同济大学高等数学课件D122可分离
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常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
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第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 已知曲线积分 L F (x ,y )[y sx id x n cx o d y ]s
与路径无关, 其中 F C 1,F(0,1)0,求由 F(x,y)0
dMM(0)
解: 根据题意, 有 dt Mt0M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 lM n t lC n ,即 MCet
M
利用初始条件, 得 CM0
M0
故所求铀的变化规律为 MM 0et. o
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t
7
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
o hdh
将方程分离变量:
dt
13
(2h 020 h2)d h
0 .62 2g
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10
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两端积分, 得
h
t
0.62
2g
1
3
(20h0 2h2)dh
hr
100cm
(
400h
3 2
2
5
h2
)
C
o hdh
0.62 2g 3
5
利用初始条件, 得 C 14105 h t0 100
0.622g 15
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
t
(7 15 0 13h 0 3 2 3 h 5 2)
4 .65 2g
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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3
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xydx(x21)dy0 例2. 解初值问题 y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
即
y x21C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x211
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4
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称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
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2
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 lnyx3C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即 令CeC1
lnyx3lnC
( C 为任意常数 )
v
mg k
k 编辑ppt
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例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 h
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量 1yy2dy1xx2dx
(2) 方程变形为 y 2co xssiyn lntayn2sixnC 2
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作业
P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6
hr
100cm
o hdh
即
dV0 .62 2 ghdt
设在
内水面高度由 h 降到 h dh(dh0 ),
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对应下降体积
dVr2dh
r10 20 (10 h 0 )2 20h 0h2
d V (2h 0 h 0 2)d h
h
因此得微分方程定解问题:
hr
100cm
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m d v mg kv dt
初始条件为 vt0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
(此 m g 处 k v 0 )
利用初始条件, 得 C1ln(mg)
t 足够大时
代入上式后化简, 得特解kvmg(1em k t )
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g (( x ) ( ) x ) d x f( x ) d x
两边积分, 得
f(x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
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说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
第二节
第十二章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1(x)
f2(y)
M 1 ( x ) M 2 (y )d x N 1 ( x )N 2 (y )d y 0
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
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1
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分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
解法 2 令 uxy,
故有 积分
u1eu
(1eu)eu
1eu
du
uln (1eu)xC
所求通解: ln (1exy)yC( C 为任意常数 )
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6
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
例如, 方程 (xy)y0有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 uxy1,则
故有
1usi2n u
即
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ( ) x C ( C 为任意常数 )
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练习:
解法 1 分离变量
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
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备用题 已知曲线积分 L F (x ,y )[y sx id x n cx o d y ]s
与路径无关, 其中 F C 1,F(0,1)0,求由 F(x,y)0
dMM(0)
解: 根据题意, 有 dt Mt0M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 lM n t lC n ,即 MCet
M
利用初始条件, 得 CM0
M0
故所求铀的变化规律为 MM 0et. o
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t
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
o hdh
将方程分离变量:
dt
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(2h 020 h2)d h
0 .62 2g
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两端积分, 得
h
t
0.62
2g
1
3
(20h0 2h2)dh
hr
100cm
(
400h
3 2
2
5
h2
)
C
o hdh
0.62 2g 3
5
利用初始条件, 得 C 14105 h t0 100
0.622g 15
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
t
(7 15 0 13h 0 3 2 3 h 5 2)
4 .65 2g
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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xydx(x21)dy0 例2. 解初值问题 y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
即
y x21C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x211
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称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
编辑ppt
2
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 lnyx3C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即 令CeC1
lnyx3lnC
( C 为任意常数 )
v
mg k
k 编辑ppt
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例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 h
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量 1yy2dy1xx2dx
(2) 方程变形为 y 2co xssiyn lntayn2sixnC 2
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作业
P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6
hr
100cm
o hdh
即
dV0 .62 2 ghdt
设在
内水面高度由 h 降到 h dh(dh0 ),
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对应下降体积
dVr2dh
r10 20 (10 h 0 )2 20h 0h2
d V (2h 0 h 0 2)d h
h
因此得微分方程定解问题:
hr
100cm
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m d v mg kv dt
初始条件为 vt0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
(此 m g 处 k v 0 )
利用初始条件, 得 C1ln(mg)
t 足够大时
代入上式后化简, 得特解kvmg(1em k t )
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g (( x ) ( ) x ) d x f( x ) d x
两边积分, 得
f(x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
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说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
第二节
第十二章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1(x)
f2(y)
M 1 ( x ) M 2 (y )d x N 1 ( x )N 2 (y )d y 0
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
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分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
解法 2 令 uxy,
故有 积分
u1eu
(1eu)eu
1eu
du
uln (1eu)xC
所求通解: ln (1exy)yC( C 为任意常数 )
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
例如, 方程 (xy)y0有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 uxy1,则
故有
1usi2n u
即
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ( ) x C ( C 为任意常数 )
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练习:
解法 1 分离变量
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )