1.1命题与量词

2.要判定一个存在性命题为真，只 要在限定集合M中，能找到一个x=x0， 使p（x0）成立即可；否则这一命题 就是假命题
（1）下列全称命题中，真命题是：（ D ）
A. 所有的质数是奇数
B. x R,(x 1)2 0
C. x R, x 1 2 x
D. x (0, ),sin x 1 2
(2) x∈N,x4≥1
解：对每一个自然数x，都有x4≥1 由于0∈N，当x=0时，x4≥1 不成立，所以该命题是假命题
(3) x∈Z,x3<1
解：在整数集中至少有一个数 X，使得x3<1
由于-1∈Z，又当x=-1时，能使 x3<1,因此该命题正确
(4)x∈Q，x2=3 解：有一个有理数x，它的平 方等于3
格式： 对M中的所有x，p（x）
x∈M,p(x)
是全称命题吗？ 为什么？
（1）有一个整数x，x2-1=0 不是 （2）任意一元二次方程都有实数解 是 （3）至少有一个整数x，5x+1是整数不是 （4）每一个非零向量都有方向 是
观察下列命题: 有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数; 有的平行四边形的四个内角都是直角; 存在一个函数,图象不关于原点对称; 有一些实数不能做分母.
2
sin x
（2）下列存在性命题中，假命题是：（ C ） A. x R, x2 2x 3 0 B. 至少有一个x Z，x能被2和3整除 C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D. x {x是无理数}, x2是有理数
（3）用符号“”“”表示下列含有量词的命题： 1、实数的平方大于等于0； 2、存在一对实数，使2x 3y 3 0成立.
存在集合M中的元素x，q（x）
x∈M,q(x)
例题2.
判断下列命题是不是全称命题或存在性 命题,如果是，用量词符号表示出该命题。
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0成立 （2）任何一个实数x除以1，仍等于这个数 （3）至少存在一个有理数，它的平方等于2 （4）每一个大于等于6的偶数都是两个奇质 真命题
题
（6）x>15
不是命题
1.1.2量词
观察下列命题：
（1）全校所有的学生都参加了校运会； （2）所有的中国公民的合法权利都受到中国宪法的保护； （3）每一个中国公民都有遵守宪法的义务； （4）任何中国公民都不能违背中华人民共和国宪法； （5）对任意的实数x，都有x2≥0；
2 （7） 100是个大数。 （不能判断）
命题的定义
能判断真假的语句叫做命题
1、命题一般是陈述句，疑问句、祈使 句、感叹句都不是命题。 2.一个命题要么真要么假，不能既真又 假，或模棱两可、无法判断其真假。 3、猜想也是命题。 4、命题一般用小写英文字母表示：
如p，q，r…
想一想：下面两个语 句是命题吗？
1、每一个大于等于6的偶数都是两 个奇质数之和。（哥德巴赫猜想）
2、在2020年之前，将有人登上
火星。
例1：判断下列语句中哪些是命题？ 是真命题还是假命题？
(1)空集是任何集合的子集; 真命题
(2)若整数a是质数，则a是奇数; 假命题
(3)指数函数是增函数吗？ 不是命题
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行; 假
由- 于3，使而x2=它3们成不立是的有数理只数有，+ 因3而和
没有任何一个有理数的平方能等 于3，因此该命题是假命题
通常叫 “证明”
1.要判定一个全称命题为真必须对 限定集合中的每一个元素x验证p(x) 都成立；
通常叫 “举反例”
2.要判定其为假，只需举出集合M中 的一个x=x0，使得p(x0)不成立即可
存在量词 记为
“有一个”、“存在一个”、
“至少有一个”、“有些” 等 含有存在量词的命题称存在性命题
有一个整数x，x2-1=0 记为：x∈Z， x2-1=0 至少有一个整数x，5x+1是整数
记为：x∈Z，5x+1是整数
如果用M表示变量x的限定取值集合， q（x）表示集合M中部分元素x满足 的性质，那么，存在性命题的一般 格式是是什么？
x R, x2 0
x R，y R,2x 3y 3 0
（4）已知：对x R,a x 1 恒成立， x
则a的取值范围是 a<2
.
（5）. 若 a、bR且a2 b2 0，则①a、b 全为 0；②a、 b 不全为 0； ③
a、b 全不为 0；④a、b 至少有一个不为 0，其中真命题的个数为 C
例3.试判断下列命题的真假
(1)x∈R,x2 2 >0
(2) x∈N,x4≥1 (3) x∈Z,x3<1 (4)x∈Q，x2=3
解答：
(1)x∈R,x2 2 >0
解：对所有实数x，都有x2+2>0 因为 x∈R，都有x2≥ 0，因而有 x2+2≥2>0,即x2+2>0。 所以该命题是真命题
A. 0 个
B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
命题与量词
（观1）察l下g列10语0=句2能否判（断真√假），若能请判断真假
（2）y=sinx是周期函数吗？（不能判断）
（3）所有无理数都是实数。
（√）
（4）指数函数的图像真漂亮！ （不能判断）
（5）设a、b、c、d是四个任意实 数，如果a>b，c>d，则ac>bd。 （×）
（6）但愿每个方程都有根！ （不能判断）
解答：
（1）有一个实数x，x 2+2x+3=0成立 存在性命题 x∈R，x2+2x+3=0成立
（2）任何一个实数x除以1，仍等于 这个数
全称命题
x∈R， x x
1
（3）至少存在一个有理数，它的平 方等于2
存在性命题 x∈Q， x2=2
（4）每一个大于等于6的偶数都是 两个奇质数之和。
全称命题 x∈{大于等于6的偶数}， x=y+z,y,z是奇质数
（6）存在 x Z,使x 能被3和5都整除.
全称量词 记为
“所有”、“任意”、“每一个”、 “都”、“全部”，等 含有全称量词的命题称全称命题
对所有整数x， x2-1=0 记为：x∈Z，x2-1=0
对所有整数x，5x+1是整数
记为：x∈Z，5x+1是整数
如果用M表示变量x的限定取值集合， p（x）表示集合M中每一个变量x都 满足的性质，那么，全称命题的一 般格式是是什么？