2020高考数学专题复习不动点在数列中的应用

不动点在数列中的应用
在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子。

用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.
1求数列的通项公式
定理1 已知数列{}n x 满足()()d
cx b
ax x f x f x n n ++==-,1 ,其中0,0≠-≠bc ad c ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
-p x n 1是一个等差数列. 证明 因为p 是()x f 唯一的不动点，所以p 是方程d
cx b
ax x ++=
，亦即p 是一元二次方
程()02
=--+b x a d cx 的唯一解.得
ap cp pd b c
d
a p -=--=
2,2 所以
()()()()
d
cx p x pc a d
cx ap
cp x pc a d cx pd b x pc a p d cx b ax p x n n n n n n n n n +--=
+-+-=
+-+-=-++=---------111211111
()()()()p
x cp a cp d pc a c p
x cp d p x c pc a p x pc a d cx p x n n n n n n --++
-=-++--=
--+=------111111
11
把 c
d
a p 2-=
代入上式，得: p
x d a c p x n n -+
+=--11
21
令 d a c
k +=
2，可得数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列{}n x 的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.
例1 若1
121,1--=
-=n n a a a （*
N n ∈，且2≥n ）求数列{}n a 的通项公式.
解 根据迭代数列1
21
--=
n n a a ，构造函数()x x f -=21，易知()x f 有唯一的不动点
1=p ，
根据定理 可知2,1,1,0=-===d c b a ， 则
1
11111-+
-=--n n a a 即数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧-11n a 是以首项21
-，公差为1-的等差数列.则对应的通项公式为
()()n n a n -=--+-=-2
1
112111 解得n
n
a n 2123--=
又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为n
n
a n 2123--=
. 对于此类形式的数列，已知数列{}n x 满足()()d
cx b
ax x f x f x n n ++=
=-,1 ,其中
0,0≠-≠bc ad c ，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-11n a 是
以首项1a ，公差为
d
a c
+2的等差数列.
推论 已知数列{}n x 满足()()b ax x f x f x n n +==-,1 ,其中0≠a ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列{}p x n -是一个公比为a 等比数列
例2 若32,111+=-=-n n a a a ，（*N n ∈，且2≥n ），求数列{}n a 的通项公式.
解 根据迭代数列321+=-n n a a ，构造函数()32+=x x f ，易知()x f 有唯一的不动点3-=p ，
根据推论 可知3,2==b a ， 则
()()()3231--=---n n a a
所以()3231+=+-n n a a
所以{}3+n a 是以231=+a 为首项，2为公比的等比数列， 则当2≥n 时，有n n a 23=+， 故32-=n n a 又11-=a 也满足上式.
所以{}n a 的通项公式为32-=n n a .
在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知1a 及递推公式，求数列()n n a f a =+1的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.
2 数列的有界性
在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳
法证明.
例
3 函数()x x x x f ln -=.数列
{}n a 满足()n n a f a a =<<+11,10．证
明:11<<+n n a a ．
分析 函数()x x x x f ln -=的不动点是1=x 显然此题就是要证明数列向不动点1=x 收敛
证明 当()1,0∈x 时，()0ln '
>-=x x f ，所以()x f 在区间()1,0内是增函数；又
101<<a ，所以
()()11ln 111121=<-==<f a a a a f a a ；
假设k n =时有11<<+k k a a ，因为()x f 是增函数()1,0∈x ，所以
()()()111=<<+f a f a f k k ，即121<<++k k a a ，当1+=k n 时结论也成立．故原不等式成
立
这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.
例4 已知数列{}n a 中，n
n a c a a 1,111-==+，求使不等式31<<+n n a a 成立的c 的取值范围.
解:该数列应该是向其某个不动点收敛.不妨设该不动点为0x ，则有310≤<x ，即方程
()x x f =在(]3,1有一个实根．我们继续用不动点的思路方法解决该问题.
因为31<<+n n a a 对任意自然数都成立，所以首先应有321<<a a ，可得42<<c ． 设()x
c x f 1
-
=，则()x f 是增函数，()+∞∈,0x . 令()x x f =，即01,1
2=+-=-
cx x x x
c .当2>c 时，该方程有2个不等的实数根．设
为
2121,,x x x x <，由韦达定理121=x x ，可知211x x <<只要让32≤x 即可.
令()()3
1003,12
≤
⇒≥+-=c g cx x x g . 即当310≤
c 时，()x f 在(]3,1上存在不动点0x (0x 就是2x )所以c 的取取范围是⎥⎦
⎤ ⎝⎛310,2.再用数学归纳法证明结论的正确性：
因为310≤<x 且()x c x f 1-
=在()+∞,0是增函数，所以当3
10
2≤<c 时， 有()()002111x f x f a a =<=<=.
假设k n =时，有301≤<<+x a a k k ．因为()x f 是增函数，故()()()01x f a f a f k k <<+，即021x a a k k <<++，当1+=k n 时结论也成立，所以当c 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎝⎛310,
2时， ()x
c x f 1
-
=有在区间(]3,1内的不动点0x ，数列{}n a 单调递增向该不动点收敛. 3 数列的单调性及收敛性
近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐，如求数列的通项公式，利用不动点研究数列的单调性等等．下文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．
3.1 关于数列单调性、收敛性的重要结论
定义1 设R I f →:，其中I 是R 的一个区间，数列{}n x 由a a =1和递推关系
()n n x f x =+1来定义.则数列{}n x 称为递推数列.()x f 称为数列{}n x 的特征函数，()
x f x =称为数列{}n x 的特征方程，a x =1称为初始值.
若设f 是连续的，若{}n x 收敛而且有极限0x ，()()010lim lim x f x f x x n n ===+.因此问题就变为寻找方程 ()x f x =解(即f 的不动点)，并验证数列是不是收敛于数 0x ．
定理 2设f 是定义在I 上的一个压缩映射，则由任何初始值[]b a x ,1∈和递推数列。