数学必修二空间几何体高考真题(含详细答案)

空间几何体
1.【2012高考新课标文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18
【答案】B
2.【2012高考新课标文8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为
（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B
[
3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，122CC =，E 为1CC 的中点，则直线1
AC 与平面BED 的距离为
（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）1
【答案】D
4.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）
8.【答案】B.
5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
}
A．
11
2
.5 C D.
9
2
【答案】D
6.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能
．．．是
【答案】D
7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A. 72π
B. 48π
C. 30π
D. 24π
【答案】C
8.【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是
A 球
B 三棱锥
C 正方体
D 圆柱
&
;
图1
正视图
俯视图
侧视图
55
6
3
—5
6
3
【答案】D.
9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值
范围是 （A ）(0,
2) （B ）(0,3) （C ）(1,2)（D ）(1,3)
【答案】A
10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是
A.1cm 3
B.2cm 3
C.3cm 3
D.6cm 3 【答案】C
\
11.【2012高考浙江文5】 设l 是直线，a ，β是两个不同的平面
A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥β
B. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β
C. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥β
D. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β
【答案】B
12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
，
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C
13.【2012高考四川文10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点
A ，过
圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60
BOP
∠=，则
A 、P 两点间的球面距离为（ ）
（1）
2
arccos
4
R B、
4
R
π
C、
3
arccos
3
R D、
3
R
π
【答案】A
14.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
>
（A）28+65B）30+65C）56+125（D）60+125
【答案】B
二、填空题
15.【2012高考四川文14】如图，在正方体1111
ABCD A B C D
-中，M、N分别是CD、
1
CC的中点，则异面直线
1
A M 与DN所成的角的大小是____________。

N
M
B1
A1
C1
D1
B
D C
【答案】
2
π
;
16.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为
【答案】π6
17.【2012高考湖北文15】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.
【答案】12π
18.【2012高考辽宁文13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.
￥
【答案】12+π
【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。

本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。

19.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D
-的体积为 ▲ cm 3．
【答案】6。

【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

20.【2012高考辽宁文16】已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为3正方形。

若6,则△OAB 的面积为______________.
【答案】3
3
|
21.【2012高考天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体 积
3m .
【答案】30
22.【2012高考安徽文12】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于______。

【答案】56
/
23.【2012高考山东文13】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积
为＿＿＿＿＿.
【答案】
6
1 24.【2012高考安徽文15】若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，AD BC =，则______(写
出所有正确结论编号)。

①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体
ABCD 每个面的面积相等
③从四面体
ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。

而小于180。

—
④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体
ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
【答案】②④⑤
25.【2012高考全国文16】已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11BB CC 、的中点，
那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.
【答案】
5
3
三、解答题
26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，四棱锥
P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面
ABCD ，
22AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。

|
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）设二面角A PB C --为90
，求PD 与平面PBC 所成角的大小。

【答案】
E
D
A
P
27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）
如图，长方体
1
111D C B A ABCD 中，底面
1
111D C B A 是正方形，
O
是
BD
的中点，
E
是
棱
1AA 上任意一
点。

'
（Ⅰ）证明：BD
1EC ⊥ ；
（Ⅱ）如果
AB =2，AE =2，1EC OE ⊥,，求1AA 的长。

【答案】
【解析】
28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC
-中，90
APB
∠=，60
PAB
∠=，AB BC CA
==，点P在平面ABC内的射影O 在AB上。

A B
C
P
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；
{
（Ⅱ）求二面角B AP C
--的大小。

命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.
【答案】
【解析】
29.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱
111ABC A B C -中，4AB =，
3AC BC ==，D 为AB 的中点。

（Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离；（Ⅱ）若11AB AC ⊥，求二面角11
A CD
B --的平面角的余弦值。

【
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
1
3
【解析】（Ⅰ）如答（20）图1，
因AC=BC ， D 为AB 的中点，故CD ⊥AB 。

又直三棱柱中，1CC ⊥ 面ABC ，故1CD CC ⊥ ，所以异面直线1CC 和AB 的距离为22CD=5BC BD -=
（Ⅱ）：由1CD ,CD ,AB BB ⊥⊥故CD ⊥ 面11A ABB ，从而1CD DA ⊥ ，1CD DB ⊥故11A DB ∠ 为所求的二
面角11A CD B --的平面角。

因
1A D 是1
AC 在面11A ABB 上的射影，又已知11C,AB A ⊥ 由三垂线定理的逆定理得11D,AB A ⊥从而11A AB ∠，1A DA ∠都与1B AB
∠互余，因此
111A AB A DA
∠=∠，所以
1Rt A AD
≌
11Rt B A A ，因此
111
1
AA A B AD AA =得
21118AA AD A B =⋅=
从而
221111=23,23A D AA AD B D A D +===
所以在
11A DB 中，由余弦定理得222111111111
cos 23
A D D
B A B A DB A D DB +-=
=⋅ 【2012高考上海文19】本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝
2
π
，2AB =，23AC =，2PA =，
求：
（1）三棱锥P ABC -
的体积
（2）异面直线BC 与
AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
【答案】
\
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．
30.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，3，PD=CD=2.
（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

*
【答案】
31.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
]
>
;
B 1
C B
A
D
C 1
A 1
【答案】
32.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）
如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；
》
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.
【答案】
【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以
又
,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ，
而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.
（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，
所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO
∠30
=.
%
由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥.
在Rt
POD 中，由DPO ∠30
=，得PD=2OD.
因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD 的高为
111
(42)3,222
AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1
(42)39.2
S =⨯+⨯=
在等腰三角形ＡＯＤ中，2
,22,2
OD
AD =
= 所以22242, 4.PD
OD PA PD AD ===-=
故四棱锥P ABCD -
的体积为11
941233
V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.。

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由
1
3
V S PA =⨯⨯算得体积.
33.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)
如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；
(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .
—
【答案】(19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知 ，CO BD ⊥，
又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE. 所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线，
=.
所以BE DE
MN DN，
(II)取AB中点N，连接,
∵M是AE的中点，∴MN∥BE，
⊥.
∵△ABD是等边三角形，∴DN AB
⊥，
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC AB
*
所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.
34.【2012高考湖北文19】（本小题满分12分）
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2。

A．证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；
B．现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为元，需加工处理费多少元
【答案】
，
【解析】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查. 35.【2012高考广东文18】本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD
上的点且1
2
DF
AB =
，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若1PH
=，2AD =，1FC =，求三棱
锥E BCF -的体积；
?
（3）证明：EF
⊥平面PAB .
【解析】（1）证明：因为
AB ⊥平面PAD ， 所以PH
AB ⊥。

因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，
所以PH AD ⊥。

因为
AB AD A =，
…
所以PH
⊥平面ABCD 。

（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。

因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH 。

因为PH
⊥平面ABCD ，
所以EG
⊥平面ABCD 。

则11
22
EG PH ==，
111
332
E BC
F BCF V S E
G FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=
2。

】
（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。

因为E 是PB 的中点，
所以1
//2ME AB =。

因为1
//2DF AB =，
所以//ME
DF =
，
所以四边形MEDF 是平行四边形，
EF MD。

所以//
=，
因为PD AD
'
⊥。

所以MD PA
因为AB⊥平面PAD，
⊥。

所以MD AB
=，
因为PA AB A
所以MD⊥平面PAB，
所以EF⊥平面PAB。

36.【2102高考北京文16】（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。

^
(I)求证：DE∥平面A1CB；
(II)求证：A1F⊥BE；
(III)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ说明理由。

【答案】
37.【2012高考浙江文20】（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，2。

AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。

（1）证明：（i）EF∥A1D1；
（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
<
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。

【答案】
【解析】（1）（i ）因为
1111
//
C B A D，
11
C B⊄平面ADD1 A1，所以
11
//
C B平面ADD1 A1.
又因为平面
11
B C EF平面ADD1 A1=EF，所以
11
//
C B EF.所以
11
//
A D EF.
（ii）因为
11111
BB A B C D
⊥，所以
111
BB B C
⊥，
又因为
111
BB B A
⊥，所以
1111
B C ABB A
⊥，
在矩形
11
ABB A中，F是AA的中点，即
111
2
tan tan
2
A B F AA B
∠=∠=.即
?
111
A B F AA B
∠=∠，故
11
BA B F
⊥.
所以
1
BA⊥平面
11
B C EF.
(2) 设1
BA与
1
B F交点为H，连结
1
C H.
由（1）知
11
B C EF，所以
1
BC H
∠是
1
BC与平面
11
B C EF所成的角. 在矩形
11
ABB A中，2
AB=，
1
2
AA=，得4
6
BH=，在直角
1
BHC中，
1
23
BC=，
4
6
BH=，得
1
1
30
sin
15
BH
BC H
BC
∠==，所以BC与平面
11
B C EF所成角的正弦值是
30
15
.
38.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）
直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，CAB
∠=
2
π
@
（Ⅰ）证明
11
B A
C B
⊥;
（Ⅱ）已知AB=2，BC=5，求三棱锥11
C A
AB
-的体积
【答案】
39.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) 如图，直三棱柱
///ABC A B C -，90
BAC ∠=，
2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面
//A ACC ;
~
(Ⅱ)求三棱锥
/A MNC -的体积。

（椎体体积公式V=
1
3
Sh,其中S 为地面面积，h 为高）
【答案】
【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。

第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。

40.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点
（点D 不同于点C ），且
AD DE F ⊥，为11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线
1//A F 平面ADE ．
【答案】证明：（1）∵
111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111
BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

（2）∵
1111A B A C =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵
111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1
111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

又∵
AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE
【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】（1）要证平面ADE ⊥平面11BCC B ，只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可。

它可由已知111
ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥
证得。

（2）要证直线
1//A F 平面ADE ，只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可。

41.【2102高考福建文19】（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，M 为棱DD 1上的一点。

（1） 求三棱锥A-MCC 1的体积；
（2） 当A 1M+MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC 。

42.【2012高考江西文19】（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.
（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；
（2）求多面体CDEFG的体积。

【答案】。