2020高考数学专题复习不动点在数列中的应用

不动点在数列中的应用

在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子。

用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.

1求数列的通项公式

定理1 已知数列{}n x 满足()()d

cx b

ax x f x f x n n ++==-,1 ,其中0,0≠-≠bc ad c ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧

-p x n 1是一个等差数列. 证明 因为p 是()x f 唯一的不动点，所以p 是方程d

cx b

ax x ++=

，亦即p 是一元二次方

程()02

=--+b x a d cx 的唯一解.得

ap cp pd b c

d

a p -=--=

2,2 所以

()()()()

d

cx p x pc a d

cx ap

cp x pc a d cx pd b x pc a p d cx b ax p x n n n n n n n n n +--=

+-+-=

+-+-=-++=---------111211111

()()()()p

x cp a cp d pc a c p

x cp d p x c pc a p x pc a d cx p x n n n n n n --++

-=-++--=

--+=------111111

11

把 c

d

a p 2-=

代入上式，得: p

x d a c p x n n -+

+=--11

21

令 d a c

k +=

2，可得数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列{}n x 的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.

例1 若1

121,1--=

-=n n a a a （*

N n ∈，且2≥n ）求数列{}n a 的通项公式.

解 根据迭代数列1

21

--=

n n a a ，构造函数()x x f -=21，易知()x f 有唯一的不动点

1=p ，

根据定理 可知2,1,1,0=-===d c b a ， 则

1

11111-+

-=--n n a a 即数列⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧-11n a 是以首项21

-，公差为1-的等差数列.则对应的通项公式为

()()n n a n -=--+-=-2

1

112111 解得n

n

a n 2123--=

又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为n

n

a n 2123--=

. 对于此类形式的数列，已知数列{}n x 满足()()d

cx b

ax x f x f x n n ++=

=-,1 ,其中

0,0≠-≠bc ad c ，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-11n a 是

以首项1a ，公差为

d

a c

+2的等差数列.

推论 已知数列{}n x 满足()()b ax x f x f x n n +==-,1 ,其中0≠a ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列{}p x n -是一个公比为a 等比数列

例2 若32,111+=-=-n n a a a ，（*N n ∈，且2≥n ），求数列{}n a 的通项公式.

解 根据迭代数列321+=-n n a a ，构造函数()32+=x x f ，易知()x f 有唯一的不动点3-=p ，

根据推论 可知3,2==b a ， 则

()()()3231--=---n n a a

所以()3231+=+-n n a a

所以{}3+n a 是以231=+a 为首项，2为公比的等比数列， 则当2≥n 时，有n n a 23=+， 故32-=n n a 又11-=a 也满足上式.

所以{}n a 的通项公式为32-=n n a .

在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知1a 及递推公式，求数列()n n a f a =+1的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.

2 数列的有界性

在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳

法证明.

例

3 函数()x x x x f ln -=.数列

{}n a 满足()n n a f a a =<<+11,10．证

明:11<<+n n a a ．

分析 函数()x x x x f ln -=的不动点是1=x 显然此题就是要证明数列向不动点1=x 收敛

证明 当()1,0∈x 时，()0ln '

>-=x x f ，所以()x f 在区间()1,0内是增函数；又

101<

()()11ln 111121=<-==

假设k n =时有11<<+k k a a ，因为()x f 是增函数()1,0∈x ，所以

()()()111=<<+f a f a f k k ，即121<<++k k a a ，当1+=k n 时结论也成立．故原不等式成

立

这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.

例4 已知数列{}n a 中，n

n a c a a 1,111-==+，求使不等式31<<+n n a a 成立的c 的取值范围.

解:该数列应该是向其某个不动点收敛.不妨设该不动点为0x ，则有310≤

()x x f =在(]3,1有一个实根．我们继续用不动点的思路方法解决该问题.

因为31<<+n n a a 对任意自然数都成立，所以首先应有321<

c x f 1

-

=，则()x f 是增函数，()+∞∈,0x . 令()x x f =，即01,1

2=+-=-

cx x x x

c .当2>c 时，该方程有2个不等的实数根．设