1-1条件平差原理--求取最或是值
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aa
V P 1 AT K
Lˆ L V
理论
感谢聆听，批评指导
公式
思考
平差
算例
转置
PTV AT K
两边左乘权逆阵P–1 V P 1 AT K
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
2.基础方程
3.法方程
条件平差的基础方程
AV W 0
令
V P 1 AT K
构法方程
将改正数方程带入条件方程，得
AP 1 AT K W 0
令令
N aa AP 1 AT
1.条件方程
纯量形式
ab11LLˆˆ11 ab22LLˆˆ22 bannLLˆˆnnba0000 r1Lˆ1 r2Lˆ2 rnLˆn r0 0
带入
Lˆi Li vi
令
ALˆ A0 0
平差值条件方程
条件平差是经典平差的重要方法之一，其实质是观测值的改正数在满足一定条 件下，求改正数带权平方和的极值问题，可采用拉格朗日乘任务）
1.条件方程
设在某个测量几何模型中，必要观测数为 t ，观测了 n 个只含偶然误差的独立观测值 ，相应的权为 p1、p2、...、pn ，改正数 v1、v2、...、vn 、平差值 Lˆ1、Lˆ2、、Lˆn 。
将它们用向量（矩阵）表示为：
L1
L
L2
n,1
Ln
v1
V
v2
n,1
vn
p1
P
n,n
0
0
0 0
p2
0
0
p
n
L1 v1
Lˆ
L V
L2
v2
矩阵形式
a1v1 a2v2 anvn wa 0 b1v1 b2v2 bnvnwb0 r1v1 r2v2 rnvn wr 0
AV W 0
改正数条件方程
wa (a1L1 a2L2 anLn a0 )
矩阵计算
Lˆ L V
或纯量计算 Lˆi Li vi (i 1,2,, n)
亦称最或然值、最优估值
其它几何量的平差值
通过观测值的平差值 Lˆ ，可以进一步计算
其它几何量的平差值。
（如高程控制网中待定点的高程，平面控制网 中待定点的纵横坐标、边长和坐标方位角等）
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
r1Lˆ1 r2 Lˆ2 rn Lˆn r0 0
纯量形式
令A r,n
a1 b1
a2 b2
an
a0
bn
A0
r ,1
b0
r1
r2
rn
r0
系数阵
常数项
ALˆ A0 0
矩阵形式
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
wb (b1L1 b2L2 bnLn b0
)
wr (r1L1 r2L2 rnLn r0 )
wa
令
W
wb
r,1
wr
闭合差
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
2.基础方程
Xi’an University of Science & Technology
举一 反三
治学 严谨
Error Theory and Surveying Adjustment
逻辑
性强
主讲人：史经俭 张静 席晶
本讲内容
条件平差的平差值求取原理
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
在实际测量中，为了提高精度和保证一定的可靠性，一般都要有多余观测，这 样使得观测值之间存在一定的矛盾，因此观测值的平差值之间就需要满足一些条件。
n ,1
Ln
vn
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
1.条件方程
由于有 r=n-t 个多余观测，故可以列出 r 个线性无关的平差值条件方程（如有非线性条
件方程，将其线性化），其一般形式表示如下：
ab11LLˆˆ11 ab22 LLˆˆ22 ba nnLLˆˆ nn ba00 00
将条件方程与改正数方程合 称为条件平差的基础方程。
得
N aa K W 0
将该式称为联系数法方程，简称法方程
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
4.解法方程
5. 计算观测值改正数
解法方程
观测值改正数
可以证明法方程数阵是满秩方阵，
即 R(N aa ) R( AP 1 AT ) r
令
故 N aa
ka
令
式中引入乘常数:
K
r ,1
kb
kr
平差中称K为联系数向量，简称联系数。
解拉格朗日函数
对V 求一阶导数，并令其为零
d (V T PV ) 2 (K T AV ) 2V T P 2K T A 0
dV V
V
令得
VTP KTA
本节内容 1.条件方程 2.基础方程 3.法方程 4.解法方程 5.计算观测值改正数 6.计算观测值平差值 7.其它几何量的平差值计算
ALˆ A0 0 AV W 0
+ AV W 0 V P 1 AT K
N aa K W 0 N aa AP 1 AT
K
N
W 1
的凯利逆阵
N 1 aa
存在
解得联系数：
K
N
W 1
aa
矩阵计算
V P 1 AT K
或纯量计算
令
vi
1 pi
(ai k a
bi kb ri kr )
式中（i = 1，2，…，n）
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
6.计算观测值平差值
7.其它几何量的平差值计算
观测值平差值
转化
问题
解决
AV W 0
？ r <n，得不到唯一解
为此按最小二乘原理，
求VTPV=min。
该平差问题转化为函数VTPV，
在满足 AV W 0 成立下
的极值问题。
采用拉格朗日乘常数法可解。
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
2.基础方程
构成拉格朗日函数
V T PV 2K T (AV W )
V P 1 AT K
Lˆ L V
理论
感谢聆听，批评指导
公式
思考
平差
算例
转置
PTV AT K
两边左乘权逆阵P–1 V P 1 AT K
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
2.基础方程
3.法方程
条件平差的基础方程
AV W 0
令
V P 1 AT K
构法方程
将改正数方程带入条件方程，得
AP 1 AT K W 0
令令
N aa AP 1 AT
1.条件方程
纯量形式
ab11LLˆˆ11 ab22LLˆˆ22 bannLLˆˆnnba0000 r1Lˆ1 r2Lˆ2 rnLˆn r0 0
带入
Lˆi Li vi
令
ALˆ A0 0
平差值条件方程
条件平差是经典平差的重要方法之一，其实质是观测值的改正数在满足一定条 件下，求改正数带权平方和的极值问题，可采用拉格朗日乘任务）
1.条件方程
设在某个测量几何模型中，必要观测数为 t ，观测了 n 个只含偶然误差的独立观测值 ，相应的权为 p1、p2、...、pn ，改正数 v1、v2、...、vn 、平差值 Lˆ1、Lˆ2、、Lˆn 。
将它们用向量（矩阵）表示为：
L1
L
L2
n,1
Ln
v1
V
v2
n,1
vn
p1
P
n,n
0
0
0 0
p2
0
0
p
n
L1 v1
Lˆ
L V
L2
v2
矩阵形式
a1v1 a2v2 anvn wa 0 b1v1 b2v2 bnvnwb0 r1v1 r2v2 rnvn wr 0
AV W 0
改正数条件方程
wa (a1L1 a2L2 anLn a0 )
矩阵计算
Lˆ L V
或纯量计算 Lˆi Li vi (i 1,2,, n)
亦称最或然值、最优估值
其它几何量的平差值
通过观测值的平差值 Lˆ ，可以进一步计算
其它几何量的平差值。
（如高程控制网中待定点的高程，平面控制网 中待定点的纵横坐标、边长和坐标方位角等）
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
r1Lˆ1 r2 Lˆ2 rn Lˆn r0 0
纯量形式
令A r,n
a1 b1
a2 b2
an
a0
bn
A0
r ,1
b0
r1
r2
rn
r0
系数阵
常数项
ALˆ A0 0
矩阵形式
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
wb (b1L1 b2L2 bnLn b0
)
wr (r1L1 r2L2 rnLn r0 )
wa
令
W
wb
r,1
wr
闭合差
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
2.基础方程
Xi’an University of Science & Technology
举一 反三
治学 严谨
Error Theory and Surveying Adjustment
逻辑
性强
主讲人：史经俭 张静 席晶
本讲内容
条件平差的平差值求取原理
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
在实际测量中，为了提高精度和保证一定的可靠性，一般都要有多余观测，这 样使得观测值之间存在一定的矛盾，因此观测值的平差值之间就需要满足一些条件。
n ,1
Ln
vn
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
1.条件方程
由于有 r=n-t 个多余观测，故可以列出 r 个线性无关的平差值条件方程（如有非线性条
件方程，将其线性化），其一般形式表示如下：
ab11LLˆˆ11 ab22 LLˆˆ22 ba nnLLˆˆ nn ba00 00
将条件方程与改正数方程合 称为条件平差的基础方程。
得
N aa K W 0
将该式称为联系数法方程，简称法方程
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
4.解法方程
5. 计算观测值改正数
解法方程
观测值改正数
可以证明法方程数阵是满秩方阵，
即 R(N aa ) R( AP 1 AT ) r
令
故 N aa
ka
令
式中引入乘常数:
K
r ,1
kb
kr
平差中称K为联系数向量，简称联系数。
解拉格朗日函数
对V 求一阶导数，并令其为零
d (V T PV ) 2 (K T AV ) 2V T P 2K T A 0
dV V
V
令得
VTP KTA
本节内容 1.条件方程 2.基础方程 3.法方程 4.解法方程 5.计算观测值改正数 6.计算观测值平差值 7.其它几何量的平差值计算
ALˆ A0 0 AV W 0
+ AV W 0 V P 1 AT K
N aa K W 0 N aa AP 1 AT
K
N
W 1
的凯利逆阵
N 1 aa
存在
解得联系数：
K
N
W 1
aa
矩阵计算
V P 1 AT K
或纯量计算
令
vi
1 pi
(ai k a
bi kb ri kr )
式中（i = 1，2，…，n）
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
6.计算观测值平差值
7.其它几何量的平差值计算
观测值平差值
转化
问题
解决
AV W 0
？ r <n，得不到唯一解
为此按最小二乘原理，
求VTPV=min。
该平差问题转化为函数VTPV，
在满足 AV W 0 成立下
的极值问题。
采用拉格朗日乘常数法可解。
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
2.基础方程
构成拉格朗日函数
V T PV 2K T (AV W )