导数小结与复习

3、求导法则 f x g x f x g x f x g x f xgx f xgx
cf x


cf x
f x g x f x g x f x g x 0 g x 2 g x
变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好垂直于直 线y=11x－1，则P点坐标为 ____________, 切线方程为_____________________．
5.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 分析: y 2 cos x 1,3
2
3.已知
f x x 2xf
2
则 1,

f 1 ( -2
f 0 ( -4 )
)
4.已知曲线C：y=x3－x+2和点(1,2) 求在点A处的切线方程？
变式1：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 或(－ 1, 2) 线y=11x－1，则P点坐标为 (1,2) ____________, y=2x 或 y=2x+4 切线方程为_____________________ ．
f x 3ax2 2bx c ,所以
m 3 m 3 3 2 a , b m, c 2m . f x x x 2mx , 由 3 2 3 2 m 3 f 1 5 ,即 2m 5 ,得 m 6 . 两年北京导 3 2
所以 a 2, b 9, c 12 .
数题,感想如 何?
• 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f (x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， ∴ f (0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f (x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
2 由已知 f a 4 3
课堂练习: 1.直线运动的物体位移
2
与时间 t 的关系是 s 3t t 则它的初 速度为（ B ） A .0 B .3 C. 2 D. 3 2t
1 2.函数 f x sin 4 x
s

,则 f 1 (
B)
A.0 C. 2 1
2
B . -1 D . 2 1
第三章
导数及其应用复习小结
本章知识结构
函数的瞬时变化率
导数概念
曲线的切线斜率
基本初等函数求导
导数
导数运算
导数的四则运算法则 函数单调性研究
导数应用
函数的极值、最值
实际问题
1、导数的概念
f x0 lim f x0 x f x0 y lim x x x
x 0
3 2
y
O
1
2
x
解法一 :（ Ⅰ ）由图象可知 ,在 ,1 上 f x 0 , 在 1, 2 上
f x 0 ,在 2, 上 f x 0 , 故 f x 在 x 1 处取得极
大值,所以 x0 1 .
（Ⅱ）f x 3ax2 2bx c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 ,
首先注意定义域, 其次区间不能用或(U)连接.
5.函数的极值
极大值
f x 0
极小值 f x 0
如果对 x0 附近的所有的点，都有 f x f x0 ， f x0 是函数f(x)的一个极大值, x0是极大值点.
王新敞
奎屯 新疆
1.极大值：
王新敞
奎屯 新疆
2.极小值： 如果对 x0 附近的所有的点，都有 f x f x0 f x0 是函数f(x)的一个极小值, x0 是极小值点.
6.若函数 y
x ax有三个单 调区间,则的范围是 a 0
3
7.设f x 是函数f(x)的导函数,y= f x 的图 象如左图所示,则y=(x)的图象最有可能
的是(
y
C)
y
O
y 1
2
x O y
f x
1 y
2
x O
1
(B) 1 2
2
x
(A)
2
1
O
O
x
x
(C)
解： （Ⅰ）f x 3x2 6x 9 .令 f x 0 ,解得 x 1 或
x 3 ,所以函数 f x 的单调递减区间为 , 1 , 3, ．
11 （ 06 北 京 16 ） 已 知 函 数
f ( x) ax bx cx 在 点 x0 处 取 得极大值 5 ,其导函数 y f ( x) 的图 象经过点 (1,0) , (2, 0) ,如图所示 .求 : （Ⅰ ） x0 的值 ; （Ⅱ ） a, b, c 的值.
导数的物理意义： 在 导数的几何意义：
x0 处的瞬时变化率（瞬时速度）
这一点处的导数即为这一点处切线的斜率
k f x0
2、几种常见函数的导数公式
c
n
0
（c为常数）
n 1
（x ） nx （n Q） （sin x） cos x ，（cos x） sin x 1 1 （ln x） ，（loga x） x ln a x x x x （e ） e ， （a ） a x ln a
8 3 4 3 即 a a 4 27 9 解得a=-3
小结：
1. 利用导数的几何意义求切线的斜率；
•导数的应用主要表现在：
2. 求函数的单调区间，只要解不等式f(x) ＞0或f(x)＜ 0即可；
3. 求函数f(x)的极值，首先求f `(x),在求f `(x)=0的根， 然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定； 4. 函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x)在（a,b） 内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中 最大的是最大值，最小的为最小值。
4.函数的单调性:
一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内
y
y=f(x)
f '(x)>0
y
y=f(x)
f '(x)<0
o
a
b
x
o a
b
x
f x 0
f x 增函数
f x 0
f x 减函数
如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
(D)
8. f x 是f（x）的导函数，f/（x）的图象 如下图,则f（x）的图象只可能是（ D ）
A
B
C
D
9.（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1 处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的
单调区间。 分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1 且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求 函数单调区间的方法，求出单调区间 。
3a 2b c 0, 得 12 a 4b c 0, 解得 a 2, b 9, c 12 . a b c 5.
解法二: （Ⅰ）同解法一. （ Ⅱ ） 设 f x m x 1 x 2 mx2 3mx 2m , 又
注：导数等于零的点不一定是极值点．
6.函数的最值
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连 续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x1)
y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4
x3
b x
f(xห้องสมุดไป่ตู้)
f(x)在[a,b]上的最值求法：
①求出f(x)在(a,b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最 大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
略解：
f (1) 1 a ' f (1) 0
1 3
,b 1 2
单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞） 单间区间为（-1/3，1）
10．(05 北京 15)已知函数 f x x 3x 9x a .
3 2
（Ⅰ ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ ） 若 f x 在区间 2, 2 上的最大值为 20,求它在该 区间上的最小值．