磁场的高斯定理

磁场的高斯定理

摘要：首先推导出磁场的高斯定理，再由磁场的高斯定理和安培环路定理推导磁场在两种不同媒质分界面上必须满足的边界条件，最后由静电场与磁场的高斯定理比较引出关于磁单极子的问题。 1. 磁场的高斯定理

在静电场中，高斯定理有0

1

i

S

E S q ε

⋅=

∑⎰ ，

所以静电场是有源场。那么在磁场中，S

B S ⋅⎰

又得到什么呢？

首先看一下磁感应强度B

。B

的方向为磁力线的切线方向，大

小为垂直B

的单位面积上穿过的磁力线的条数，即dN B dS ⊥

=。

而通过面元的磁力线条数即为该面元的磁通量，于是

m

d B d S

Φ=⋅ 。对于有限曲面m

B d S

Φ=⋅⎰ ，对于闭合曲面m

S

B d S

Φ=

⋅⎰

。

对于某一曲面，规定磁力线穿出为正，m Φ＞０；穿入为负，m Φ＜０。

而磁力线都是闭合的曲线，对于某一闭合的曲面，穿入到底总是等于穿出的，也就是说0m S

B d S Φ=⋅=⎰

，这就是磁场的高斯定理，也

叫磁通连续性定理。可以看出磁场是一个无源场。 2. 磁场的边界条件 磁场的高斯定理（0S

B d S ⋅=⎰ ）与安培环路定理（l

H d l I

⋅=⎰

）表

征了恒定磁场的基本性质。不论媒质分布情况如何，凡是恒定磁场，都具备这两个特性，它们称为恒定磁场的基本方程。在两种不同媒质分界面

上，围绕任一点Ｐ取一矩形回路，如右图，令20

l ∆→，根据l

H d l I

⋅=⎰

，

如果分界面上存在面自由电流，则有

11211t t H l H l K l ∆-∆=∆

即

12t t H H K

-=

根据B H

μ=

，还可以写成

121

2

t

t

B B K

μμ-

=

电流线密度Ｋ的正负要看它的方向与沿1t H 绕行方向是否符合右

手螺旋关系而定。写成矢量形式则为12()n H H e K -⨯=

。其中n e 为分界

面上从媒质１指向媒质２的法线方向单位矢量。

如果分界面上无电流，则

12t t H H =

说明在这种情况下磁场强度的切线分量是连续的，但磁感应强度切线

分量是不连续的。

若在分界面上包围某点Ｐ作一扁小圆柱体，如右图，且令0l ∆→，则根据0S

B d S ⋅=⎰

，可以得到

12n n B B =

还可以写成

1122n n H H μμ=

写成矢量形式则为12()0

n B B e -⋅=

。可见，磁感应强度的法线方向分量

是连续的，而磁场强度的法线方向分量则不连续。

根据12t t H H =和12n n B B =，并考虑到

B H μ=

的关系，可以得出如下

结论：如果两媒质均为各向同性，这样两图中有11αβ=,2

2αβ=则在它

们的分界面上（假设无电流）B

线和H

线的折射规律为

112

2

tan tan αμαμ=

上式表明，磁场从第一种媒质进入到第二种介质时，它的方向要反生折射。 3. 磁单极子

带电体周围有电场，磁体周围也有磁场；同种电荷相斥，同名磁极也相斥；异种电荷相吸引，异名磁极也吸引；变化的磁场也能激发电场；用摩擦的方法能使物体带上电，用磁铁的一极在一根铁棒上沿同一方向摩擦也能使铁棒磁化——电和磁有如此多相似之处，像是一对相生相成、形影不离的孪生兄弟。但是为什么静电场高斯定理等号后为

1

i

q ε

∑，

而磁场高斯定理等号后为0？那是因为自然界存在单独的正负电荷，却没有独立存在的磁极，至少现在没有找到。i q ∑为闭合曲面内的净电荷量，但磁极总是成对出现的，如果定义m q 为磁荷，那么闭合曲面内的m q ∑一定为0。那么到底有没有单独存在的磁极，即磁单极子呢？

1931年英国物理学家保罗·狄拉克曾从理论上预言，可能存在磁单极子，并且磁单极子的磁荷同电荷一样也是量子化的。后来很多物理学家开始寻找磁单极子的工作，通过种种方法寻找包括使用粒子加速器人工制造磁单极子均无所获。1975年，美国科学家利用高空气球探测大气层外的宇宙辐射是偶尔发现了一条轨迹，当时科学家分析这便是磁单极子留下的轨迹。1982年2月14日，在美国斯坦福大学物理系做研究的布拉斯·卡布雷拉宣称利用超导线圈发现了磁单极

子，但时候重复实验时却未得到先前探测到的磁单极子，最终未能证实。内森·塞伯格和爱德华·威滕两位美国物理学家于1994年首次证明出磁单极子存在理论上的可能性。

如果实验上找到了磁单极子，那么不仅磁场的高斯定理，以至于整个电磁理论都将作重大修改，而且将深刻影响有关基本粒子的构造、相互作用的“大一统理论”、宇宙演变等重大理论问题。

结论：

磁场的高斯定理表明磁场是一个无源场，应用磁场的高斯定理和安培环路定理可以求得磁场的边界条件，但这都是建立在未找到磁单极子的基础上，如果证实存在磁单极子，那么这些理论都将有重大修改。