Banach空间中一类非线性弹性梁方程正解的存在性

ｌ ｕＩ Ｉ ｌ －Ｉ Ｉ Ｕ ． Ｉ ｌ Ｔ ｃ Ｕ ｃ， Ｅａ （ ２）
８月
文章 编 号 ：ｌ ０ －３ ２ （ ０ ）０ ・０ ２ ０ ０ ６７ ０ ２ １ １ ３０ １ － ４
Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 间 中一 类非 线性 弹性 梁 方 程
正解 的存 在 性
张培 国
（ 泽学 院 初等教 育 系，山 东 菏泽 ２ ４ ０ 菏 ７ ０ ０）
摘 要 ：讨 论 了 Ｂ ｎ ｃ ａａ ｈ空 间 非 线 性 弹 性 梁 方 程
Ｉ ） ２ （ （）ｔ （ ＝ ｆｔ ，， Ｅ ¨ｆ ，） Ｊ
Ｉ０＝ ） “１ ｕ（＝ ） 甜（ ＝ ） ｒ） ０ （ ｏ （＝ ｎ １
正 解 的 存 在 性 ．通 过 构 造 一 个 特 殊 的 锥 ，运 用锥 拉 伸 压 缩 不 动 点 定 理 ，证 明 了上 述 微 分 方 程 正 解 存 在 的 条 件 ，并 给 出 一 个 例 子 说 明 主 要 结 果 ． 关 键 词 ：Ｂ ｎ ｃ ａａ ｈ空 间 ；弹 性 梁 方程 ；不 动 点 ；边 值 问题 中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５８ ７． 文 献 标 志 码 ：Ａ
＞０，Ｊ＝（， ， 是 Ｅ中的 零 元 ．令 Ｐ ＝｛ ∈Ｅ ｌ ） ０ ０１ ） ’ 妒 ’ ， ∈Ｐ ， Ｐ 是 户的对 偶 锥 ．本 文 中假设 Ｐ ） 称 ．
是 正规 锥 ，不 失 一 般 性 ，设 正 规 常数 为 １ ． 为 了方 便 ，首 先 列 出 假 设 条 件 ：
ＺＨＡＮＧ Ｐｅ－ｇ ｏ ｉ ｕ
ｆ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ ｅ ｎａｙＥ ｕ ａｉｎ ＨｅｅＵ ｉｅｓｔ， ｚ ７ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｄｅ ａｔ ｎ ｍｅ ｔｒ ｄ ｃ ｔ ， ｚ ｎｖ ｒｉ Ｈｅｅ２ ４ ０ ， ｈｎ ） ｏ Ｅｌ ｏ ｙ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｈ ｓｐａ ｅ ｓ ｕ ｓ ｓｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒｎ ｎ ｉ ｅ ｒｅ ａ ｔｃ ｂ ａ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｓｒ ｃ ： ｉ ｐ ｒｄｉｃ ｓ ｅ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｏ ｕｉ ｎ ｏ ｏ ｌｎ ａ ｌｓｉ ｅ ｍ ｑ ａｉ ｎ
Ｇｗ ） （，
，
ｆ ｗ∈ Ｊ ， ，．
引 理３ 假设 条 件 Ｈ ）成 立 ，则 Ｔ： Ｋ全 连 续 ． Ｋ 证 明 对任 意 的 甜 ∈Ｋ ， 由 Ｇ（ 关 于 ｆ 连续 性 知 Ｔ ￣ｃ ／Ｅ ，再 由 ｔ） ， 的 ｕ ［， 】
（ Ｇ ） （出 ｌ，）Ｇ ’ （（出 ｆ ｆ（ 厂， ＞ｔ １１（ ） ： ） （ ２ － ｗ 厂， ： 甜 （ １￣ ３２
证 明 由 ｆ 的 定 义 知存 在 ＞０ 得 Ｉ ｆ ）Ｉ 厂。 ） Ｉ 。 使 Ｉ ， ｌ 矿（ ＜（ ＋ Ｉ ，０＜ ｌ ， 对 于 Ｕ 。 Ｉ＝ ， １ Ｉ 故 １ ＜ ＥＫ Ｉ ｃ
于是 有
Ｉｆ ｒ１ ｕ１ （ ） ＝
∽出２ Ｉ ｆ 警 ）Ｉ ）＜ｆ ， （ １ 】 （ Ｉ ｌ ）ｔ
ｌ¨ ｆ＝ ｆｔ （）ｔ Ｊ ’） ２ （ ，， ∈ （ ，） Ｉ（ ＝ ，） 材１ （＝ “ｏ “（ ＝ ） －） ０ ） ０ （＝ １
Ｂｙｃ ｎ ｔｕ ｔｎ ｐ ｃ ａ ｏ ｅａ ｄ ｕ ｉ ｇｔ ｏ ｅｅ ｐ ｎ ｉｅａ ｄ ｃ ｍｐｒ ｓ ｉ ｎ ｆｘ ｄ ｐ ｉ ｔｔ ｅ ｒ ｍ ， ｈ ｏ ｓ ｒ ｃ ｉ ｇ ａｓ ｅ ｉ ｌｃ ｎ ｎ ｓｎ ｈｅｃ ｎ ｘ ａ ｓｖ ｎ ｏ ｅ ｓｏ ｉｅ ｏ ｎ ｈ ｏ ｅ ｔ ｅ ｅ ｉｔｎｃ ｎｄ ｎ ｎ ｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｏｕ ｉ ｎ ｏ ｈ ｂ ｖ ｑ ａ ｉ ｎ ｉ ｎａ ｈ ｓ ａ ｅ ｒ ｔ ｄ ｅ ， ｘ ｓｅ ｅ ａ ｏ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒｔ ｅ ａ ｏ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｎ Ｂａ ｃ ｐ ｃ ｓａ ｅ ｓｕ ｉ ｄ ａ ｄ ａ ｘ ｍｐ ｅ ｉ ｉ ｅ ｏ ｉｌ ｓ ｒｔ ｈ ｉ ｅ ｕ ｔ ｎ ｎ ｅ ａ ｌ ｓｇｖ ｎｔ ｌｕ ｔａ ｅｔ ｅ ｍａｎ ｒ ｓ ｌ．
定锥＝∈，（ 甜 ，， ｇｒ－［如 义 ｛ｃ 】 （ ｆ１ －：）， 下 【卜 ， ｆ ∈】 ７ＫＣ 】 Ｅ） 【｝ － －Ｉ ０， Ｅ
Ｔｔ２Ｇ， （（出 ｕ ＝￣（） ，） ， （ ） ｔ厂 ）
则 ∈ Ｃ【 Ｅ】是 ＢＶＰ （１） 的 正 解 当 且 仅 当 “∈ Ｃ【 ， ， ， Ｅ】是 的 不 动 点 ， 其 中 Ｇ（， ＝ ｔ ）
Ｉ （ （） 口，＋ （ ， ｚ ， ａ ． ｔ ｌ ｔ ｆ Ｉ （ ６ｆ ｔ ， ）ｌ ） ） ｆ ∈ ． ＥＪ． ｅ
于 是有
ｏｕ） Ｅ） （ ｒ［ ） ： ２ （ ） ∈）＝， ｔ．： ＝ （）（ ） ） （ ： ０ （（Ｕ ｆ ， ， 】 ∈ ｆ ， 出 Ｔｔ． 出 ）
．
则 在Ｐ （ 中 ｎ．＼ 至少有一个不动点． ｏ ）
引 理 ２。 设 Ｈ ＝似 Ｉ ， Ｅ是 强 可 测 函数 ） 可 数 的 ，且 存 在 Ｍ ∈ＬＩ ） 得 ｌ （ ｌ ｔ ， 【 ： 是 （， 使 ）＜Ｍ（ ｌ ｔＩ ｕ ）
口 Ｅ， ． （ ＬＲ， ｆｆ： ） （ｆｆ ． 巴Ｊ ｔ ∈ 则（ｆ （ 且 （（ ≤ ）． 『 ） ／ ） ） ， ∈ ｄ ∈ ２ （ ） ｆ ） ｄ
Ｈ）厂∈Ｃ Ｊ Ｐ Ｐ ， ｔ（ ） ｔ ｔ ） ∈ ） 对 紧 ，且 存 在 口ｆ６ｆ∈ＬＩＲ ） ｗｔｅｃ１Ｒ 】 （ ｘ ，） ｆｔ ＝｛ （ ｌ 相 ， ｆ ， （ ，（ ） ） （， ， （ ［， 使 ） 得 对 任何 Ｘ ＥＰ， Ｉ （ Ｉ ａｔ＋ （ ｗＩ ） ａ ．Ｅ，，其 中 ＝｛ＥＰ：Ｘｌ －． ｌ ｔ ）Ｉ （ ｂｔ （圳 ， ． ｔ ， ＜ ） ） Ｉ ｆ ｔ ｅ ｘ ｌ ｌ ） ｌ ＜，
Ｔｈ ｉ ｔ ｎ ｅ ｏ ｓ ｔｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ａ ｓ ｏ ｉ ｕ ａ ｎ ｉ ｅ ｒ ｅ Ｅｘ ｓ ｅ ｃ ｆＰｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｆ ｒａ Ｃｌ ｓ ｆＳ ｎｇ ｌ ｒ Ｎｏ ｌｎ ａ
Ｅｌ ｓｉ ａ Ｅｑｕ ｔｏ ｎ Ｂａ ａ ｈ Ｓ ａ ｅ ａ ｔｃＢｅ ｍ ａ ｉｎ ｉ ｎ ｃ ｐ ｃ ｓ
第 ２ 卷 第 ３期 ５
２１ ０ １年
五 邑大学学报 （自然科学版 ）
Ｊ Ｒ Ｌ Ｆ ＯＵ ＮＡ Ｏ Ｗ Ｕ Ｕ Ｖ ＲＳＴ （Ｎａ ｒｌ ｃｅｃ Ｅ ｉｏ ＹＩ ＮＩ Ｅ ｌ Ｙ ｔａ ｕ Ｓ ｉｎｅ ｄｔ ｎ） ｉ
Ｖｂ ． ５ Ｎｏ ３ １ ２ ． Ａｕ ｇ． ２ １ ０ １
刮二 怒
令 Ⅳ（ ： ｒ） ，
：应 ｆ、 ， ， （ 林 是 （ （ （ １ 礅 对 ） － ｏ ０１ ） ） 洲格
， ≠ｏ， Ｈ（０ ：０，容 易 证 明 Ｏｔ ） Ｈ（ 有 下 述 性 质 ： ０ ｔ） ， （ 、 ｔ ） ， ， ＜Ｈ（ ≤ｌ ｔ） ； ，
Ｏ ｔ ） Ｇ １ ） ｆ ∈， Ｇ ｆ ） 兰 （ ≤ （ ， ， ， ， ； （ ≥ ，
ｌ ４
五邑大学学报 （自然科学版 ）
２ １ 年 ０１
因而 Ｔ Ｖ是相 对 紧的 ．于是 存 在 子 列 ｛ ｝ ｝ 得 ｛ｕ ｃ｛ 使 Ｔ 卜一 收敛 到 某 个 ∈ｃ Ｊ ，故 ７是 紧的 ， 致 ［， １
从 而 是 全连 续 的 ．
本 文做 以下 记 号 ：
ｆ ＝ ｓ Ｐ ｕ ｐ
第２ 卷 第 ３ ５ 期
张培 国 ： ａａｈ Ｂ ｎｃ 空间中一类非线性弹性梁方程正解 的存在性
１ ３
描 述 的是 一 端 简 单 支撑 （＝０ 、另 一 端 可 滑 动 （＝１的 弹性 梁 的 形 变 ，在 经 典 梁 分 析 如文 献 【】 ＶＰ ｆ ） ｆ ） ｌ＠Ｂ
（Ｉ 是 ６ ） 种典 型梁 之 一 ． 我 们 所 知 ，研 究ＢＶ 据 Ｐ（Ｉ ）的文 献 较 少 且 仅 限 于 一 般 空 间 中讨 论 ，本 文设
收 稿 日期 ：２ １－ ３ ２ ０ １０ － ２ 基 金 项 目 ：菏 泽 学 院科 研 基 金 资 助 项 目 （ ＸＹＩ Ｓ １ Ｏ Ｘ０ ） 作 者 简 介 ：张培 国 （１ ７ 一 ） 男 ，山 东 菏泽 人 ，讲 师 ，硕 士 。主 要 研 究方 向 为 非 线性 泛 函分 析 及 应 用 ９Ｏ ，
ｒｗ，， ［】 ｕ） ，∈， （ ｗ ｏ ｌ
知Ｔ Ｋ＿Ｋ， ： ÷ 而且由厂的连续性容易证明Ｔ 是连续的． ￣ ｆｉＮＴ Ｔｉ ｆＴ 是紧的， Ｖ ｛ ｃＫ为 ］ Ｉ 令 ＝ ）。
任意有界列，不妨设Ｉ ｃ ， 令Ｍ， ｍｘｗｔ０ ，，由条件Ｈ） ＩＩ 。 材Ｉ ＜ － ＝ ａ｛（ ｌ ） ｆ ． ） 得
在材 料 力 学 中 ，四 阶 两点 边 值 问 题 （ Ｐ）描 述 了 弹性 梁 在外 力 作 用下 的形 变 ，近 年来 对 四 阶 ＢＶ
两点Ｂ Ｐ Ｖ 的研究 已有很 丰富的结果．卜 四阶两点边值问题 【
ｆ。ｆ ２ （ （）ｔ ’） ｆｔ ｆ， Ｅ ‘ ＝ ，） Ｊ （ 【 ０＝ ， ） ”１ １ ０ 甜 ） “ ０＝ ） （ （ （＝ ） ＝
Ｉ 『（ －ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋ Ｅ０
，
１ ｌ Ｉ ） Ｉｉ
，（ － ｉ， ｌ ｎ丛 ｆ
… Ｐ ｌ： Ｅ． ｌ ｌ 『 ｆｏ ｌ Ｉ ； （） １
，
其 中 代表 ０ 者 ｏ ， ∈Ｐ 且 Ｉ ｒ ． 或 ｏ ’ Ｉ ｌ ＝１
２ 主 要 结 果
定１设（ ＞。 当（ ， Ｂ（至 一正． 理假ｌ）２ 则 ∈ １Ｖ１少 个解 ９ ｆ ９ Ｐ） 有 ３， ￣
引理 １ １ 设 Ｅ为实的 Ｂ ｎｃ 空 间， Ｐ是 Ｅ中的锥 ， ［ ７ ａａｈ 且 设 ， ２ Ｅ为有界开集 ， ｅ日 且 ｃ ｃ ０
ｇ ， ：ｎｚ ＼ ＿Ｐ 全 续的， 外， 设 列 件 立 ２ Ｔｐ （： ÷ 是 连 ） 另 假 下 条 成
Ｈ１ １ｕＩｌ ｌ Ｖ ）ｌ ｌ ｌ ∈ＰＭ０２ ，且 Ｉ ｕｌ１ Ｉ Ｖ ∈Ｐｉ￣２ ；或 者 Ｉ “ ， Ｔ ＜ ￣， Ｉ ， ｌ ｌ ｌ ｕ ＂ ，２ Ｔ １， ｆ Ｈ ）ｌ ｕｌｌ ｌ Ｖ ∈ＰＭｂ２ ，且 ｌ ｕｌＩ ， Ｖ ∈Ｐ１￣２ ， ２ ｌ Ｉｌ ｕ Ｉ甜 ， Ｔ － ＞ ，１ ｆ ｌ Ｉ ｕ ＂ ．２ ｌ ｌｌ Ｔ ≤Ｕ １ｆ
尸是 实Ｂａ ａｈ 间 Ｅ中 的正 规 锥 ，在 Ｂ ｎ ｃ 空 间 中考 虑 Ｂ Ｐ （ ）正解 的 存 在性 ． ｎ ｃ空 ａａｈ Ｖ １
记 ＝ Ｏｌ，对 于 Ｕ ｉ明 ，定 义 Ｉ Ｉ 【， 】 Ｅｃ［， Ｉ ｃ Ｉ＝ｍａ （ Ｉ ｘＩ ｆ Ｉ １ ） ，则 Ｃ Ｉ明 在 范数 Ｉ Ｉ 下 构成 Ｂ ｎｃ 间． ［， ＩＩ ・ｃ ａａｈ空
Ｋｅ ｒ ｆ Ｂａ ａ ｈ ｓ ａ ｅ ｌｓｉ ｅ ｍ ｑ ａ ｉｎ； ｉｅ －ｐ ｉ ｔ ｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ｙ ｗｏ ｄｔ ： ｎ ｃ ｐ ｃ ；ｅａ ｔｃ ｂ ａ ｅ ｕ ｔｏ ｆｘ ｄ ｏｎ ； ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ
引 言和 预 备 知识