晶体的对称

• 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转。 • 旋转一周，晶体的相同部分重复的次数称
为轴次(n)；重复时所旋转的最小角度称 为基转角(α)；n=360°／α。
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晶体对称定律
• 晶体外形上可能出现的对称轴有L1（无实际 意义）、L2、L3、L4、L6，相应的基转角分别 为360°、180°、120°、90°、60°。
等 轴
与本晶系
晶 系
对称不符
立方原始格子
立方体心格子
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F＝I
F＝P 与空间格子 条件不符
立方面心格子
㈥、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定 的性质，称为晶体的基本性质。 1、自限性：是指晶体在适当条件
下可以自发地形成几 何多面体的性质。 ● 晶体通常被平的晶面所包 围，晶面相交成直的晶棱，晶棱 汇聚成尖的角顶。
单斜晶系: a≠b≠c；α＝γ＝90°，β≠90°
(c)
斜方晶系: a≠b≠c；α＝β＝γ＝90°
(d)
三方晶系: a＝b＝c；α＝γ＝β≠90°
(e)
四方晶系: a＝b≠c；α＝γ＝β＝90°
(f)
六方晶系: a＝b≠c；α＝β＝90°，γ＝120°
(g)
等轴晶系: a＝b＝c；α＝γ＝β＝90°
其对称不同于其它物体的对称。晶体的对 称具有表里一致性。
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二、晶体的对称要素和对称操作
• 对称操作：是指欲使物体或图形中相同部
分重复出现的操作。
• 对称要素：在进行对称操作时所凭借的几
何要素（点、线、面）。
1、对称面（P） 2、对称轴（Ln） 3、对称中心（C） 4、旋转反伸轴（Lin） 5、旋转反映轴（Lsn）
◆ 平行六面体—空间格子中的最小单位。
由三对平行且相等的面构成。
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图2 平行六面体
面网
B4 B3 B2 B1
b c
βα γ
O a A1
A2
A3
晶包及其参数
晶包是实际晶体中按平行六面体规则划分出 来的最小单位。
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2、空间格子类型
⑴ 晶系类型
(a) 三斜晶系: a≠b≠c；α≠β≠γ
b c
βα γ
(b)
• 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转 和对此直线上一个点反伸的复合操作。
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例：具有Li4的四方四面体
C'
a
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旋转反伸轴以Lin表示，轴次n可为1、2、3、4、 6。相应的基转角分别为360°、180°、120°、 90°、60°。
除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可用其它简单的 对称要素或它们的组合来代替： Li1＝C； Li2＝P； Li3＝L3＋C；Li6＝ L3＋P⊥
Ls3＝ L3＋P⊥ ＝Li6 ；
Ls6 ＝ L3＋C ＝Li3
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Ls2＝C＝Li1； Ls4＝Li4 ；
综上所述，在晶体的外部形态上 可能存在而且具有独立意义的对称 要素只有九种：
•对称中心：C •对 称 面：P •对 称 轴：L1、L2、L3、L4、L6 •旋转反伸轴：L4i、L6i
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三、对称要素的组合
• 在结晶多面体中，可以有一个对称要 素单独存在，也可以有若干对称要素 组合一起共存。
对称要素的组合服从以下规律：
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1、定理一：对称面的交线必为一对称轴，其基转
角等于相邻两个对称面夹角的两倍。
推论：如果有一个对
称 面 包 含 Ln ， 则 必 有 n个对称面同时包含Ln。 即： Ln＋P∥→LnnP
表示方法为3L4、4L3、6L2等
对称轴在晶体中可能出露的位置： ➢⑴通过晶面的中心； ➢⑵通过晶棱的中点； ➢⑶通过角顶。
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对称轴的投影
对称轴为通过晶体中心的直线，因此它们为投影球 的直径。
① 直立对称轴投影点位于基圆中心 ② 水平对称轴投影点位于基圆上 ③ 倾斜对称轴投影点位于基圆内
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立方体的对称要素及其赤平投影
等于对称面数目，且各自都垂直于一个对称面
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4、定理四：如果有一个二次轴垂直于Lni，或者
有一个对称面包含Lni, 当n为奇数时 必有n个L2垂直于Lni和n个P包含Lni； 当n为偶数时, 则必有n/2个L2垂直于 Lni和n/2个P包含Lni。
即： 当n为奇数时，Lni＋L2⊥或Lni＋P∥→ LninL2⊥nP∥
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1、对称面（P）
对称面是把晶体平分为互为镜像的两个相 等部分的假想平面。相应对称操作是对一个 平面的反应。
A
B
A
B
P1
E
D
P2
E
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E1 DP
对称面在晶体中可能存在的位置：
• ⑴ 垂直并平分晶面；
• ⑵ 垂直晶棱并通过它的中心； • ⑶ 包含晶棱并平分晶面夹角。
晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面，最 多可达9个。对称面的描述方法为3P、9P等。
❖ 晶体中可以有对称中心，也可以没有对称 中心，若有只能有一个，而且必定位于晶体 的几何中心。
❖ 晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必 然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
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4、旋转反伸轴（Lin）
• 旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体 围绕此直线旋转一定角度后，再对此直 线上的一个点进行反伸，才能使晶体上 的相等部分重复。
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㈢ 空间格子（space-lattice）
表示晶体构造的规律性的几何图形，称为空间格子。
1、空间格子的要素
◆ 结点—即空间格子中的点 它们代表晶体构造中的相当点。
◆ 行列—结点在直线上排列 而成。空间格子中任意两点联结 起来的直线就是一条行列。
◆ 面网—结点在平面上排列 而成的图形。
图1 空间格子
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对称面的投影 对称面是通过晶体中心的平面，在球面投影中它与投影球 面的交线为一大圆。 ◆ 水平对称面的投影为基圆； ◆ 直立对称面投影为基圆的直径线； ◆ 倾斜对称面投影为以基圆直径为弦的大圆弧。
作图时对称面用实线表示。
右图为立方体的九个对称面的极 射赤平投影图
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2、对称轴（Ln）
• 对称轴是通过晶体中心的一根假想直线， 晶体围绕此直线旋转一定角度后，相同的 晶面、晶棱、角顶能重复出现。
晶族名称
晶系名称 对称特点
高级晶族(有数个高次轴) 等轴晶系 有四个L3
对称型种类
28. 3L24L3 29. 3L24L33PC 30. 3L24L36P 31. 3L44L36L2 32. 3L44L36L29PC
晶体分类的实际意义很大。我们知道绝大多数矿物都是 晶体。高、中、低三个晶族的矿物，不仅在形态上各有特点， 而且在物理性质上也截然不同。七个晶系的矿物，在形态和 物理性质上也有明显的差异，掌握各晶族、晶系的对称特点， 是对矿物进行鉴定和研究必须具备的基础知识。
对称型种类
三斜晶系
无对称面 无对称轴
低级晶族(无高次轴) 单斜晶系 L2或P不多于1
斜方晶系 L2或P多于1
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1. L1 2. C 3. L2 4. P 5. L2PC 6. 3L2 7. L22P 8. 3L23PC
晶族名称
晶系名称 对称特点 四方晶系 有一个L4或L4i
中级晶族(只有一个高次轴) 三方晶系 有一个L3
六方晶系 有一个L2或L6i
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对称型种类
9. L4 10. L44L2 11. L4PC 12. L44P 13. L44L25PC 14. L4i 15. L4i2L22P
16. L3 17. L33L2 18. L33P 19. L3C 20. L33L23PC
21. L6i 22. L6i3L33P 23. L6 24. L66L2 25. L6PC 26. L66P 27. L66L27PC
其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型 共有32种。
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3、晶族(crystal druse)和晶系(crystallization system)
晶体按其对称型中有无高次轴及高次轴的多少划分为对称程度高低 不同的三个晶族。每个晶族又按其对称特点划分为若干晶系。
三十二种对称型及晶体分类表
晶族名称
晶系名称 对称特点
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2、定理二：若有一个二次轴L2垂直于Ln， 则必
有n个L2垂直于Ln。 即：Ln＋L2⊥→Lnn L2
3、定理三：若有一个P垂直于偶次对称轴L2n，交
点必为对称中心C。 即：L2n＋P⊥→L2nPC
推论：⑴ 偶次对称轴和垂直于它的对称面以及对称中心
三者之中，任意两者结合，必可导出第三者 ⑵ 若晶体存在对称中心，偶次对称轴的数目，必
应用时，只考虑Li4和Li6。图示符号分别为“□” 和“ ”。
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5、旋转反映轴（Lsn）
• 也是一根假想的直线，相应的操作为旋转加反 映的复合操作。图形围绕它旋转一定角度后， 并对垂直它的一个平面进行反映，可使图形的 相等部分重复。
▪ 旋转反映轴的作用可以由旋转反伸轴来代替：
Ls1＝P＝Li2；
● 晶体的多面体形态，是其格子构造在外形上的直接 反映。晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列 及结点相对应。
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2、均一性：由于晶体是具有格子构造的固体，在同一晶
体的各个不同部分，质点的分布一样，故晶体的各部
分的物理化学性质相同。
注意：非晶体也具有均一性。但是非晶体不具格子构造其 均一性是统计的、平均近似的均一，称为统计均一 性；而晶体均一性取决于格子构造，称为结晶均一 性。两者有本质区别。
晶体的对称
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一、对称的概念及晶体对称的特点
1、对称的概念：物体相同部分有规律的重复。
对称的条件：⑴ 有相同部分； ⑵ 这些相同部分有规律地重复。
蝴蝶和花冠的对称
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不对称的图形
2、晶体对称的特点
• 所有晶体都是对称的。 • 晶体对称受格子构造的严格控制。 • 晶体对称不仅表现在外部形态上，而且表
现在性质上。 总之，由于晶体具有格子构造，因此
3、异向性：同一晶体的格子构造 中，在不同方向上质点的排列 一般不同，晶体的性质也就随 着方向的不同而有所差异。如
A BB
A
AA： 4～4.5
BB： 6～7
蓝晶石的硬度、云母的解理、
石英折射率等。
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蓝晶石晶体的硬度
4、对称性：是指某种相同的性质在不同的方向或位置上 作有规律地重复。对称性是晶体非常重要的性质，也 是晶体分类的基础。
• L2、L3、L4和L6的作图符号分别为 ■、 。
、▲、
• 轴次高于2的对称轴称为高次轴。
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晶体中对称轴举例
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晶体对称定律: 在晶体中不可能存在五次及 高于六次的对称轴。因为不符合空间格 子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地 布满整个平面。
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在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有一或 多种对称轴，而每一种对称轴也可有一或多个
当n为偶数时，Lni＋L2⊥或Lni＋P∥→Lnin/2L2⊥n/2P∥
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四、对称型及晶体的分类
1、定义：结晶多面体中全部对称要素的组
合，称为该结晶多面体的对称型 由于在结晶多面体中，全部对称要素相交 于一点(晶体几何中心),在进行对称操作时
该点不移动，所以对称型也称为点群。
2、对称型的推导
根据结晶多面体中可能存在的对称要素及
• 图中可见，立方体的L4、L3和L2分别是四、三 和两个对称面的交线，其赤平投影点落于对称 面投影的交点上。
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3、对称中心（C）
• 对称中心：是晶体内部的一个假想点，通过该点 作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的 两端，必定可以找到对应点。
• 相应对称操作：对一个点的反伸（倒反）。
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❖ 对称中心以字母C表示, 图示符号为“o”或 “C”表示。
I＝P
F＝P
单 斜 晶 系
单斜原始格子
单斜底心格子
I＝C
F＝C
斜 方 晶 系
斜方原始格子
斜方底心格子
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斜方体心格子
斜方面心格子
续表
四 方 晶 系
四方原始格子
C＝P
四方体心格子
三
方 晶 系
与本晶系 对称不符
I＝P
三方菱面体格子（标记为R）
三 、 六 方 晶 系
六方和三方原始格子
不符合六 方对称
与空间格子 条件不符
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⑵ 按平行六面体中结点的分布情况划分的类型 原始格子：结点分布于角顶 底心格子：除角顶外，还有一对面的中心
体心格子：除角顶外，还有体心 面心格子：除角顶外，还有各面中心
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表
十四种空间格子(布拉维格子)
原始格子（P）
三 斜 晶 系
三斜原始格子
底心格子（C） 体心格子（I） 面心格子（F）
C＝P
5、最小内能：在相同的热力学条件下晶体与同种物质的 非晶质体、液体、气体相比较，其内能最小。
6、稳定性：由于晶体具有最小内能，因而结晶状态是一 个相对稳定的状态，质点只在其平衡位置上振动。 ◆非晶体不稳定，有自发地向晶体转化的趋向。 ◆晶体和非晶体在一定条件下是可以相互转化的。
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