(完整版)历年高考真题汇编数列
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历年高考真题汇编数列（含）
、(年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113
a =，公比13q =．
（）n S 为{}n a 的前项和，证明：12
n
n a S -=
（）设31323log log log n n b a a a =++
+，求数列{}n b 的通项公式．
解：（Ⅰ）因为.31)3
1(311n n n a =⨯=
-,231
13
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2
)
1(+-=n n
所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n 、(全国新课标卷理）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （）求数列{}n a 的通项公式.
()设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和.
解：（Ⅰ）设数列{}的公比为，由23269a a a =得32349a a =所以219
q =
。有条件可知>,故13
q =。
由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。故数列{}的通项式为1
3n 。
（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++
(12...)(1)
2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++
12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前项和为21
n n -+
、（新课标卷理）
设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前项和n S
解（Ⅰ）由已知，当≥时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21233(222)2n n --=++++2(1)12n +-=。
而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。 （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知
35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅ ①
从而 2357
2121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①②得 235
2121(12)22222n n n S n -+-⋅=+++
+-⋅ 。
即 211[(31)22]9
n n S n +=-+
、（年全国新课标卷文）
设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。
解：（）由 （）及，得
112599{
a d a d +=+=-
解得
19
2
{a d ==-
数列{}的通项公式为。 ……分
()由() 知
(1)2
n n -。
因为().
所以时，取得最大值。
、（年全国卷）
设数列{}n a 的前项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S
、（ 辽宁卷）
已知等差数列{}满足， （）求数列{}的通项公式； （）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-12n n a 的前项和．
解：（）设等差数列{}n a 的公差为，由已知条件可得110,
21210,
a d a d +=⎧⎨
+=-⎩
解得11,
1.a d =⎧⎨
=-⎩
故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………分 （）设数列1
{
}2n n n a n S -的前项和为，即2
1
11
,122n
n n a a S a S -=+++
=故， 12
.224
2
n n
n S a a a =+++ 所以，当1n >时，
121
1111222211121()2422
121(1)22
n n n n n n
n n n n
S a a a a a a n n
------=+++--=-+++--=---
.2n n 所以1
.2n n n S -= 综上，数列11{
}.22
n n n n a n
n S --=的前项和 、（年陕西省）
已知{}是公差不为零的等差数列，＝，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;
（Ⅱ）求数列{}的前项和.
解 （Ⅰ）由题设知公差≠， 由＝，，，成等比数列得
121d +＝1812d
d
++， 解得＝，＝（舍去）， 故{}的通项＝（－）×＝. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2
m
a ，由等比数列前项和公式得
…2(12)
12
n --
、（年全国卷）
设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。
解： 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q
由3317a b +=得2
12317d q ++= ① 由3312T S -=得2
4q q d +-= ② 由①②及0q >解得 2,2q d ==
故所求的通项公式为 121,32n n n a n b -=-=⨯