曲线拟合的最小二乘法问题

解之得 b=4.61303, a=-0.312645.于是B=100.789,
得经验公式：u=100.789e-0.312645
100 80 60 40 20
2
4
6
8
10
100 80 60 40 20
2
4
6
8
10
对机床厂问题作二次拟合得
0.000663757 0.000091548 x 3.41261 10 8 x2
i 1
称为函数k和j的内积。
n
则有
ak (i ,k ) ( f ,i ), i 0,, n
k 0
法方程
于是有方程组：
(0 ,0 ) (0 ,1) (0 ,n )a0 (0 , f )

(1
,0
)
(1 ,1 )

(1 , n
2
2.5
例
电容器充电后电压达到100V，然后考试放电， 经检测得到时间t与电压 u的一组数据如下：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5
试建立电压u与时间t之间的函数关系，并测算 t=3.2时的电压u为多少？
散点图
100
2.70 36
16.24
7 10
2.302 49
16.11
8 10
2.302 64
18.420
9 5
1.6094 81
14.484
Sum
10
55
5
1.609
33.54
100
385
16.09 133.34
法方程组 11b 55a 33.5479 55 385a 133.3486
3．指数函数： (a>0)
b
y ae x
4．对数函数： y a b ln x
5．幂函数： y axb
6．S曲线
y 1 a bex
例 现有一组测量数据如下表：
xi
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
yi= f (xi) 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3
散点图
2 1.75
1.5 1.25
0.75 0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
拟合曲线图
1.75 1.5
1.25 1
0.75 0.5
0.25
0.5
1
1.5
2
2.5
拟合曲线图与散点图对照
2 1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
加入点 y= f (1.4) 0.68335
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
试根据数据确定参数a 和b ，并估计熔毕碳的含量为130时 的冶炼时间。
i
1
2
3
4
5
xi 165 123 150 123 141 yi 187 126 170 125 148
解：准备数据：
i
1
2
3
4
5

xi
165
123
150
123
141
702
yi
187
126
170
125
148
758
xi2 27225 15129 22500 15129 19881 99864
50
250
500
750
1000
1250
1500
2.幂函数拟合： T(x)=0.0410863 x1.14587 T(1000)=112.541
400 300 200 100
500
1000
1500
2000
2500
3000
应用实例： 上海机床厂为客户加工一个压轴，要求压轴边缘曲线 过下列各点，试设计压轴边缘曲线的方程 。
200 150 100
400
600
800
1000
1200
1400
抛物拟合： T(x)= 3.576+0.11532x+0.0000191035x2 T(1000)=130.847
注意：作二次拟合时数据较大，处理困难，可换算单位 将距离除以100处理，只需回代时换算回去即可。
200 150 100
编号 拉伸倍数
kg/mm2
1
1.9
1.4
13
5.0
2
2.0
1.3
14
5.2
3
2.1
1.8
15
6.0
4
2.5
2.5
16
6.3
5
2.7
2.8
17
6.5
6
2.7
2.5
18
7.1
7
3.5
3.0
19
8.0
8
3.5
2.7
20
8.0
9
4.0
4.0
21
8.9
10
4.0
3.5
22
9.0
11
4.5
4.2
23
9.5
12
4.6
200
400
600
800 1000 1200
作10此插值函数为：
0.00027574 x 4.56555 10 6 x2 4.26629 10 8 x3 2.1128 10 10 x4 6.17042 10 13 x5 1.11656 10 15 x6 1.26539 10 18 x7 8.73639 10 22 x8 3.35774 10 25 x9 5.5046 10 29 x10
m
xi
i 1 m
xi2
i 1 m
xi3
i 1
m
i1
m
i1
m
i1
xi xi xi
2 3 4

a


b

c



m
yi
i 1 m
xi yi
i 1 m
xi2 yi
i 1

80
60
40
20
2
4
6
8
10
可作形如：u=Beat 的经验公式。
数据
t u
U=lnu t^2 t*U
0 100
4.605 0 0
1 75
4.317 1
4.317
2 55
4.007 4
8.014
3 40
3.688 9
11.06
4 30
3.401 16
13.6
5 20
2.995 25
14.97
6 15
用曲线拟合的最小二乘法求形如y=beax的经验公式，并 用该公式估计x＝1.4时的y= f (1.4)的近似值.
解：将y=beax变形，lny=lnb+ax 令Y = lny , a0= lnb,则 有线性关系： Y = a0 +ax ，准备数据：
I
1
xi
0
y i = f (x i )
2
Yi= lnyi 0.693147
于是法方程为： 6
7.5
7.5 13.75
a0

a


2.0433 5.71411
解之得： a0= 0.562303, a= 0.722282,于是b＝ 1.754709.
经验公式为y= 1.754709 e 0.722282 x， y= f (1.4) 0.68335
法方程为

m
m


i 1
xi
m
i1
m
i1
xi xi 2

a b


m
yi
i 1 m
xi yi
i 1

例：炼钢是个氧化脱碳的过程，钢水含碳量的多少直 接影响冶炼时间的长短，下表给出某厂平炉生产的记录。 xi表示熔毕碳的含量，yi表示冶炼时间 ，已知y=a+bx。
200
400
600
800 1000 1200
-0.04
-0.05
-0.06
例题 下表是2004年8月11日男子赛跑奥运会纪录
x 100 200 400 800 1500 y 9.84 19.32 43.49 102.58 212.07
试建立当今成年男子赛跑所需时间与距离之间的 函数关系，并测算男子1000米赛跑奥运会纪录大 概为多少？
xi yi 30855 15498 25500 15375 20868 108096
法方程：5a+702b=758 ， 702a+99864b=108096 解之得：a= 28.61878453038674,
b=1.283609576427256 y＝28.61878453038674 + 1.283609576427256x
s(x)= a0+ a1 x +… + an xn
为一个多项式。
m
m
此时 (k , j ) (xi )xk x j (xi )xk j
法方程为


m
i
i1


m
i x

i 1

m


i 1
i
x
n
i 1
m
i x
i 1
m
2
i x
i 1
得
i 1
i 1
这一问题称为最小二乘问题。其中 (x)称为权函数。
即要求：
m
n
I (a0 , a1,, an ) (xi )[ akk (xi ) f (xi )]2
最小。
i 1
k 0
当取权函数 (x)1 时
有
m
m
I (a0 , a1,, an ) i2 [s(xi ) f (xi )]2
3.5
24
10.0
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
将数据描绘到坐标纸上
9
8
7
6
5
4
3 2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
这种逼近方法要求： 1)不要求逼近函数严格过已知的数据点；
2)但要求逼近函数在某种意义下尽可能靠近已 知的数据点；
曲线拟合的最小二乘法
定义 f(x)为定义在区间[a,b]上的函数，已知f(x)的一组 对应数据 (xi ， f(xi)) ，(i=1,2,……,m),
＝span{0， 1，……， n}为某一函数类，
在 中求一个函数
s(x)=a0 0 + a1 1 + … +ann
m
m
使
i2 (xi )[s(xi ) f (xi )]2

m
i xn1
i 1
i 1Βιβλιοθήκη Baidu


m
i xn
i 1
m
i xn1
i 1

m
i x2n
i 1


a0

a1

an



(0 ,

(1
,

(n ,
f f
f
)
)


)
1.线性拟合
已知f(x)的一组对应数据 (xi ， f(xi)) ，(i=1,2,……,m), 取＝span{1， x}，求函数: y=a+bx拟合曲线f(x)。
f(130)138.25.


2.抛物拟合
已知f(x)的一组对应数据 (xi ， f(xi)) ，(i=1,2,……,m), 取＝span{1， x ， x2}，求函数: y=a+bx +cx2拟合曲 线f(x)。
法方程为

m
m


i 1 m
xi

i1
xi 2
拟 合
-0.01
曲 -0.02 线
为 -0.03
-0.04
-0.05
-0.06
200
400
600
800 1000 1200
作三次拟合得 0.0000298491 0.0000834848 x
1.71732 10 8 x2 9.0525 10 12 x3
拟
合 曲
-0.01
线 -0.02 为
-0.03
i 1
i 1
由于它关于系数{a0， a1 ，… ， an}最小，因此有：
I 0, j 0,, n a j
I
a j

m
n
2(xi )[ akk (xi )
i 1
k 0
f (xi )]2 j (xi ) 0
m
记
(xi )k (xi ) j (xi ) (k , j )
曲线拟合的最小二乘法问 题
况且，有时根据前人的经验或数据的特点可 以分析出经验公式的大致形式，只是其中有些参 数需要依据确定，不便使用插值逼近。这就需要新 的逼近方法。
引例、某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的 强度与相应拉伸倍数的记录。
数据表格
编号 拉伸倍数 强度
xi 2
0
xi Yi
0
2
0.5 1
0 0.25
0
3
4
5
6
Sum
1
1.5
2
2.5
7.5
0.9
0.6
0.4
0.3
-0.10536 -0.51083 -0.91629 -1.20397 -2.0433
1
2.25
4
6.25 13.75
-0.10536 -0.76624 -1.83258 -3.00993 -5.71411
x 0 125 250 375 500 612 750 870 1000 1125 1250 y 0 0.01 0.02 0.028 0.036 0.043 0.049 0.054 0.057 0.059 0.06
散点图
-0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06
)


a1



(1
,
f
)



(n ,0 )
(n ,1)

(
n
,n
)
an

(n , f )
由{0 ,1,n} 的线性无关性，知道该方程存在唯一解
多项式拟合 当取0 ＝1， 1 ＝x ，……， n ＝xn时,
几种常见曲线拟合的线性化
拟合函数类型常常是根据经验或理论推导的结果来选 择的。当无法分析拟合函数的类型时，可根据已知数据的 散点图的分布情况和特点选择适当的拟合曲线类型。 下面给出几种常用曲线的图形，并可通过适当变换将其化 为较简单的拟合：
1.双曲线： (a>0)
1 ab
y
x
2. 指数函数： y aebx