1.分式基本概念和计算

分式基本概念和计算

1. 分式的基本概念

一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B

A

叫做分式，A 为分子，B 为分母。 2. 与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨

⎧≠=0

B A ）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩

⎨⎧<<00

B A ）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0

B A ）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

3. 分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：

C B C ••=

A B A ，C

B C

÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

B

B A B B --

=--=--=A

A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件

B ≠0。 4. 分式的通分与约分

（1）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

注：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

（2）最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

（3）确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 （4）分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 （5）最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 5. 分式的加减

同分母分式的加减（这是重点）

异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后再加减. 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.

注意：异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算，转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强，运算时要用到前面的一系列知识，如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为： ①通分：将异分母的分式化成同分母的分式； ②写成“分母不变，分子相加减”的形式； ③分子去括号，合并同类项；

④分子、分母约分，将结果化成最简分式的形式. 6. 分式的乘除

分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

d

b c

a d c

b a ••=

• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

c

c ••=

•=÷b d

a d

b a d

c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n

n n

b a b a =⎪⎭

⎫

⎝⎛

1.理解分式的概念；理解“分式什么时候有意义”与”分式什么时候值为零“；

2.掌握分式的性质；区别“约分“与“通分”；会进行乘除运算；

3.分式的加减乘除计算。

（基本概念）例1、在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？

，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，323a a a +

（分式有意义条件）例2、x 为何值时，分式 有意义？

（分式值为0）例3．若分式，则x 的值为（ ）

A ． 2

B ． ±2

C ．

D ．

﹣1

（分式基本性质）例4.果把分式中的m 和n 都扩大2倍，那么分式的值（ ）

A ．不变

B ．扩大2倍

C ．缩小2倍

D ．扩大4倍

（分式基本性质）例5．下列各式变形正确的是（ ）

A. x y x y

x y x y -++=--- B.

22a b a b

c d c d

--=

++ C. 0.20.03230.40.0545a b

a b

d d c d --=++ D. a b

b a

b c c b --=

--

（分式化简）例6.化简293

()33a a a a a

++÷

--的结果为（ ） A ．a B ．a - C ．()2

3a + D ．1

例7. 约分：（1）22211a a a ++-； （2）23

224n m mn n

--；

通分：（3）232a b 与2a b ab c -； （4）12x +，244x x -，22

x -．

2132

x x -+