1998年投资的收益和风险[1]精要.

第一篇 投资的收益和风险
1998年A 题 投资的收益和风险
市场上有n 种资产（如股票、债券、…）(1,2,
,)i s i n 供投资者选择，某公司有
数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买i s 的平均收益率为i r ，并预测出购买i s 的风险损失率为i q 。

考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的i s 中最大的一个风险来度量。

购买i s 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（不买当然无须付费）。

另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。

（0r =5%）。

已知n = 4时的相关数据如下：
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

组合投资方案的决策方法*
摘要：本文对组合投资方案决策问题提出了有效的算法。

组合投资问题可以归结在一定的约束条件下使得平均净收益最大和总体风险最小的双重目标的非线性规划模型。

通常，投资风险和收益之间存在正相关关系，这就决定了多重目标问题没有最优解。

由于投资者只能在收益和风险之间进行权衡，而我们的权衡准则是选定总体风险的一个上界值，来确定净收益的最大值。

为了简化算法，我们在合理分析的基础上采用了将实际分段费用率函数近似以p
i
作为替代，故使得非线性规划问题转化为线性规划问题。

所得的组合投资方案选择模型在资产数目不太大的情况下，可以用手工操作的办法顺利求解。

若资产数目较大时，手工算法费时很大，则可用编程的方法加以解决。

本模型最终给出资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例向量的
关系供投资者决策，并为投资者提供了一些实用的建议，同时还讨论了模型的优缺点。

关健词：组合投资；线性规划；决策
1.1 问题的重述
1.1.1 投资、收益与风险
投资是金融和经济的名词。

它涉及财产的累积以求在未来得到收益。

技术上来说，这个字意味著“将某物品放入其他地方的行动”。

从金融学角度来讲，相较于投机而言，投资的时间段更长一些，更趋向是为了在未来一定时间段内获得某种比较持续稳定的现金流收益，是未来收益的累积。

投资不仅与收益相关，更与风险相关，收益越大则风险也越大。

俗话说“鸡蛋不要放在一个篮子里”，如何合理投资以实现是资金收益最大化是投资者关心的问题。

1.1.2 投资的相关条件
某公司准备用资金M作为一个时期内对市场上n种资产（如股票、债券等）的投
资。

经评估，该时期内购买S
i 的平均收益率为r
i
，风险损失率为q
i
，所付交易费率为p
i。

当购买额不超过给定值u
i 时，交易费按购买u
i
计算。

同期存款利率是5%，既无交易费
又无风险。

*本文获1998年全国二等奖。

队员：方红生，邱大鹏，齐丽群，指导教师：安徽财贸学院数学建摸教练组。

1.1.3 要求的具体问题
⑴问题1、现已知4种资产的相关数据（见表1），要求设计一种投资组合方案，用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小；
⑵问题2、在问题1的基础上就一般情况进行讨论，并用表2中的15种资产的数据进行计算。

1.2 问题的分析
投资是指经济主体为在未来获取收益而投放资金于一定对象的经济行为。

投资常可获得较银行存款利息高的收益，但同时也必须承担一定的风险。

公司将一笔数额为M 的资金进行投资时，必然希望收益尽可能大而风险尽可能小，组合投资便是达到这一目的一种的有效方法。

它是将资金同时投资于多种资产的投资方法，其目的是通过分散投资来降低投资风险。

当参加组合的各种资产选定时，资产组合的收益和风险通常由投资比例向量确定。

本题实际上就是要求建立一个确定投资比例向量模型，使资产组合的净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

1.3 模型的假设
⑴在投资期内银行利率不会改变；
⑵风险损失率等于同期无风险收益率与预期收益率波动下限的差值；
⑶题目要求的净收益是指净收益率的期望值，即平均净收益率；
S中最大的一个风险来度量”可理解为“资产
⑷题目中的“总体风险可用所投资的
i
S对资产组合的风险损失率贡献值中的最大值来度量”；
组合的风险采用所投资的
i
⑸公司投资决策者是风险厌恶型投资者；
⑹在控制资产组合风险的前提下，使平均净收益率最大是该公司所期望的；
⑺给出资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例向量的关系是公
司投资决策者所期望的；
⑻将银行存款也当作一种资产；
⑼题目提供的所有数据是确切可靠的；
⑽模型的适用对象尽可能是大投资者；
⑾投资者均可理智的确定自己的风险承受能力。

1.4 定义与符号说明
1.5 模型的建立与求解
1.5.1 含有四种风险资产和银行存款的资产组合选择模型
⑴模型的建立
根据前面的假定，风险损失率q
i
是指银行存款利率r
与资产S
i
收益率波动下限的差
值，即银行存款利率r
与资产S
i
最不景气时收益率的差值，它可以用公式表示如下：风险损失率
银行存款利息最小收益
本金
本金本金
本金
=
-
=
-
=-
r m
r m
i
i
**
风险是指对未来收益率的不确定性，而风险损失率反映的是最坏情况下的收益损失，所以，风险损失率可以作为度量风险的一个指标。

设x
1
、x
2
、x
3
、x
4
、x
5
分别是投资于S
1
、S
2
、S
3
、S
4
和银行存款的投资比例系数。

根据上面的公式，可得资产组合的风险损失率计算模型如下：
Q r M x r x m x r m x q
i i i i i
i
i
i
i i
i
50500
1
4
1
5
1
5
1
4
=-=-=-=
=
=
==
∑
∑
∑∑
()⑴
上式中的x q
11
、x q
22
、x q
33
、x q
44
分别为资产S
1
、S
2
、S
3
、S
4
对总体风险损失率的
贡献值，由前面的假定知，资产组合的风险F
5
为：
{}
F x q x q x q x q
511223344
=m a x,,,⑵
从(1)和(2)可看出：Q F
55
4
≤，即资产组合风险值的四倍可作为资产组合风险损失率
的上限。

当投资在S
i
上的投资比例系数为x
i
时资产S
i
的净收益率为：T R C
i i i
=-，平均净收
益率为：t E T C r C
i i i i i
=-=-
()，其中
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≤
<
=
=
M
u
x
M
u
x
p
M
x
u
p
x
C
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
资产组合的平均净收益率为：
t x t r x
i i
i
=+
=
∑
1
4
05
⑶
从⑵和⑶可看出，资产组合投资的收益和风险由投资比例向量X= (x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
)
确定。

要使资产组合的净收益尽可能大，而总体风险尽可能小，可使用下面的模型选择投资比例向量X。

模型A {}44
3
3
2
2
1
1
4
,
,
,
m a x
m i n q
x
q
x
q
x
q
x
F=
m a x t x t r x
i i
i
=+
=
∑
1
4
05
s.t.
x x x x x
x x x x x
12345
12345
1
++++=
≥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪,,,,
模型A是多目标规划模型，将表1的数据代入模型A可发现，模型中的两个目标不可能同时达到最优，即模型没有最优解。

实际上，投资者往往希望收益尽可能的大而风险尽可能的小，但高收益往往伴随高风险，投资者只能在收益和风险之间进行权衡，我们采用的权衡方法是：在选定总体风险的一个上界时，来使得总体的净收益达到最大。

即可通过下面的模型选择投资比例向量：
m a x t x t r x
i i
i
=+
=
∑
1
4
05
s.t.
x x x x x
F q
x x x x x
12345
50
12345
1
++++=
≤
≥
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪,,,,
根据(2)式可知，上述模型等价于模型B
模型B m a x t x t r x
i i
i
=+
=
∑
1
4
05
s.t.
x x x x x
x q q i
x x x x x
i i
12345
12345
1
1234
++++=
≤=
≥
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
(,,,)
,,,,
模型B的意义是：在给出资产组合风险上限q
的条件下，使资产组合的净收益率t 最大。

由于M相当大，u
i
是经纪人为保护每笔交易的最低收入而设置的，考虑到公司为
了聚集社会闲散资金，必会面向众多投资者，包括中小投资者，所以u
i
的取值通常较小，那么M
u
i
/也相当小，C
i
可看作p
i
，故模型B可简化为模型C：
模型C m a x()
t x r p r x
i i i
i
=-+
=
∑
1
4
05
s.t.
x x x x x
x
q
q
i
x x x x x
i
i
12345
12345
1
1234
++++=
≤=
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(,,,)
,,,,
⑵模型的求解
模型C中q
的取值范围定为[0,+∞]。

对于模型C我们的求解方法是：对系数进行了
降序排列，当确定一个q
值时，为了使平均净收益率t达到最大值，只需使系数最大的变量在限定范围内尽可能大的满足；若系数存在两个以上相等时，则让风险损失率最小的先满足，从而保证了在风险较小的情况下使其具有同样的平均最大收益值；若最后再有剩余，则按照同样的方式处理。

根据上述方法，可给出资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例向量的关系如表3。

公司只需根据自己的实际情况给出所能承当的最大风险q
，即能从表3中查得相应
的最大净收益率及投资比例向量，从而确定出在风险为q
时净收益率最大的投资方案，该投资方案的净收益率和风险损失率的关系如图1所示。

图1 四个种组合投资方案的净收益率和风险损失率的关系
1.5.2 含有n种风险资产和银行存款的资产组合选择模型
⑴模型的建立
设投资于S
1
、S
2
、…、S
n
和银行存款的投资比例系数分别为x
1
、x
2
、…、x
n
、x
n+1
，
则投资比例系数向量为X= (x
1
,x
2
,…,x
n
,x
n+1
) 。

和建立五种资产组合决策模型的过程相
同，要使资产组合的净收益尽可能大，而总体风险尽可能小，可使用下面的模型D选择投资比例向量X。

模型D m a x t x t r x
i i
i
n
n
=+
=
+
∑
1
01
{}
m i n m a x,,,
F x q x q x q
n n n
=
1122
s.t.
x x x
x i n
n
i
121
1
0121
+++=
≥=+
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
+
(,,,)
通常，模型D中的两个目标不可能同时达到最优，原因是高收益往往伴随高风险，投资者只能在收益和风险之间进行权衡。

和模型B类似，可得下面的投资比例向量选择模型。

模型E m a x t x t r x
i i
i
n
n
=+
=
+
∑
1
01
s.t.
x x x
x q q i n
x i n
n
i i
i
121
1
12
0121
+++=
≤=
≥=+
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
+
(,,,)
(,,,)
模型E的意义是：在给定资产组合风险q
的条件下，使资产组合的净收益t最大。

和将模型B简化为模型C同样的理由，可将模型E简化为模型F。

模型F m a x()
t x r p r x
i i i
i
n
n
=-+
=
+
∑
1
01
s.t.
x x x
x
q
q
i n
x i n
n
i
i
i
121
1
12
0121
+++=
≤=
≥=+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
+
(,,,)
(,,,)
模型F和模型E具有同样的意义，它是一个线性规划模型，当n相对较小时，用手工就可以求解。

⑵模型的求解
下面就模型F由表2中的数据（n=15）进行组合投资决策方案求解。

采用与模型C
类似的方法，可得结果如表4。

由于S S S
14125
,,的净收益率小于同期银行存款利率，故其投资比例系数始终为零。

具体线性规划模型为：
max.........
.......
t x x x x x x x x x
x x x x x x x
=++++++++ +++++++
043403510339032303090281022401530106 0075007400670050049003300005
37101398426 115111614125
s.t.
x x x
x
q
q
i
x i
i
i
i
1216
1
1215
01216
+++=
≤=
≥=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(,,,)
(,,,)
根据上述方法，可给出资产组合的风险控制值和相应的最大净收益率及投资比例向
量的关系如表4。

同样，公司可根据自己的实际情况给出所能承当的最大风险q
，即能
从表4中查得相应的最大净收益率及投资比例向量，从而确定出在风险为q
时净收益最大的投资方案，该投资方案的净收益和风险关系如图2所示。

t
图2 十五种组合投资方案的净收益和风险关系
1.6 模型的结果分析
1.6.1 应用分析
⑴结合图表不难得出以下结论：
①当解向量X中非零向量元素越少,则投资者所承担风险的q
值越小，也就是说，投资越分散,投资者所承担的风险值越小；
②在给定的风险q
值的前提下，收益是最大的；
③在不同的q
值区间内，新增的单位风险值所增加的收益率值∆
∆
t
q0
也不同；
④单位风险收益率与q
呈类似反比例的函数关系。

⑵由上述结论可为投资者提供一些参考意见：
①投资量力而行，投资者在作投资决策之前必须衡量自己承担风险的能力，确定投资的最大可承受风险目标，以免造成过度损失，甚至破产；
②按风险等级和获利大小的最佳组合方式，在风险水平一定时，投资者应使收益最大化，在收益水平一定时，投资者应使风险最小化；
③考虑自己的承受能力，适当分散投资于几种资产；
④对净收益率小于同期银行存款利率，投资者便不必投资。

1.6.2 误差分析
⑴含有四种风险资产和银行存款的资产组合选择模型
模型C中对净收益率计算的简化导致资产组合的净收益产生的误差不超过
u p i i
i=
∑=
1
4
993
.,资产组合的净收益率的误差范围是:0
993
4
<<
∆t
M
.（
∆t为增加值），当M相当大，误差范围很小，可忽略不计。

⑵含有n种风险资产和银行存款的资产组合选择模型
模型F中对净收益率计算的简化导致资产组合的净收益产生的误差不超过u p
i i
i
n
=
∑
1
,资产组合的净收益率的误差范围是: M
p
u
t
n
i
i
i
n
/
1
∑
=
<
∆
<,当n=15时，净收益率增加值
的范围是0181673
15
<<
∆t
M
.，当M相当大，误差范围很小，可忽略不计。

1.7 模型的评价
模型把净收益与总体风险的关系转化为平均净收益率t与F
n
的关系，这样不仅使模型简单明了，而且用相对量表示方法更容易令人接受。

模型A向模型B的转变可以深
刻地反映F 与t 之间的内在联系，模型A 、B 、C 在总体上还对问题的算法作了较明确的操作。

通过在限定q 0的情况下来使t 达到最大值。

模型C 是在能保证反映t 与q 0关系的前提下，使模型A 和模型B 的非线性规划问题转化为线性规划问题，从而使模型算法简化到可以用手工操作，而无需用编程的方法。

虽然模型可以用手工求解，但是若n 值相当大（n ≥50），则手工算法绝非易事，故可采用QSB 软件或编程的方法求解。

其中QSB 软件所提供的数据只能作q t 0-的散点图，不能连续表示t 与q 0的关系；而采用手工算法思想的编程则可避免这一缺陷，且需时较短。

同时，由于本模型将购买额不超过给定的u i 时的交易费仍然近似地按购买额计算，存在着一定的不足之处，尤其是对于小投资者而言，用本模型计算的误差较大。

参考文献
[1] 利益平．风险投资纵横谈[M]．上海：上海人民出版社，1994； [2] 郑毅．财务管理学[M]．长沙：中南工业大学出版社，1996；
[3] 邱北祥．证券投资学概要[M]．北京：北京工业大学出版社，1993；
[4] 戴晓凤等．证券投资分析与组合管理[M]．北京：中国金融出版社，1997； [5] 戈登·亚历山大等．证券投资原理[M]．成都：西南财经大学出版社，1992； [6] 唐小我．预测理论及其应用[M]．成都：电子科技大学出版社，1992。

建模思路
该文针对投资的收益和风险问题，选题组合投资方案的决策方法，充分体现作者对问题的分析准确、透彻，模型的假设不仅合理而且全面，文章能定位从含有四种风险资产和银行存款的资产组合选择模型到n 种风险资产和银行存款的资产组合选择模型，体现出从特殊到一般的归纳思想。

同时，文章建模从简单出发，并逐步进行修正和完善，最终得出更为合理的模型，这也体现科学研究律循序渐进的规律。

文章还对模型的结果作出了应用分析和误差分析。

总体建模思路清晰，处理得当。

方法选择
该文针对投资问题，综合考虑收益和风险两个目标，运用运筹学中的多目标决策方法中的化多为少的原则，建立了组合投资方案的决策方法模型。

方法选择准确。

结果合理，具有一定的应用价值。

论文写作
该文写作内容充实，对问题的分析透彻，归属定位准确，方法选择有针对性；文章的结构安排较为合理，且条理清晰、层次分明，语言简捷明了，但不够丰富，图表较少，
全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析
11 模型的名称没有交待。

结果分析和评价较得当。

综合创新
该文成篇于是1998年，当时我国市场经济尚处于初期，此时国内投资处于不太丰富，有关组合投资还相对比较冷，文章能够集统计学与运筹学知识相融合，提出了组合投资方案的决策方法，充分体现了身为财经院校的相关专业特色和对投资的敏感性，这是该文创新之处。

价值意义
该文对正在成长的国内投资市场中的企业或个人提供了一个较为科学和可供参考的组合投资方法，具沿性和可供借鉴参考价值。