数值积分算例

数值积分算例

例1 求在［-1，1］上，以x 1=-1,x 2=0,x 3=1为节点的内插求积公式，并确定其代数精度。

【思路】 先用积分系数公式求出系数A 1，A 2,…, A n ,且可以由A 1+A 2+…+A n =b-a 检查计算的是否正确 。然后代入内插求积公式写出积分式，并根据代数精度的定义。验证其代数精度。

解 由计算系数公式得 ⎰

-=-----=1

113

1

)11)(01()1(dx x x A ⎰

-=-+-+=1

123

4)10)(10()1)(1(dx x x A ⎰-=-++=

1

133

1)01)(11()1(dx x x A 内插求积公式为

[])1()0(4)1(3

1

)(1

1

f f f dx x f ++-≈

⎰

- 因为有三个节点，2=n ，根据定理知它至少有二阶代数精度。 令f (x )＝x 3

， 左边＝01

13=⎰-dx x 右边＝0)1041(3

1=+⨯+-

左=右 也精确相等

但是，令f (x )＝x 4，

左边＝5

2

)(1

141

1==⎰⎰--dx x dx x f

右边＝5232)1041(31≠=+⨯+

∴当k ≤3时求积公式精确成立，而当f (x )＝x 4时公式不成立，可见该求积公式具有3阶代数精度。

例2. 确定积分公式[])1()(3)(23

1

)(2111

f x f x f dx x f ++≈

⎰-中的待定常数，并确定其代数精度。

【思路】 参见上述判断代数精度的步骤。 解 令f (x )＝1，

左边＝21)(1

11

1==⎰⎰--dx dx x f 右边＝2)132(3

1=++

令f (x )＝x

左边＝⎰⎰--==11110)(xdx dx x f 右边＝[]

1323

1

21++x x

令f(x)＝x 2，

左边＝32

1

12=⎰-dx x 右边＝)132(3

12

2

21++x x 得：

[]⎩⎨

⎧=-=⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=

++=++1266

.06899.05266.02899.032)132(3

1013231

2121222121x x x x x x x x 或得 令f (x )＝x 3，

左边＝ 右边＝0.6106或 0.3494 ∴左≠右 ∴该求积公式具有2阶代数精度。

1

13

=⎰-dx x

例3. 用梯形公式、辛卜生公式计算积分⎰

-=

1

21dx

x I

【思路】记熟梯形公式和辛卜生公式，直接应用。

解 b-a=1 f(0)＝1，f(1)＝0， 梯形公式：

[]5.0)01(2

1)1()0(21

11

2=+=+=

-=

⎰

f f dx x I

辛卜生公式：

744016935.0)1()21(4)0(61110

2=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=

-=⎰

f f f dx x I

准确值为 0.785398163

例4 数值积分收敛速度的比较

分别按下述计算方案求积分 的近似值，并比较其收敛

速度。

方案I 复化梯形法 方案II 复化辛甫生法 方案III 外推加速法 方案IV 高斯—勒让德公式

解 显而易见，被积函数

在积分区间

上是十分光

滑的。对于这样的积分，可以期望复化梯形法、复化辛甫生法和外推

加速法的收敛速度一个比一个快。数值计算结果见表1，其数据很清楚地表明了这一点。

表1

* 注：此值为七点高斯——勒让德公式计算结果。

事实上，积分的准确值为

与此相比可知，梯形值T512（513个节点）只有五位有效数字；辛甫生值S128（257个节点）则已有九位有效数字；而外推加速算法对梯

形值的五次加速值（33个节点）却有十位有效数字，收敛速度大大提高。

但是，数值结果同时表明，收敛速度最快的是高斯求积法。仅用七个节点的高斯—勒让德公式，计算结果已经具有十位有效数字了。

例5被积函数的不光滑性对数值积分的影响

用例4中所列四种计算方案求下述积分的值，并观察其收敛速度。

解为了便于比较，首先给出积分的准确值

由于该积分的被积函数在x = 0处的导数不存在，因此其光滑性远没有例1中的函数的性态好，其数值积分的收敛速度是否还同例4中的情况一样呢？下表中给出了各种方案数值积分结果的误差情况，其中“比率”是指当n加倍时，误差减少的速率，即前后两次误差的比值。

从表中结果可以看到，不论是从误差情况看，还是从误差下降速率情况看，复化梯形法、复化辛卜生法和外推加速法几乎都是差不多

的，即对于像这样具有奇性函数的数值积分，复化辛甫生法

和外推加速法并非像例1中那种明显地提高收敛速度。对于某些情况，甚至收敛速度反而更慢。之所以发生这种情况，其原因在于不满

足外推加速法对被积函数的光滑性条件要求，即梯形公式余项展开式不再成立。此时，若想应用外推算法，应重新寻找梯形公式的余项展开式，据此建立新的外推公式。

从数值结果还可以看到，高斯公式明显比前三种方法的收敛速度快，有效地处理了光滑性较差函数的积分。但应注意，计算中所有奇异性态的点应当作为积分区间的端点出现。例如，高斯公式对于积分区间内部包含奇异点的积分，如下面积分

效果是非常差的。应当指出，大多数其它数值积分法也将是很差的。这时，应按下列形式分解

然后，再分别用高斯公式求解。