【精选】第11章 动量矩1

dt dt
dt
d (r mv) r F dt
故：
d (r mv ) r F
dt
§11-2 动量矩定理
（2）投影形式：
d d d
M M M
x (mv) dt y (mv) dt z (mv) dt

Mx (F)
M y (F)
Mz (F)
z
mO (mv)
解： 经dt 时间,水由ABCD流到 abcd 动量矩
改变为 dLO Labcd LABCD LCDcd LABab
设叶片数为 n,水密度为 ,有
LCDcd

1 n
qV
dt v2
r2 cos2
LABab

1 n
qV
dt v1 r1 cos1
dLO

1 n
qV dt(v2r2
z
LOz miriw ri
i
ri vi
mi
( ri2mi )w
i
w
O
y
x
Jz
LOz J zw
§11-1 动 量 矩
3、平面运动刚体(示 图为质 量对称 面) LO rC mvC LC
w
ym ri
vi
mi vC
C
O
rC
x
平面运动＝随C平动＋绕C转动


LC JCωk ,为动量偶

M

z
(mv)
方向： 右手螺旋法则
MO (mv)
大小:
MO (mv) mv.ld
质点对轴 z 的动量矩：


M z (mv) MO (mvxy ) mvxy .d （代数量）
§11-1 动 量 矩
m O
(mv)
z

mz
( mv)

Mz (mv)
MO (mv)
F
mv

mO (F )
M
r
O
y
x
§11-2 动量矩定理


(3) 若 MO (F ) 0 或 M x (F) 0
则
MM xO((mmvv))常常量矢
若作用于质点上的力对某定点(或某定 轴）的矩为零，则质点对该点（或轴）的动 量矩保持不变——质点动量矩守恒定律。
§11-2 动量矩定理 2-2 质点系的动量矩定理
vi
矢量式：
y


LO ri mi vi
i
x m3 mn
投影式：

LOz M z (mivi )
i
§11-1 动 量 矩
1、平动刚体
vi
zm ri
mi vC
C
rC
O
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y
x
LO rC mvC LO MO (mvC )
§11-1 动 量 矩
2、定轴转刚体对转轴z的动量矩
应 用举例
例题
如图所示：均质圆轮在圆弧槽内
纯滚动，已知：R，r，m，vC，试
求 LO、LP 和 LC。
R
O
O
解：
LO

mvC (R

r)

1 2
mr2
vC r
C vC r
LP

m.vc
.r

1 2
mr
2
.
vC r

P


3 2
m.vc
.r


J
p
.
vc r
LC

1 2
mr 2
vC r
第11章 动量矩定理 §11-2 动量矩定理
§11-2 动量矩定理
2-1 质点的动量矩定理
（1）矢量形式：
d dt
MO
(mv )

MO (F )
质点对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等 于作用在质点上的合力对 同一点的矩。
z
mO (mv)
F
mv

mO (F )
M
r
O
y
x
d (mv ) F dt
r d(mv) d (r mv) dr mv
作业：
11－2 11－3 11－7 11－8 11－9 11－10 11－13 11－21
11－27
动力学
第11章 动量矩定理
引言——几个有意义的实际问题
？谁最先到 达顶点
引言——几个有意义的实际问题
？ 谁最先到
达顶点
§11-1 动 量 矩
质点对点O的动量矩：（矢 量）

MO (mv) r mv
Fi
用在系统上所有外力对于同一
点的主矩 。
§11-2 动量矩定理
2、动量矩定理的投影形式
dLOx dt

M
e x
dLOy dt

M
e y
dLOz dt

M
e z
例 已知： R, J , M , , m,小车不计摩擦. 求小车的加速度 a .
解: LO Jw m v R
M (e) O

M

mg
sin


R
d [Jw mvR] M mg sin R
dt
由 w v , dv a ， 得
R dt
a MR mgR2 sin
J mR2
例
水轮机转轮,进口水速度
v1
,出口水速度
v2
,它们
与切线夹角分别为1 ,2 ,总体积流量qV .
求水流对转轮的转动力矩.
cos2
v1r1
cos1)
MO (F )

n dLO dt
qV (v2r2 cos2
v1r1 cos1)
§11-2 动量矩定理
3、 质点系动量矩守恒定理
dLO dt


M
e O
若


M O (Fie ) 0 则 LO 常矢
M z (Fie ) 0 则 Lz 常量
即：当质点系所受合外力对某定点（或某定轴） 的矩为零，则质点系对该点（或该轴）的动量矩 保持不变 —— 质点系动量矩守恒定律。
§11-2 动量矩定理
例题
小球A，B以细绳相
z aa
量纲：kg·m2/s
§11-1 动 量 矩
例题1
已 解知 ：：L一Oz 质 点M质z (m量v为) m；r，w，vr。 求：LOz。
y
v va vr ve
vr ve
m
v vr wr
LOz mvr
m(vr wr)r
O x
r
w
§11-1 动 量 矩
z
m2
O ri
mi m1
§11-1 动 量 矩
1、平动刚体
LO rC mvC
LO MO (mvC )
2、定轴转刚体对转轴z的动量矩
L J w LOz miriw ri i
Oz
z
3、平面运动刚体
平面运动＝随C平 动＋绕C转动
LO rC mvC LC

LC JCωk ,为动量偶
§11-2 动量矩定理
F2
z
m2
O ri
F1 mi m1
vi
y
d dt
(ri

mivi
)
d dt
i
ri
1、矢量式
mi
ri

Fi(e)
vi
i dLO dt
ri Fi
ri

Fi(e)

M
e O
(i)
x m3 mn
质点系对固定点O的动量 Fn 矩对时间的一阶导数，等于作