一次不定方程的解法

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一次不定方程的解法

我们现在就这个问题，先给出一个定理．

定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程

ax by c +=①

由于x x '=0y at +表示方程①的一切整数解，命题得证．

有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.

例1求11157x y +=的整数解．

解法1将方程变形得

因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一

组整数解，所以方程的解为

解法2先考察11151x y +=，通过观察易得

11(4)1531⨯-+⨯=，

所以

11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，

例2解 4530

t ⎨-+≥⎩ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．

当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是

150

x y =⎧⎨=⎩，43x y =⎧⎨=⎩ 例3求方程719213x y +=的所有正整数解．

分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．

解用方程

719213x y +=①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得

令v = x = 明．

例4求方程3710725x y +=的整数解．

解

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是

025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=

是方程3710725x y +=的一组整数解．

所以原方程的一切整数解为

例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？

，从而x = 38351000x y t t z +=⎧⎨-=⎩

① 用前面的方法可以求得①的解为

383x t y t u

=-⎧⎨=-+⎩（u 是整数）② ②的解为

2000510003t v z v

=+⎧⎨=+⎩（v 是整数）③ 消去t ，得

600081520003510003x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩

（,u v 都是整数）

大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经

100只 于是 解得4252872414287

7t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ ∴425287

t <<

由于t 是整数，故t 只能取26,27,28，而且,,x y z 还应满足

100x y z ++=．

或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84

只小鸡．