一阶微分方程的初等解法

一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法
教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法；会利用所学知识解决一些实际问题．
教学内容：
1、变量分离方程与变量变换
变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例． 2、线性方程和常数变易法
线性方程、常数变易法、Bernoulli 方程． 3、恰当方程和积分因子
恰当方程、积分因子法、分项组合法．
4、一阶隐式微分方程与参数表示 一阶隐式微分方程及参数解法．
教学重点：变量分离方程、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程及参数解法．
教学难点：变量变换，积分因子法，分项组合法，建立
微分方程模型。

教学过程：
§2.1变量分离方程与变量变换
要求：熟练掌握变量分离方程的解法 本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换.
2.1.1变量分离方程
)()(y g x f dx dy
⋅=，
或
)()()()(2121=+dy y N x N dx y M x M
分离变量即可求解．
例1 求解方程 y
x
dx dy -=. （解为2
x c y -±=）
例2 求解方程 )
()(by a x dx c x y dx dy -+-=，0,0≥≥y x . （解为k
e y e
x by a dx
c
=--）
例3（略）
例4 求解方程 y x P dx
dy )(=.（解为⎰=dx
x P ce y )(）
2.1.2可化为变量分离方程的类型
令 x y
u =，可化为变量分离的方程 x
u u g dx du -=
)( 求解．
例5 求解方程 y
x
y x dx dy tan +=. （解为cx u =sin ，即cx x y
=sin ）
例6求解方程 )
0(2
<=+x y xy dx
dy x ，.
（解为
⎩
⎨
⎧>+-+-=0,0)ln(,])[ln(2c x c x x y ）.
（2） 可化为齐次方程
.
2
221
11　分三种情况进行求解方程　C y b x a C y b x a dx dy ++++=
当 0
,2
1=C
C 时，可化为齐次方程求解．
当 2
1
,C C 不全为零时，但0
2
2
11==
∆b a b a ，即
1.（1），（3），（5），（7），（9）；
2. （1），（3），（5），（7）；
3.（1）；4；6；9.
§2.2 线性微分方程与常数变易法
要求：熟练掌握一阶非齐次线性微分方程的解法
本节重点：一阶非齐次线性微分方程的解法（即常数变易法）
一阶线性微分方程
0)()()
(=++x c y x b dx
dy
x a ，
当0)(≠x a 的区间上可以写成
)()(x Q y x P dx
dy
+=，
（2.2.1）
其中)(),(x Q x P 在考虑的区间上是x 的连续函数. 若0)(=x Q ，（2.21）变为
y x P dx
dy
)(=，
（2.2.2）
（2.2.2）称为一阶齐次线性微分方程
若0)(≠x Q ，（2.21）称为一阶非齐次线性微分方程.
齐线性方程变量分离求解，得
⎰
=dx
x P ce y )(．
（2.2.3）
非齐线性方程)()(x Q y x P dx
dy +=用常数变易法求解．
⎰+⎰⎰
=-)
)(()()(c dx e x Q e y dx
x P dx
x P 为非齐线性方程
)()(x Q y x P dx
dy
+=通解公式。

常数变易法实际上是一种变量变换的方法，通过（2.2.4）可将方程（2.2.1）化为变量分离方程.
例1 求方程1
)1()1(++=-+n x
x e
ny dx
dy x 的通解.
（解为)()
1(c e x y x n
++=）
例2 求方程2
2y
x y dx dy -=的通解. （解为)ln (2
y c y
x -=）
形如
2)()(y x Q y x P dx
dy
+=，
（2.2.7）
的方程，称为伯努利（Bernoulli ）方程. 这里
)
(),(x Q x P 是x 的连续函数，1,0≠n 是常数.
利用变量变换可将伯努利（Bernoulli ）方程化为线性微分方程.
例3 求方程2
6xy x
y
dx dy -=的通解. （解为
8
12
6x x c y +=，或
c x y x =-8
8
6及0=y ）
习题2.2
1.（1），（3），（5），（7），（9），（11），（13），（15）；
2.
3. 5.（1），（3）； 7. （1），（3）.
§2.3 恰当微分方程与积分因子
要求：熟练掌握恰当微分方程的解法，积分因子的求法.
本节重点：恰当微分方程的解法，积分因子的求法. 难点：积分因子的求法.
2.3.1 恰当微分方程（全微分方程）
如果微分方程（2.3.1）的左端恰是某一函数
)
,(y x u 的全微分，即
dy y
u dx x u y x du dy y x N dx y x M ∂∂+∂∂=
=+),(),(),(，
（2.3.2）
则称（2.3.1）为恰当微分方程（或全微分方程）.
容易验证，（2.3.1）的通解是 c y x u =),(，
（2.3.3）
其中c 是任意常数.),(y x u u =. 问题：
（1） 如何判断（2.3.1）是恰当微分方程？ （2） 如果（2.3.1）是恰当微分方程，如何
求得函数),(y x u u =？
（3）如果（2.3.1）是恰当微分方程，函数
)
,(),,(y x N y x M 应有什么性质？
恰当微分方程的充要条件是
x
N
y M ∂∂=∂∂
（2.3.5）
恰当微分方程（2.3.2）的通解是
+
⎰dx y x M ),(dy dx y x M y N ]),([⎰
⎰∂∂
-
=
c
，
（2.3.9） 例1 求方程0
)46()63(3222
=+++dy y y x dx xy x
的通解.
（解为c y y x x
=++4223
3）
采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分. 这要求熟记一些简单二元函数的全微分。

例2 求解微分方程0
)4(sin )cos 3(32
=-++dy y x dx x y x
（解为.sin 43
c y x y x
=-+）
2.3.2 积分因子法．
给出微分方程
),(),(=+dy y x N dx y x M
(2.3.17)
如果它不是恰当微分方程，如果能找到一个函数0),(≠y x μ，使得
),(),(),(),(=+ay y x N y x dx y x M y x μμ
是一个恰当微分方程，即存在函数v ，使
dv y x N y x M ≡+),(),(μμ （2.3.18）
则称函数 ),(y x μ 是方程 (2.3.17) 的一个积分因子．
这时c y x v =),(是（2.3.18）的通解，因而也是（2.3.18）的通解.
同一方程0=-xdy ydx 可以有不同的积分因子 一个方程如果存在积分因子，那么积分因子不只是一个．方程解的形式也不一定相同.
函数),(y x μ为（2.3.17）的积分因子的充要条件是
μμμ)(x
N
y M y M x N
∂∂-∂∂=∂∂-∂∂，
（2.3.19）
如果方程满足条件
)(x N
x
N
y M ψ=∂∂-∂∂
它仅是 x 的函数，那么易求其积分因子为
dx
x e )(ψμ⎰=．
同样，方程满足条件
)(y M x N y M Φ=-∂∂-∂∂
它仅是y 的函数，那么易求其积分因子为 .)(dy y e Φ⎰=μ
例 3 试用积分因子法解线性微分方程)()(x Q y x P dx dy +=.
（解为⎰
=dx x P e y )())(()(c dx e x Q dx x P +⎰-⎰） 作业：习题2.2
1.（1），（3），
2.（1），（3），（5），（7），（9），
（11）； 3. 4．5. 7. ８.
§2.4 一阶隐方程与参数表示
要求：熟练掌握一阶隐分方程的解法.
本节重点：一阶隐方程的解法克莱罗方程的求法. 难点：一阶隐方程的求法.
求解隐式方程
0),,(='y y x F （2.4.1）
的问题分两种情况考虑：
1． 假如能从(2.4.1)中把y '解出，就得到一个或几个显式方程
),,2,1(),(n i y x f y i
==' 如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程(2.4.1)的解.
例1 求解方程
)(2=+'+-'xy y y x y （解为c x y +=221 及 x
Ce y =） 2．如果在(2.4.1)中不能解出y '时，则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介绍其中两类可积类型，
类
型 Ⅰ
),(),,(y y f x y x f y '='=
类型 Ⅱ
),(,0),(='='y y F y x F 2.4.1 可以解出y （或x ）的方程
考虑类型Ⅰ中的方程
),(y x f y '= （2.4.2）
注意：当从方程(2.4.4)中解出),(c x p p =时，只 要将其代入(2.4.3)的第三式，就得到(2.4.2)的通解了，而不要再将 p 认为y '，再积分来求 y ．
同理，可以考虑类型Ⅰ的方程
),(y y f x '= (2.4.5)
例2 求解方程
2221x y x y y +'-'= （解为42
x y =及2221C Cx x y ++=）
例3 求解方程
)(y y x y '+'=ϕ (2.4.9)
这里，假定()x ϕ是二次可微函数.
（解为)(C Cx y ϕ+=和)(C Cx y ϕ+=）
方程(2.4.9)称为克莱洛 (Clairaut)方程.由(2.4.11)式可知，它的通解恰好是在方程(2.4.9)中用C 取代y ' 而成.
2.4.2 不显含y （或x ）的方程
类型Ⅱ的特点是，方程中不含y 或x
考虑类型Ⅰ中的方程
0),(='y x F
（2.4.13）
⎩⎨⎧='=)()
(t y t x ψϕ
得到方程(2.4.13)的参数形式通解
()
()()x t y t t dt C ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰
同理，可以讨论类型Ⅱ的方程
(,)0F y y '=
(2.4.17)
()()y t y t ϕψ=⎧⎨'=⎩
(2.4.17)的参数形式通解为
()
()()
t x dt C t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰
例4 求解方程21x y y '+= .
（解为sin cos x t
y t C =⎧
⎨=-+⎩ ）
作业：P58, 1,2,3,4,5,6。