一阶微分方程的初等解法

一阶微分方程的初等解法

第二章 一阶微分方程的初等解法

教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法；会利用所学知识解决一些实际问题．

教学内容：

1、变量分离方程与变量变换

变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例． 2、线性方程和常数变易法

线性方程、常数变易法、Bernoulli 方程． 3、恰当方程和积分因子

恰当方程、积分因子法、分项组合法．

4、一阶隐式微分方程与参数表示 一阶隐式微分方程及参数解法．

教学重点：变量分离方程、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程及参数解法．

教学难点：变量变换，积分因子法，分项组合法，建立

微分方程模型。

教学过程：

§2.1变量分离方程与变量变换

要求：熟练掌握变量分离方程的解法 本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换.

2.1.1变量分离方程

)()(y g x f dx dy

⋅=，

或

)()()()(2121=+dy y N x N dx y M x M

分离变量即可求解．

例1 求解方程 y

x

dx dy -=. （解为2

x c y -±=）

例2 求解方程 )

()(by a x dx c x y dx dy -+-=，0,0≥≥y x . （解为k

e y e

x by a dx

c

=--）

例3（略）

例4 求解方程 y x P dx

dy )(=.（解为⎰=dx

x P ce y )(）

2.1.2可化为变量分离方程的类型

令 x y

u =，可化为变量分离的方程 x

u u g dx du -=

)( 求解．

例5 求解方程 y

x

y x dx dy tan +=. （解为cx u =sin ，即cx x y

=sin ）

例6求解方程 )

0(2

<=+x y xy dx

dy x ，.

（解为

⎩

⎨

⎧>+-+-=0,0)ln(,])[ln(2c x c x x y ）.

（2） 可化为齐次方程

.

2

221

11　分三种情况进行求解方程　C y b x a C y b x a dx dy ++++=

当 0

,2

1=C

C 时，可化为齐次方程求解．

当 2

1

,C C 不全为零时，但0

2

2

11==

∆b a b a ，即

1.（1），（3），（5），（7），（9）；

2. （1），（3），（5），（7）；

3.（1）；4；6；9.

§2.2 线性微分方程与常数变易法

要求：熟练掌握一阶非齐次线性微分方程的解法

本节重点：一阶非齐次线性微分方程的解法（即常数变易法）

一阶线性微分方程

0)()()

(=++x c y x b dx

dy

x a ，

当0)(≠x a 的区间上可以写成

)()(x Q y x P dx

dy

+=，

（2.2.1）

其中)(),(x Q x P 在考虑的区间上是x 的连续函数. 若0)(=x Q ，（2.21）变为

y x P dx

dy

)(=，

（2.2.2）

（2.2.2）称为一阶齐次线性微分方程

若0)(≠x Q ，（2.21）称为一阶非齐次线性微分方程.

齐线性方程变量分离求解，得

⎰

=dx

x P ce y )(．

（2.2.3）

非齐线性方程)()(x Q y x P dx

dy +=用常数变易法求解．

⎰+⎰⎰

=-)

)(()()(c dx e x Q e y dx

x P dx

x P 为非齐线性方程

)()(x Q y x P dx

dy

+=通解公式。

常数变易法实际上是一种变量变换的方法，通过（2.2.4）可将方程（2.2.1）化为变量分离方程.

例1 求方程1

)1()1(++=-+n x

x e

ny dx

dy x 的通解.

（解为)()

1(c e x y x n

++=）

例2 求方程2

2y

x y dx dy -=的通解. （解为)ln (2

y c y

x -=）

形如

2)()(y x Q y x P dx

dy

+=，

（2.2.7）

的方程，称为伯努利（Bernoulli ）方程. 这里

)

(),(x Q x P 是x 的连续函数，1,0≠n 是常数.

利用变量变换可将伯努利（Bernoulli ）方程化为线性微分方程.

例3 求方程2

6xy x

y

dx dy -=的通解. （解为

8

12

6x x c y +=，或

c x y x =-8

8

6及0=y ）

习题2.2

1.（1），（3），（5），（7），（9），（11），（13），（15）；

2.

3. 5.（1），（3）； 7. （1），（3）.

§2.3 恰当微分方程与积分因子

要求：熟练掌握恰当微分方程的解法，积分因子的求法.

本节重点：恰当微分方程的解法，积分因子的求法. 难点：积分因子的求法.