度量空间的定义与极限

第一章 度量空间

若在实数集

R 中点列n x 的极限是x 时，我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这两

点间的距离，那么实数集R

中点列

n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0，即lim (,)0n n d x x →∞

=． 于是人们就想，

在一般的点集

X

中如果也有“距离”，那么在点集

X

中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？

诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？

远和近

你 一会看我 一会看云 我觉得

你看我时很远 你看云时很近

这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？

1.1 度量空间的定义与极限

1.1.1 度量空间的定义与举例

定义 1.1.1 设X 为一非空集合．若存在二元映射:d X X ⨯→R ，使得,,x y z X

∀∈，均满足以下三个条件：

（1）(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity )；

（2）(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry )；

（3）(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality )，

则称d 为

X

上的一个距离函数，称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，(,)d x y 称为

x 和y 两点间的距离．□

注1：在不产生误解时，(,)X d 可简记为X

．

下面我们来看一些具体的例子

例 1.1.1 欧氏空间

n R ．

设n

R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=L L ，定义

(,)d x y =

其中

12(,,,),n x x x x =L 12(,,,)n y y y y =L n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个度量空间．

在证明之前，引入两个重要的不等式．

引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b L

L ，有

112222

1

1

1

()()

n n

n

i i i

i

i i i a b a b ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数

λ，则由

2

2

22

1

1

1

1

0()2n

n

n n

i i i

i i i i i i i a b b

a b a λλ

λ====≤+=++∑∑∑∑

知右端二次三项式的判别式不大于零，即

2

2

2111240n n n

i i i i i i i a b b a ===⎛⎫∆=-≤ ⎪⎝⎭

∑∑∑g

于是可得(1.1)式成立．□

进一步有H ölder 不等式

111

1

1

()()

n

n

n

p

q p

q

i i

i i i i i a b

a b ===≤∑∑∑

其中

,1p q ≥且

11

1p q

+=，称这样的两个实数,p q 为一对共轭数． 引理1.1.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给2n 个实数12,,,n a a a L

及12,,,n b b b L ，有

1112

2

2

222111()n

n

n

i i i i i i k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑∑ (1.2)

证明 由(1.1)式得

2

221

11

1

()2n n

n n

i

i

i

i i i i i i i a b a

a b b ====+=++∑∑∑∑

11

2

2

2

222

11112n

n

n

n

i

i i i i i i i a a b b ====⎛⎫

⎛⎫≤+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

∑∑∑∑

2

11

222211n n i i i i a b ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

∑∑

这就证明了(1.2)式．□

进一步可有Minkowski 不等式的一般形式，其中1k

≥

1

111

1

1

()()()

n

n

n

k k k k

k

k

i i i i i i i a b a b ===+≤∑∑∑

例 1.1.1 欧氏空间

n R ． 设n R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=L L ，定义1k ≥

(,)d x y =

(1.3)

其中

12(,,,),n x x x x =L 12(,,,)n y y y y =L n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个距离函数．

证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的

12(,,,)n n z z z z R =∈L ，由闵可夫斯基不等式(1.2)有

()12

21n

i i i x z =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑()12

21n

i i i i i x y y z =⎡⎤

-+-⎢⎥⎣⎦

∑

≤

()1

2

21n

i i i x y =⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑()12

21n

i i i y z =⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

∑，

即(,)

(,)(,)d x z d x y d y z ≤+．从而得证d 是一个距离函数．□

注2：称(,)n

R d 为n 维欧氏空间，d 称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间n R ，均指由(1.3)式的欧氏距离

所定义的．

注3：在

n R 中我们还可以定义其他的距离：

1(,)max ||k k d x y x y =-；