6）
6.1 断裂分析的能量方法4
Griffith早期的工作涉及的只是脆性材料，如玻璃等。当材料具有明显的 塑性或延性性能时，仅考虑表面能便难以提供精确的断裂模型。于是，后人 对Griffith模型作了一些修正：对于延性材料，在断裂的过程中所释放的能量 主要耗散在裂纹尖端附近材料的塑性流动中，满足这些能量耗散的应变能释 放率称为临界应变能释放率，用GC表示，于是，式(6-6)改写为
f
EGC a
此表达式中包含了影响断裂过程的3个重要因素： 材料性能、应力水平和裂纹尺度。对于无限大板，临界 裂纹长度并不取决于包含裂纹的结构尺寸，而是一个绝 对数值。每当裂纹向前扩展一个小的增量，在裂纹附近 的卸载区，材料将释放部分应变能。由图6-2可见，当 裂纹从三角形区域1扩展到2时，部分的应变能被释放， 在裂纹后面的三角形区域内应力可视为零，而裂尖前部 的材料仍然可以继续承担荷载。
另外，还可以给出反平面剪切型(Ⅲ型)裂纹的应力强度因子KⅢ。裂纹尖 端附近的应力场为 K zy cos 2 2r （6-16） K zx sin 2 2r 式中K S y a 它取决于反对称离面荷载Sy与裂纹半长a。
6.3 应力强度因子 8
（6-7）
图6-2 当裂纹从三角形区域 1扩展到2时，部分 的应变能被释放
6.1 断裂分析的能量方法5
例6-1 铝合金圆柱形管道的GC＝20N/mm， E＝70GPa，由于管道 内压力引起的环向应力为300MPa，求在此应力的作用下，裂纹的可能扩 展长度。 解 应用式(6-7)有
a
GC E
2
6.3 应力强度因子 3
6.3.2 二维Ⅰ型裂纹 二维的Ⅰ型裂纹问题，如图6-5给出一个以裂纹端点为原点的坐标系。 x方向是裂纹扩展方向，y方向是裂纹面的法线方向，z方向则是离面的方 向。考虑一个离裂纹端很近、位臵在极坐标（r，θ）的平面问题的应力 单元，由Westergaard应力函数法给出裂纹尖端区域应力场的解析解为。
C
a
2
a
上述结果都是由单位厚度试样得到的。当外荷载达到临界值F＝Fcr （Fcr为裂纹扩展至一定长度acr时，所需施加的临界荷载），对于厚度为 b的试件，其裂纹驱动力的临界值Gcr表示为
2 1 Fcr c Gcr 2 b a
（6-10）
6.2 临界应变能释放率的确定 2
以图6-3所示的矩形截面（厚度和高度分别为b和2h）双悬臂梁试件 为例，由小变形挠曲线的微分方程，梁在自由端的挠度值为
式中，KⅠ称为应力强度因子，它是衡量裂 纹尖端区应力场强度的重要参量，下标Ⅰ表 示为Ⅰ型（张开型）裂纹。类似地，可以推 导出Ⅱ型和Ⅲ型裂纹的KⅡ和KⅢ。
图6-5 平面问题的应力单元
6.3 应力强度因子 4
在裂纹尖端区，即r足够小的情形下，式(6-12)中r的高次项比首项 小得多。因而可以忽略。当裂纹尖端区应力场的形式恒定时，其强度完 全由应力强度因子的大小来确定。由于材料为线弹性，裂纹尖端区的应 变场和位移场可以由弹性力学公式得到。注意到当r→0时，即在裂纹端 点，应力分量都会趋于无穷大。这种特性称为应力奇异性，产生的原因 是因为裂纹端点是几何上的不连续点。 由于3种基本裂纹类型裂纹尖端区的应力、应变、位移和应变能密度 都可以由应力强度因子来决定，因此应力强度因子可以作为表征裂端应 力—应变场强度的重要参量。现代断裂力学，得益于Irwin在20世纪50年 代提出了应力强度因子的概念，将早期由Griffith开创的断裂力学发展而 形成了线弹性断裂力学的构架。
K 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r K 3 y cos 1 sin sin 2 2 2 2r K 3 yx cos sin cos 2 2 2 2r
x
（6-12）
20 76 10 3 5.4mm 2 300
显然，裂纹在扩展至这一长度之前可以被检测到。由此看出，防止 初始裂纹的产生，避免裂纹的扩展是极其重要的。 在例6-1中，没有给出引起管道环向应力的内压力是液体还是气体。 如果是气体，由于其可压缩性，其潜在的危害还要加重，裂纹扩展的长 度还要长。
图6-4 断裂模型 a)张开型 b)滑开型 c)撕开型
6.3 应力强度因子 2
在断裂的过程中，裂纹尖端处要释放出一定的能量。因 此，裂纹尖端附近的应力场和应变场必然与此裂纹尖端处的 能量释放率有关，如6.1节所述。若裂纹尖端附近应力一应变 场的强度足够大，断裂即可发生，反之不发生断裂。 因此，必须寻求裂纹尖端附近应力一应变场的解答。近 代断裂力学是用弹性力学的解析方法得到了这些解答。
6.3 应力强度因子 5
在工程应用时，要计算应力强度因子。其计算方法主要有解析法和 数值法两种，前者包括应力函数法和积分变换法等，后者包括有限元法 和有限体积法等，这些都需要较为高级的数学和力学手段，以及复杂的 数值计算。为了便于工程应用，根据不同的裂纹形式、加载方式和几何 尺寸，文献或手册中给出了大量的应力强度因子的表达形式。 图6-6a表示几何对称与受力对称的 含孔边裂纹有限大矩形板。对于各向同 性材料，各种高宽比条件下，含孔边对 称裂纹有限大板应力强度因子KⅠ(Ⅰ型) 的公式为
K k a
（6-13）
式中因数k 为大于或等于1的值，其具 体数值解答请见参考有关文献。
图6-6 几何对称的含孔边裂纹有限大矩形板 a)对称受力 b)反对称受力
6.3 应力强度因子 6
图6-6b表示几何对称而受力反对称的含孔边裂纹矩形板， 含孔边对称裂纹有限大板应力强度因子KⅡ，即平面剪切Ⅱ 型裂纹的公式为
6.2 临界应变能释放率的确定
确定临界应变能释放率GC的方法不限于一种，其中一种称为柔度法。 变形与荷载的比值为柔度，即c＝-/F。总应变能可以表示为柔度c的形 式
V 1 1 F cF 2 2 2
（6-8）
例如，双悬臂梁试件的柔度，可以作为裂纹在试件上扩展长度a的函 数，它可从试验中量测。应变能释放率可以由应变能对裂纹长度的导数 求得 V 1 c （6-9） G F2
6.3.4 关于应力强度因子的讨论
从以上三种类型裂纹的应力强度因子的表达式中，可见在裂纹尖端附近， 应力场具有r-1/2的奇异性。只要存在荷载，应力就趋于无穷大。按照传统的强 度观点，任何材料都不能够承受如此之大的应力，其结构都注定要破坏。然 而，事实并非如此，只有当荷载达到某一数值时，裂纹才会扩展，导致结构 丧失承载能力。这说明采用应力作为控制参数所建立的强度判据，已经不能 反映含裂纹构件的实际承载能力。因此，必须选择新的控制参数并建立新的 强度判据。 当应力强度因子已知时，即可确定裂纹尖端附近任意点(坐标(r,θ))的应 力状态。对于Ⅰ型裂纹，裂纹尖端附近应力状态关于裂纹及其延长线是对称 的，在该延长线上只有正应力，而切应力为零；对于Ⅱ型裂纹，裂纹尖端附 近的正应力(x,y)是关于θ的奇函数，切应力是关于θ的偶函数，因此，裂纹 尖端附近应力状态关于裂纹及其延长线是反对称的，在该延长线上只有切应 力，而正应力为零。 总之，应力强度因子是判定裂纹尖端附近整个应力场强度的物理量，线 弹性断裂力学的主要任务就是确定含裂纹构件的应力强度因子。