连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法

弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例）一、名词解释弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法，但在力学上属于精确法的范畴，主要适用于连续梁和刚架的计算。

在弯矩分配法中不需要解联立方程，而且是直接得出杆端弯矩。

由于计算简便，弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。

（一）线刚度i杆件横截面的抗弯刚度EI 被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i ：l EI i =（a ） 当远端B 为固定支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 4=； （b ） 当远端B 为铰支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 3=； （c ） 当远端B 为滑动支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB =； （d ） 当远端B 为自由端时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度0=AB S 。

连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。

（二）转动刚度S转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。

杆端的转动刚度以S 表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩，θ/M S =。

施力端只能发生转角，不能发生线位移。

AB S 中的第一个角标A 是表示A 端，第二个角标B是表示杆的远端是B 端。

AB S 表示AB 杆在A 端的转动刚度。

（三）分配系数μ⎪⎭⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=A AD A AD AD A AC A AC AC A AB A AB AB i S M i S M i S M θθθθθθ34 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅==++=++=++=∑∑∑∑M S S M M S S M M S S M SM S S S M M M M S S S M AD AD AC AC AB AB AD AC AB A ADAC AB A AD A AC A AB θθθθ各杆A 端所承担的弯矩与各杆A 端的转动刚度成正比。

∑∑==⋅=1AjAjAj Aj Aj SS MM μμμ Aj μ称为分配系数，如AB μ表示杆AB 在A 端的分配系数。

它表示AB 杆的A 端在节点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆AB 的转动刚度与交于A 点各杆的转动刚度之和的比值。

总之，加于节点A 的外力矩，按各杆的分配系数分配于各杆的A 端。

（四）传递系数Cij ij jiDA A AC CA AAB BA A AD AD A AC AC AAB AB C M M M i M i M i M i M i M ==⋅-=⋅=⋅=⋅=⋅=0234θθθθθijC 称为传递系数。

传递系数表示当近端有转角（即近端产生弯矩）时，远端弯矩与近端弯矩的比值。

因此一般可由近端弯矩乘以传递系数C 得出远端弯矩。

当远端为固定的边支座或为非边支座21=C ； 当远端为滑动边支座1-=C ； 当远端为铰支边支座 0=C 。

端的传递系数。

端至称为由系数B A AB ABAB AB C M C M ⋅= 节点A 作用的外力矩M ，按各杆的分配系数μ分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。

（五）杆端弯矩弯矩分配法解题过程中所指的杆端弯矩是所有作用于杆端的中间计算过程的最后总的效果。

计算杆端弯矩的目的，是因为杆端弯矩一旦求出，则每相邻节点之间的“单跨梁”将可以作为一根静定的脱离体取出来进行该杆的内力分析。

其上作用的荷载有外荷载，每一杆端截面上一般有一个剪力和一个弯矩，两端共有二个剪力和二个弯矩。

这两个弯矩就是两端的杆端弯矩，既然它们已经求出，那么余下的两个剪力可由两个静力平衡方程解出。

（六）近端弯矩和远端弯矩二、弯矩分配法的思路在求杆端弯矩时，其主要的目标是：（1）由于节点上有两根或多根杆件汇集，因此需确定每一根杆在维持节点不转动平衡过程中所作出的贡献。

这需要用到分配系数μ以及与分配系数μ有关的转动刚度S 、线刚度i 、截面刚度EI 等值。

（2）影响节点产生转动的力矩大小及方向。

这需要涉及到单跨梁的固端弯矩M ，它的含义是：将每相邻节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座或一端固定一端铰支的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端弯矩。

两端铰支的单跨梁无固端弯矩，即两端铰支的单跨梁的两铰支端的固端弯矩为零。

只有固定端才有固端弯矩，铰支端的固端弯矩为零(单跨梁)。

固定端不允许转动所以产生固端弯矩，而铰支端允许转动不产生固端弯矩。

三、弯矩分配法的运算步骤连续梁或刚架弯矩分配法运算过程：（1）求各杆件（梁或柱）的线刚度i、杆端（梁端或柱端）转动刚度S和分配系数μ（对于刚架，参加分配系数计算的不仅有梁，还有柱）。

（2）根据各个“单跨”梁或柱的荷载情况和支座特征查表求出各“单跨”杆件在杆端的固端弯矩M。

这里需注意的是固端弯矩是带符号的，可以用“左负右正”四个字来帮助记忆。

即对每一“单跨”梁而言，左端的M取负值或零，右端的M取正值或零。

当“单跨”的边支座为铰支座时，它不能抵抗杆件的转动，所以边支座为铰支座时的M=0；但对于所有非边支座，则一律视为固定端支座。

（3）将与同一支座相连接的各杆的固端弯矩M取代数和后反号按分配系数分配到与支座相连的各杆杆端。

这一步的注意点是将固端弯矩代数和反号再分配。

（4）将分配得到的弯矩视该节点各杆远端支座特征决定是否向远端传递。

这种分配、传递将可能进行多次。

这种次数只要进行的足够，从理论上讲将可以达到任意要求的精确度。

但是工程实践上则只要进行2~3个循环即可满足正式结构设计的要求。

（5）将上面四步运算之后的与同一节点相连的每根杆件杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩分别求代数和，即为各杆的杆端弯矩。

这一步的注意点是与同一支座相连的各杆的杆端弯矩代数和必定为零，否则说明计算上有错，或尚需进一步分配、传递。

静定结构的内力只按静力平衡条件即可确定，其值与结构的材料性质和截面尺寸无关。

超静定结构的全部反力和内力如只按静力平衡条件则无法确定，还必须同时考虑变形协调条件（即各部分的变形必须符合原结构的联接条件和支承条件）才能得出确定的解答，故超静定结构的内力状态与结构的材料性质和截面尺寸有关。

在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆刚度的相对比值有关，而与其绝对值无关；在温度改变、支座移动等因素影响下，超静定结构的内力则与各杆刚度的绝对值有关，并且一般是与各杆刚度的绝对值成正比的。

对非结构专业来说，特别是对建筑学专业，不可能花大量的精力去从事对超静定结构的矩阵分析，因此弯矩分配法这样简明适用的方法就更有它的实际意义。

一方面，弯矩分配法可以满足对一般正式结构设计的要求；另一方面，可以使建筑师加强对结构的概念设计。

所以其优越性是显而易见的。

例8-1 图示一连续梁，用弯矩分配法作弯矩图。

解：（1）求分配系数a. 杆AB 和杆BC 的线刚度lEI i =相等。

b. 转动刚度：i S iS BC BA 34==c. 分配系数：429.0343571.0344=+==+=ii i i i i BC BAμμ d. 校核：BA μ+BC μ=1，分配系数写在节点B 上面的方框内。

（2）求固端弯矩M ，把梁看成两根独立的单跨梁。

查表：AB 跨属表８－１编号５，而BC 跨属表８－１编号２。

98628156332015633202222222222=⋅-=⨯-=-=⋅=⨯⨯-==⋅-=⨯⨯-=-=CB BC BA AB M m kN ql M m kN l b Pa M m kN l Pab M将结果写在相应杆端的下方。

在节点B ，BA 梁与BC 梁在B 端的固端弯矩代数和为m kN M M M BC BA B ⋅=-=+=6915（３）分配并传递，将节点B 的固端弯矩代数和反号得被分配的弯矩为－６kN ·m ，此弯矩按分配系数分配于两杆的B 端；并由于A 端为固端边支座，所以由BA 杆的B 端向A 端传递去B 端弯矩的一半；C 端由于是铰支边支座，故传递系数为零，即不向C 端传递。

a. 分配弯矩：m kN M mkN M BC BA ⋅-=-⨯=⋅-=-⨯=57.2)6(429.043.3)6(571.0b. 传递力矩：72.1)43.3(2121=⋅-=-⨯==CB BA ABM m kN M M 用箭头表示弯矩传递的方向。

（4）将以上结果竖向叠加，即得到最后的杆端弯矩。

可列表进行，最下面一行表示最后结果。

注意B 节点应满足平衡条件：∑=-=057.1157.11M注意A 端是固定边支座，只有一根杆AB ，其分配系数为1，故它虽有固端弯矩m kN M AB ⋅-=15，但不存在分配或向B 端传递的问题，可A 端却可以接受从B 端传递过来的弯矩。

（5）计算跨中弯矩a. 将AB 梁按简支梁画出计算简图，其上的荷载有两种，一是本来存在的集中荷载，二是在它两端按弯矩分配法算出的杆端弯矩，以集中力偶的形式作用于A 、B 两杆端处。

见图8-10（a ）。

b. 将AB 梁按两端简支梁情况下，仅作用有集中荷载时求出在中点的弯矩，见图8-10（b ）。

m kN M ⋅=⨯=⋅30310荷载中c. 将AB 梁按两端简支梁情况下，仅在两端分别有杆端弯矩作用下求出中点的弯矩，实际上是一个几何梯形的中位线长度纵坐标，见图8-10（c ）。

m kN M ⋅-=+-=⋅15.14257.1172.16杆端中d. 跨中点弯矩的最终结果为b 、c 两步纵坐标的代数和。

梁段上的其它任一点的弯矩也可以参照以上方法求出。

中点弯矩为m kN M M ⋅==+=85.1515.14-30M 杆端简支跨中（6）在计算有多个节点的连续梁或刚架时，若将两个节点同时分配和传递，这两个节点既可相邻也可是被一个节点在当中隔开的形式。

若从不平衡力矩（即节点四周各杆的杆端弯矩的代数和）较大的节点开始，可使收敛较快。

（7）作弯矩图a. 用弯矩分配法列表计算出的都是各杆带正号或负号的杆端弯矩。

正顺负逆（顺正逆负）b. 带+号（正号一般省略不写）的杆端弯矩使杆端作顺时针旋转，此时想象杆端往远端方向稍远一些的横截面固定不动。

比如图8-9中AB 杆在B 端的杆端弯矩m kN M BA ⋅+=57.11，想象离B 端稍往左处的杆截面（图8-9中的D-D 截面）固定不动，由于正号杆端弯矩+·m ，所以它使B 端绕这个想象中被固定的横截面作顺时针旋转。

显然这个+·m 的杆端弯矩使AB 上这小段杆件BD 的上部纤维受拉，下部纤维受压。

我们总是把弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。

因此AB 杆在B 端的杆端弯矩＋·m 应画在杆的横线的上方。

c. 带负号的杆端弯矩使杆端作逆时针旋转，此时也同样想象离杆端往远端方向稍远一些的横截面固定不动。

比如图8-9中AB 杆在A 端的杆端弯矩m kN M AB ⋅-=72.16，想象离A 端稍往右处的杆截面（图8-9中的E-E 截面）固定不动，由于是负号杆端弯矩·m ，所以它使A 端绕这个想象中被固定的横截面作逆时针旋转。