福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题一
本复习题页码标注所用教材为：
高等代数
19.50
主
张禾瑞、郝丙新
2007年第5版
高等教育出版社
书
如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ）
() ()k k k A AB A B =； ()B kA k A =；
22()
()()C A B A B A B -=-+； ()D AB A B =。

考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181； 行列式的性质，参见P113； 矩阵乘积的行列式，参见P197； 2.设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）
(A ) 行列式与它的转置行列式相等； (B ) D 中两行互换，则行列式不变符号； (C ) 若0=D ，则D 中必有一行全是零； (D ) 若0=D ，则D 中必有两行成比例。

考核知识点：行列式的性质，参见P111-113； 3．设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ）
(A ) A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； (B )A 中每个r 阶子式都不为零； (C ) A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； (D )A 中肯定有不为零的r 阶子式。

考核知识点：矩阵秩的定义，参见P151-152；
4．关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） (A ) ()()()()()()
n
n
n
x g x f x g x f
,,=；
(B )()()
()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； (C ) ()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；
(D )若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。

考核知识点：多项式最大公因式的定义和相关性质，参见P38-46；
5．设{
}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ） (A )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有
∑=≠m
i i
i k 1
0α
；
(B )任一组数m k k k ,,,21 ，有
∑==m
i i
i k 1
0α
；
(C )当021====m k k k 时，有
∑==m
i i
i k 1
0α
；
(D )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有
∑==m
i i
i k 1
0α。

考核知识点：向量的线性无关的定义，参见P220；
二、填空题（共20分，每空4分）
1. 行列式1
11
1
11
11
x ---的展开式中x 的系数是__ _。

考核知识点：行列式依行依列展开（代数余子式），参见P121；
2. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则k = _。

考核知识点：向量的线性相关的定义，参见P220
3. 设A 为n 维非零行向量，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中所含解向量的个数是 。

考核知识点：齐次线性方程组的解空间的维数，参见P252；1
4. 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1031与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3021中，能够对角化的是 。

考核知识点：矩阵可以对角化的条件，P292-293； 5. 二次型⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=y x y x xy f 1023),()(的矩阵为 。

考核知识点：二次型的矩阵为实对称矩阵，参见P346-347；
三．（10分）计算1n +阶行列式：1231
2311
231
2
3
4
n n n n
x a a a a a x a a a D a a x a a
a a a a x
+= 考核知识点：依据行列式的性质计算行列式，参见P111-118； 四．（10分） 设向量组。

判断此向量组是线性相关还是
线性无关？并求向量组的秩及一个极大无关组。

考核知识点：判断向量组相关性的方法，参见P220-222；
利用初等变换求矩阵的秩及极大无关组，参见P248-249；
五．（10分）
如果(1)|()n x f x -，求证： (1)|()n n x f x -.
考核知识点：多项式的整除性，参见P31-37； 六．（15分）
当λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++2
32
1321
3211λλλλλx x x x x x x x x
有唯一解、无解、有无穷多解？在有无穷解时，求其通解。

考核知识点：线性方程组解的判别，参见P155-156； 七．（15分）
求矩阵110430102A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的特征值和特征向量。

考核知识点：矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；
福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题二
本复习题页码标注所用教材为：
高等代数
19.50
主
张禾瑞、郝丙新
2007年第5版
高等教育出版社
书
如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1. 若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（ ）
(A )维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； (B )维()21W W +=维()1W +维()2W ； (C )维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； (D )维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。

考核知识点：有限维子空间维数的关系，参见P233； 2． 设44⨯矩阵123123[,,,],[,,,]A B αγγγβγγγ==，其中123,,,,αβγγγ均为4维列向量，且3,2A B ==，
则A B +=（ ）。

(A ) 5； (B ) 20； (C ) 30； (D ) 40。

考核知识点：行列式的性质，参见P113-114； 3. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）
(A )合同的； (B )相似的； (C )相等的； (D )正交的。

考核知识点：线性变换与对应矩阵的关系，参见P272；
4、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ） (A )若()()γβγαβα=⇒=,,； (B )若βαβα=⇒=
；
(C )若()11,=⇒=ααα； (D )若()βα,>βα=⇒0。

考核知识点：向量内积和长度的性质，参见P299-302； 5、欧氏空间3R 中的标准正交基是（ ） (A ) ()0,1,0;21,0,21;21,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛； (B )()1,0,0;21,21;0,21,21⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛；
(C ) ()0,0,0;31,31,31;31,
31
,
3
1⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛； (D )()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1--- 考核知识点：标准正交基的定义，参见P308；
二、填空题（共20分，每空4分）
1．计算行列式111
2344916
= ；
12002
2001
2222
1
8
5
= 。

考核知识点：利用行列式性质计算行列式，参见P111-116；
行列式依行依列展开，参见P124；
2．当k = 时，向量()()111
1,,2，，与==βαk 正交。

考核知识点：向量正交的定义，参见P305；
3．设矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----76215342
4121
，则秩A= 。

考核知识点：利用初等变换求矩阵的秩，参见P248；
4. 设三阶方阵A 的特征值为1，2，3，则=A 。

考核知识点：矩阵的特征值与行列式的关系，参见P283；
三．（10分）
设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----3152
41213124021X ，求矩阵X 考核知识点：矩阵的逆矩阵的求法，参见P193-194； 四．（10分）
设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-+-=-+k
x x kx x kx x x x x 321
32132120221
（1）k 为何值时，方程组有唯一解、无解；
（2）k 为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。

考核知识点：线性方程组解的判别，参见P155-156； 五．（10分）
证明：有理数域上含有实数根1+2次多项式。

考核知识点：有理数域上的不可约多项式，参见P71-74； 六．（15分）
设二次型12341234(,,,)22f x x x x x x x x =+ (1)写出这个二次型的矩阵A ；
(2)求A 的特征值及其线性无关的特征向量；
(3)求一个正交线性替换X =TY ，将1234(,,,)f x x x x 化为标准形；
考核知识点：二次型和对阵矩阵的关系及二次性的标准形，参见P346-354；
矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；
七．（15分）
设A ，B 都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T ，使得1
T AT B -=的充分必要条件是A ，B 有相 同的特征值。

考核知识点：相似矩阵具有相同的特征值，参见P281；
实对称矩阵的对角化和正交矩阵的定义，参见P337和P319；
福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题三
本复习题页码标注所用教材为：
高等代数
19.50
主
张禾瑞、郝丙新
2007年第5版
高等教育出版社
书
如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点
一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1. 若矩阵A ，B 满足AB O =，则（ ）。

(A )A O =或B O =； (B )A O ≠且B O ≠； (C )A O =且B O =； (D )以上结论都不正确。

考核知识点：矩阵的乘法运算，参见P181；
2. 在欧几里得空间V 中，n ααα,,,21 为一正交向量组，则n ααα,,,21 一定是（ ） (A )线性无关； (B )线性相关； (C )正交单位向量组 ； (D )无法判断。

考核知识点：正交向量组的性质，参见P309；
3. 若矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=1111A 的特征根为0，2，则A 2的特征根为（ ）
(A )0，2 ； (B )0，4； (C )1，3 ； (D )0，3。

考核知识点：矩阵特征根的求法，参见P282；
4.在一个矩阵上添加两行或两列后，所得到的矩阵的秩（ ）
(A )不变； (B )增加1；
(C )增加2 ； (D )以上都不是。

考核知识点：矩阵秩的相关知识，参见P152；
5．设A 与B 是n 阶矩阵,A 与B 相似。

以下论断错误的是( ) (A )存在可逆矩阵P,使得AP P B 1
-= ； (B )B A det det ≠；
(C )A 与B 有相同的特征根 ； (D ) A 与B 有相同的特征多项式。

考核知识点：相似矩阵的关系，参见P281-283； 二、填空题（共20分，每空4分）
1．设44411
32145
111222454245513
D =，则212223A A A ++= ；2425A A += 。

考核知识点：代数余子式的定义，参见P121；
2.n 阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。

考核知识点：二次型的类型，参见P362；
3.若线性变换σ关于基{
}21,αα的矩阵为⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡d c b a ，那么σ关于基{}12,3αα的矩阵为 。

考核知识点：线性变换和矩阵的对应关系，参见P266；
4.四阶行列式
g
f
e d c b a
00000000的值为 。

考核知识点：行列式的定义，参见P108； 三．（10分） 设B A ,为n 阶方阵，且满足B A AB +=，
(1)证明：I B I A --,均可逆；
(2)当⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=221243121A 时，求矩阵B 。

考核知识点：可逆矩阵的定义，参见P187；
矩阵的运算，参见P183；
矩阵的逆矩阵的求法，参见P192-193；
四．（10分）
当k 取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=--+-=---0
)3(14202)8(023)2(321
321321x k x x x x k x x x x k
有非零解？并求出它的一般解。

考核知识点：线性方程组有解的判定，参见P155-156； 五．（10分）
求矩阵2110
20413A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
的特征值与特征向量。

考核知识点：矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；
六．（15分）
将二次型用非退化线性替换化为标准型22
121213233226f x x x x x x x x =--+-
考核知识点：二次型和对阵矩阵的关系及二次性的标准形，参见P346-354； 七．（15分）
设矩阵A 与B 相似, 其中
，
(1) 求x 和y ；
(2) 求可逆矩阵P , 使得P - 1 AP = B 。

考核知识点：相似矩阵具有相同的特征多项式，参见P281； 矩阵对角化的方法，参见P293；。