22_预应力箱梁截面特性值及扭转剪应力的计算验证

1. 概要
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目前许多设计程序在计算预应力箱梁的特性值时，或仅提供部分特性值，或省略加腋承托部 分和悬臂部分，按封闭截面的公式计算特性值。但是对于非对称截面或风荷载容易引起较大扭矩 的桥梁结构中，抗扭惯性矩是抵抗扭矩作用的一个比较重要的参数，因此提供准确的抗扭特性值 在结构分析中是非常重要的。
⎢ ⎣
3
− 3.36 b a
⎛ ⎜1 ⎝
−
b4 12a4
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
(且 a≥b)
图8. 实心截面的抗扭惯性矩
截面形状 1.矩形管(箱型)
抗扭惯性矩
截面形状 2.圆管
抗扭惯性矩
I xx
=
2(b × h)2
⎛ ⎜⎜⎝
b tf
+h tw
⎞ ⎟⎟⎠
I xx
=
⎡
1 2
π
⎢⎛ ⎢⎢⎢⎣⎜⎜⎝
Do 2
⎞4 ⎟ ⎟⎠
下面是一些标准截面形式的抗扭惯性矩的计算公式。
8
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截面形状 1.实心圆型
抗扭惯性矩
截面形状 2.实心方形
抗扭惯性矩
I xx
=
1 πr2 2
Ixx = 2.25a4
3.实心矩形
I xx
=
ab3
⎡16
2
(
2r
+
b)(
2r
+
d
)
⎤ ⎦
(且 b < 2(d + r))
Ixx = I1 + I2 + α D4
I1
=
ab3
⎡ ⎢ ⎣
1 3
−
0.21
b a
⎛ ⎜1 ⎝
−
b4 12a4
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
I2
=
cd
3
⎡1
⎢ ⎣
3
−
0.105
d c
⎛⎜1 − ⎝
d4 192c4
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
α
=
t t1
⎛ ⎜⎝
图3. 标准型钢库截面对话框
4
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3) 任意截面的特性值
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对 于 MIDAS/Civil的截面数据中未提供的截面 ， 程序提供了截面特性值计算器SPC(Section Property Calculator)。图4显示的是使用SPC计算的钢混叠合梁的截面特性。目前SPC仅提供截面 的面积、抗弯惯性矩、抗扭惯性矩、中和轴位置、有效抗剪面积等特性值参数。
3.2 抗扭惯性矩(IXX : Torsional Constant) 抗扭惯性矩是抵抗扭矩的刚度，按下列公式表示。
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Ix
=
T φ
,
Ix
=
GIxx L
(1)
在此 Ix : 抗扭刚度(Torsional Resistance) Ixx : 抗扭惯性矩(Torsional Constant) T : 扭矩(Torsional Moment or Torque)
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如下图1的①所示，MIDAS/Civil中提供数据库标准截面、用户自定义截面、SRC截面、型钢组 合截面、PSC预应力截面、变截面、联合截面等多种样式的截面。定义截面的特性值可在“显示截 面特性值”中查看。图1中的②显示的是抵抗内力的刚度(Stiffness)值，③中显示的是用于计算 中和轴和应力的特性值。
Asy = 2 × B × t f Asz = 2 × H × tw
6. 薄壁圆管型
Asy = π × r × tw Asz = π × r × tw
Asy = 0.9π r 2 Asz = 0.9π r 2
8.实心方型
Asy
=
5 6
BH
Asz
=
5 6
BH
图6. 各种标准截面的有效剪切面积
6
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厚壁开口截面的抗扭惯性矩一般是将截面分割成许多的矩形后使用下列公式计算。
∑ Ixx = ixx
ixx
=
ab3
⎡16 ⎢ ⎢⎣ 3
− 3.36
b a
⎛ ⎜1 − ⎝
b4 12a 4
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎥⎦
且a≥b
(2)
在此 ixx : 矩形分割截面的抗扭惯性矩 2a : 分割截面长边边长 2b : 分割截面短边边长
下面简单介绍程序中提供的截面特性值的四种计算方法，并通过将程序计算的截面特性值与 其他两个通用程序结果的比较，以及通过与用实体单元建立的模型精密分析的结果的比较，验证 其精确性。
2
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2. MIDAS/Civil中截面刚度计算方法
①
② ③
图1. 预应力箱梁截面特性值
MIDAS/Civil中提供的截面特性值有下列四种。
用户自定义截面的特性值 标准截面的特性值 任意截面的特性值 桥梁结构中的预应力箱型截面的特性值
3
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1) 用户自定义截面的特性值
0.15
+
0.10
r b
⎞ ⎟⎠
(b + r )2 + rd + d 2
D=
4
(2r + b)
(且 d < 2(b + r))
角钢 1
可看作两个角钢之和
角钢 2
4. I型
Tee1
Tee2
如果 b<d : t=b, t1=d 如果 b>d : t=d, t1=b
I xx = 2I1 + I2 + 2α D4
(a) 由闭合截面和开口截面组成的截面
(b) 由两个闭合截面组成的截面 图12. 由两个以上截面构成的截面的抗扭惯性矩
- 图12(a)的闭合部分(阴影部分)的抗扭惯性矩
IC
=
2(b1 ×
⎛ ⎜
b1
+
h1)2
h1
⎞ ⎟
(4)
⎝ tf tw ⎠
- 图12(a)的开口部分(悬臂翼缘)的抗扭惯性矩
IO
=
2
⎡ ⎢⎣
抗扭惯性矩
Ixx = I1 + I2 + α D4
I1
=
ab3
⎡ ⎢ ⎣
1 3
−
0.21
b a
⎛⎜1− ⎝
b4 12a4
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
I2
=
cd
3
⎡ ⎢ ⎣
1 3
−
0.105
d c
⎛ ⎜1
−
⎝
d4 192c4
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
α
=
d b
⎛ ⎜⎝
0.07
+
0.076
r b
⎞ ⎟⎠
D
= 2 ⎡⎣d + b + 3r −
Ixx
=
2(b1 × h1)2
⎛ ⎜ ⎝
b1 tf
+
h1 tw
⎞ ⎟ ⎠
(7)
当外部悬臂翼缘的抗扭惯性矩相对于全体截面的抗扭惯性矩较大不能忽略时，应考虑开口部 分的截面惯性矩。
13
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⎛
−⎜
⎜ ⎝
Di 2
⎞4 ⎟ ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
图9. 薄壁闭合截面的抗扭惯性矩
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截面形状 1.角钢型
2. T型
如果 b<d : t=b, t1=d 如果 b>d : t=d, t1=b 3. 槽型
同样剪切面积作为抵抗剪切变形的特性值，在预应力箱梁的分析中也是重要的参数之一，而 目前许多设计程序不提供预应力箱梁和任意截面的有效剪切面积。
另外，一般的通用的有限元程序，虽然能给出上述截面特性值，并给输出预应力箱梁由轴力、 剪力、弯矩引起的应力值，但很少有软件提供扭矩引起的剪应力。
在MIDAS/Civil Ver.6.7.0中，程序采用了新的计算方式，可以提供考虑预应力箱梁加腋承托 部分和悬臂部分的较为准确的抗扭惯性矩(Ixx)和有效剪切面积(Asy、Asz)，并提供弯矩、轴力、 剪力和扭矩引起的应力。
截面形状 1. 角钢型
有效剪切面积
Asy
=
5 6
B×tf
Asz
=
5 6
H
× tw
截面形状 2. 槽钢型
有效剪切面积
Asy
=
5 6
(2
×
B
×
t
f
)
Asz = H × tw
3. I型
4. T型
Asy
=
5 6
(2
×
B
×
t
f
)
Asz = H × tw
Asy
=
5 6
(B × t f
)
Asz = H × tw
5. 薄壁方管型 7. 实心圆型
3. 有效剪切面积和抗扭惯性矩
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3.1 有效剪切面积(Asy、Asz : Effective Shear Area)
有效剪切面积用于抵抗计算截面剪力引起剪切变形，所以当不输入该值时，则程序不计算相 应方向的剪切变形。图6为标准形式截面的有效剪切面积计算公式。
Asy : 抵抗沿单元坐标轴y轴作用的剪力的有效剪切面积 Asz : 抵抗沿单元坐标轴z轴作用的剪力的有效剪切面积
I1
=
ab3
⎡1 ⎢⎣ 3
−
0.21
b a
⎛ ⎜1− ⎝
b4 12a 4
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
I2
= 1 cd 3 3
α
=
t t1
⎛ ⎜⎝
0.15
+
0.10
r b
⎞ ⎟⎠
(b + r )2 + rd + d 2
D=
4
(2r + b)
(且 d < 2(b + r))
图10. 厚壁开口截面的抗扭惯性矩
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图2显示的是有加劲肋的箱型截面的截面特性值，如图所示用户只需输入基本的几何数据，程 序就会自动计算其特性值，其中有效剪切面积(Asy、Asz)和抗扭惯性矩(Ixx)是按图6~图11中的公 式计算的。
2) 标准截面的特性值
图2. 用户定义截面对话框
图3显示的是标准H型钢的数据库截面的特性值，像H型钢这样有工厂轧制成型的标准截面，程 序中提供了14个国家和地区的数据库，其中的截面特性值，包括有效剪切面积(Asy、Asz)和抗扭 惯性矩(Ixx)均采用的是各国标准型钢库中值。
1 3
(
2b
−
b1
−
tw
)×
t
w
3
⎤ ⎥⎦
(5)
- 图12(a)的抗扭惯性矩
Ixx = IC + IO
(6)
12
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如图12所示有两个闭合截面组成的截面的抗扭惯性矩的计算方法如下。
当外部悬臂翼缘的抗扭惯性矩相对于全体截面的抗扭惯性矩较小可忽略不计时，可按外部闭 合截面考虑，按下面公式计算抗扭惯性矩。
薄壁闭合截面的抗扭惯性矩的计算公式如下(参见图7)。
v∫ Ixx =
4A2 ds / t
(3)
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在此 A : 闭合截面中心线围成的截面面积。 dS : 任意位置闭合截面中心线段。 t : 任意位置的壁厚
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φ : 扭转角度(Angle of Twist)
如上面公式所示，抗扭惯性矩是抵抗扭转的刚度参数，与计算由扭矩引起的剪切应力所使用 的极惯性弯矩(Polar Moment of Inertia)是不同的概念。但是圆形截面或壁厚较大的圆管截面二 者的数值相等。
如公式(1)所示，抗扭刚度与构件长度成反比，与剪变模量和抗扭惯性矩成正比。抗扭惯性矩 是计算抗扭刚度的重要参数，开口截面和封闭截面的计算方法不同，壁厚较厚和壁厚较薄截面的 抗扭惯性矩的计算方法也是相差较大，能适用于所有截面形式的通用计算公式是不存在的。
图4. 使用SPC计算截面特性
4) 预应力箱型截面
很多程序使用图5中的封闭截面的公式，不考虑悬臂和加腋部分简化计算预应力箱型截面的特 性值。MIDAS/Civil Ver.6.7.0内涵了可考虑悬臂和加腋部分精确计算特性值的计算内核。 .
图5. 预应力箱型截面形状
悬臂翼缘 封闭截面 加腋
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截面形状 1. 角钢型 2. 槽型 3. I型 4. T型 5. 不等翼缘I型
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抗扭惯性矩
( ) Ixx
=
1 3
h
×
tw3
+
b
×
t
3 f
( ) Ixx
=1 3
h
×
tw3
+
2
×
b
×
t
3 f
( ) Ixx
=
1 3
h × tw3
+
2×b×
t
3 f
( ) Ixx
=
1 3
h × tw3
∫ 抗扭惯性矩 : I xx =
4 A2 ds / ts
任意点的应力 :
T τT = 2 Ats
ts : ᥅᣾ᨨ᧣᎞ἠ
图7. 薄壁闭合截面的抗扭惯性矩和剪应力
因为预应力箱梁大部分属于厚壁闭合截面(翼缘厚大于腹板间距的1/10，腹板厚大于腹板高 度的1/10)，上面两种方法均不能适用，也有一些用户综合考虑两种方法计算抗扭刚度，但不能 说是精密的计算方法。在MIDAS/Civil 6.7.0版本中，通过内部细部分析的方法，通过确定抗扭 刚度计算抗扭惯性矩。
+
b
×
t
3 f
( ) Ixx
=
1 3
h
×
tw3
+
b1
×
t
f
3 1
+
b2
×
t
f
3 2
图11. 薄壁开口截面的抗扭惯性矩
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由两个及以上标准截面组合而成的截面，抗扭惯性矩可取各部分的抗扭惯性矩之和。如图12 (a)所示截面可取中间闭合截面的抗扭惯性矩和四个开口截面的抗扭惯性矩之和。