同济大学高等数学课件D122可分离
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高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程
例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
同济大学第五版高等数学下D12_4一阶线性1 2
版高等
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
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同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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同济大学第
五版高等数 学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
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五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
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同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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同济大学第
五版高等数 学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
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五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
高等数学同济件 微分方程总结PPT课件
2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
第14页/共21页
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
第7页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
第9页/共21页
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
第10页/共21页
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
第15页/共21页
故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
第8页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
《同济版高数》课件
数学是一门美丽而强大的学 科，它存在于生活的方方面 面，深深影响着我们的世界。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
最新同济大学《高等数学(下册)》修订版PPT课件
来度量, 对于两个轴之间的夹角则看作是两向量的夹角.
14
第五 章 向量与空间解析几何
1、向量的投影及投影定理
通过空间一点 A 作 u 轴的垂直平面（见图 5-9），该平面与u 轴的交点 A 称
为点 A 在 u 轴上投影.
A
A＇
u
图5-9
15
第五 章 向量与空间解析几何
1、向量的投影及投影定理
C(x,0,z)
z
B(0,y,z)
r
M
O
x
y
Q(0,y,0)
P(x,0,0)
A(x,y,0)
图5-6
9
一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
设 M1 x1, y1, z1 、 M2 x2 , y2 , z2 为空间两个点（见图 5-7），通过M1 、 M 2 各作
三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M1 、 M 2 为对角线的长
在 zOx 平面上： y 0 ，故对应点的坐标为C(x, 0, z) .
在 x 轴上： y z 0 ，点的坐标为 P(x, 0, 0) ；
R(0,0,z)
在 y 轴上： z x 0 ，点的坐标为Q(0, y, 0) ；
在 z 轴上： x y 0 ，点的坐标为 R(0, 0, z) .
如果向量 AB 的始点 A 与终点 B 在 u 轴上的投影分别为 A 、B（ 见图 5-10），
则 u 轴 上 的 有 向 线 段 AB 的 值 A B 称 为 向 量 AB 在 u 轴 上 的 投 影 ， 记
作 Pr ju AB AB ， u 轴称为投影轴.
注 值 AB 是指其绝对值等于 AB 的
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
同济大学第七版高等数学第七章可分离
例2. 解初值问题
y(0) 1
解: 分离变量得 d y
y
1
x x2
d
x
两边积分得
即 y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 1 u sin2 u 即
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M ( 0)
M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M
t ln C, 即 M C e t
M
利用初始条件,得 C M0
M0
故所求铀的变化规律为 M M0 e t . o
t
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思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量
y 1 y2 dy
x 1 x2 dx
函数, G( y) F( x) C 为微分方程的解.
2021/3/11
2
例1.求微分方程
的通解.
解:分离变量得 d y 3x2d x y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
即
令C
eC1
ln y x3 ln C
( C为任意常数 )
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x yd x ( x2 1) d y 0
第二节
可分离变量微分方程
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可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
dy
4
2x2 y5
y
y(0) 1
解: 分离变量得 d y
y
1
x x2
d
x
两边积分得
即 y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 1 u sin2 u 即
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M ( 0)
M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M
t ln C, 即 M C e t
M
利用初始条件,得 C M0
M0
故所求铀的变化规律为 M M0 e t . o
t
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思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量
y 1 y2 dy
x 1 x2 dx
函数, G( y) F( x) C 为微分方程的解.
2021/3/11
2
例1.求微分方程
的通解.
解:分离变量得 d y 3x2d x y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
即
令C
eC1
ln y x3 ln C
( C为任意常数 )
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x yd x ( x2 1) d y 0
第二节
可分离变量微分方程
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可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
dy
4
2x2 y5
y
同济大学《高等数学D》英文电子教案课件pptfile_5623579213949
has farther to go. Therefore, as there are an infinite number of points A must reach where T has already been, he never overtake T.
Some Examples for Limit
f2 ( x) f1(a) f2 (a)
a
One Side Limit (An Informal View)
If the values of f (x) can be made as close as we like to L by taking values of x sufficiently close to a (but greater than a), written as lim f (x) L
Advanced Mathematics D
Chapter Two Limits & Continuity
Enter Calculus World
We have known “Function” This is the tool for us enter the Calculus
World The first adventure is “Limit” Limits is the soul of Calculus as well as
“割之弥细，所失弥小. 割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无 所失矣”。
Calculation of a Circle Area
N=4 N=6 N=8 N=10 N=12
Inside Polygo n Area
2 2.598 2.828 2.939 3
Outsid e Polygo n Area
Some Examples for Limit
f2 ( x) f1(a) f2 (a)
a
One Side Limit (An Informal View)
If the values of f (x) can be made as close as we like to L by taking values of x sufficiently close to a (but greater than a), written as lim f (x) L
Advanced Mathematics D
Chapter Two Limits & Continuity
Enter Calculus World
We have known “Function” This is the tool for us enter the Calculus
World The first adventure is “Limit” Limits is the soul of Calculus as well as
“割之弥细，所失弥小. 割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无 所失矣”。
Calculation of a Circle Area
N=4 N=6 N=8 N=10 N=12
Inside Polygo n Area
2 2.598 2.828 2.939 3
Outsid e Polygo n Area
最新同济大学第五版高等数学下课件D122可分离精品课件
对应下降体积
dVr2dh
r10 2(0 10 h )0 220 h0 h2
d V (2h 0 h 2 0 )d h
h
因此得微分方程定解问题:
hr
100cm
o hdh
将方程分离变量: d t
13
(2h 0 2 h 0 2 )d h
0 .62 2 g
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两端积分, 得
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
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例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 已知曲线积分 L F ( x ,y ) [ y sx i d x n cx o d y ]s
与路径无关, 其中 F C 1 ,F (0 ,1 ) 0 ,求由 F(x,y)0
确定的隐函数 yf(x).
解: 因积分与路径无关 , 故有
[ F (x ,y )cx o ] s[F (x ,y )y sx i]n
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高数同济六版课件D122数项级数及审敛法
*
令 因此 收敛, 绝对收敛.
四、绝对收敛级数的性质
高数同济六版
其和分别为
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
(P263 定理9)
(证明见 P263～P266)
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
则对所有乘积
按任意顺序排列得到的级数
也绝对收敛,
设级数
与
都绝对收敛,
发散 .
发散 ,
*
2) 若
高数同济六版
因为当
故
考虑强级数
的部分和
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
时,
*
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切
证明级数
高数同济六版
发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2.
*
定理3. (比较审敛法的极限形式)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
*
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
高数同济六版
例如 , p – 级数 说明 : 但 级数收敛 ; 级数发散 .
*
例6. 证明级数
高数同济六版
收敛于S ,
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
由定理5可知该级数收敛 .
01
3 (1), (2) ; (1), (3), (5), (6) ; (2), (3), (5)
02
作业
备用题
高数同济六版
判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数 发散 , 故原级数发散 .
令 因此 收敛, 绝对收敛.
四、绝对收敛级数的性质
高数同济六版
其和分别为
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
(P263 定理9)
(证明见 P263～P266)
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
则对所有乘积
按任意顺序排列得到的级数
也绝对收敛,
设级数
与
都绝对收敛,
发散 .
发散 ,
*
2) 若
高数同济六版
因为当
故
考虑强级数
的部分和
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
时,
*
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切
证明级数
高数同济六版
发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2.
*
定理3. (比较审敛法的极限形式)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
*
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
高数同济六版
例如 , p – 级数 说明 : 但 级数收敛 ; 级数发散 .
*
例6. 证明级数
高数同济六版
收敛于S ,
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
由定理5可知该级数收敛 .
01
3 (1), (2) ; (1), (3), (5), (6) ; (2), (3), (5)
02
作业
备用题
高数同济六版
判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数 发散 , 故原级数发散 .
同济六版七版高等数学课件
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间
的函数关系式.
解
单三角脉冲信号的电压
例2 解
故
三、函数的特性
1．函数的有界性:
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
-M
y M
o
X
x 无界
-M
2．函数的单调性:
y
o
x
y
o
x
3．函数的奇偶性:
y
-x o x
x
偶函数
y
-x
o
xx
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数 正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
定义:
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
有限集 无限集
数集分类: N----自然数集 Q----有理数集
数集间的关系:
Z----整数集 R----实数集
同济大学高等数学ppt第一章
同济大学高等数 学ppt第一章
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
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hr
100cm
o hdh
即
dV0 .62 2 ghdt
设在
内水面高度由 h 降到 h dh(dh0 ),
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9
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对应下降体积
dVr2dh
r10 20 (10 h 0 )2 20h 0h2
d V (2h 0 h 0 2)d h
h
因此得微分方程定解问题:
hr
100cm
例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 uxy1,则
故有
1usi2n u
即
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ( ) x C ( C 为任意常数 )
编辑ppt
5
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练习:
解法 1 分离变量
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
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13
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o hdh
将方程分离变量:
dt
13
(2h 020 h2)d h
0 .62 2g
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10
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两端积分, 得
h
t
0.62
2g
1
3
(20h0 2h2)dh
hr
100cm
(
400h
3 2
2
5
h2
)
C
o hdh
0.62 2g 3
5
利用初始条件, 得 C 14105 h t0 100
v
mg k
k 编辑ppt
8
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例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 h
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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3
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xydx(x21)dy0 例2. 解初值问题 y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
即
y x21C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x211
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4
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第二节
第十二章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1(x)
f2(y)
M 1 ( x ) M 2 (y )d x N 1 ( x )N 2 (y )d y 0
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
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1
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分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
dMM(0)
解: 根据题意, 有 dt Mt0M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 lM n t lC n ,即 MCet
M
利用初始条件, 得 CM0
M0
故所求铀的变化规律为 MM 0et. o
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t
7
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量 1yy2dy1xx2dx
(2) 方程变形为 y 2co xssiyn lntayn2sixnC 2
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14
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作业
P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6
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15
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 已知曲线积分 L F (x ,y )[y sx id x n cx o d y ]s
与路径无关, 其中 F C 1,F(0,1)0,求由 F(x,y)0
例如, 方程 (xy)y0有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
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12
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
0.622g 15
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
t
(7 15 0 13h 0 3 2 3 h 5 2)
4 .65 2g
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11
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g (( x ) ( ) x ) d x f( x ) d x
两边积分, 得
f(x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
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2
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 lnyx3C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定同解 变形, 因此可能增、 减解.
即 令CeC1
lnyx3lnC
( C 为任意常数 )
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m d v mg kv dt
初始条件为 vt0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
(此 m g 处 k v 0 )
利用初始条件, 得 C1ln(mg)
t 足够大时
代入上式后化简, 得特解kvmg(1em k t )
解法 2 令 uxy,
故有 积分
u1eu
(1eu)eu
1eu
du
uln (1eu)xC
所求通解: ln (1exy)yC( C 为任意常数 )
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6
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.