福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题一

本复习题页码标注所用教材为：

高等代数

19.50

主

张禾瑞、郝丙新

2007年第5版

高等教育出版社

书

如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点

一、单项选择题（每小题4分，共20分）

1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ）

() ()k k k A AB A B =； ()B kA k A =；

22()

()()C A B A B A B -=-+； ()D AB A B =。

考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181； 行列式的性质，参见P113； 矩阵乘积的行列式，参见P197； 2.设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）

(A ) 行列式与它的转置行列式相等； (B ) D 中两行互换，则行列式不变符号； (C ) 若0=D ，则D 中必有一行全是零； (D ) 若0=D ，则D 中必有两行成比例。 考核知识点：行列式的性质，参见P111-113； 3．设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ）

(A ) A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； (B )A 中每个r 阶子式都不为零； (C ) A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； (D )A 中肯定有不为零的r 阶子式。 考核知识点：矩阵秩的定义，参见P151-152；

4．关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） (A ) ()()()()()()

n

n

n

x g x f x g x f

,,=；

(B )()()

()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； (C ) ()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；

(D )若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。

考核知识点：多项式最大公因式的定义和相关性质，参见P38-46；

5．设{

}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ） (A )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有

∑=≠m

i i

i k 1

0α

；

(B )任一组数m k k k ,,,21 ，有

∑==m

i i

i k 1

0α

；

(C )当021====m k k k 时，有

∑==m

i i

i k 1

0α

；

(D )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有

∑==m

i i

i k 1

0α

。

考核知识点：向量的线性无关的定义，参见P220；

二、填空题（共20分，每空4分）

1. 行列式1

11

1

11

11

x ---的展开式中x 的系数是__ _。 考核知识点：行列式依行依列展开（代数余子式），参见P121；

2. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则k = _。 考核知识点：向量的线性相关的定义，参见P220

3. 设A 为n 维非零行向量，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中所含解向量的个数是 。 考核知识点：齐次线性方程组的解空间的维数，参见P252；1

4. 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1031与⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛3021中，能够对角化的是 。

考核知识点：矩阵可以对角化的条件，P292-293； 5. 二次型⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=y x y x xy f 1023),()(的矩阵为 。 考核知识点：二次型的矩阵为实对称矩阵，参见P346-347；

三．（10分）计算1n +阶行列式：1231

2311

231

2

3

4

n n n n

x a a a a a x a a a D a a x a a

a a a a x

+= 考核知识点：依据行列式的性质计算行列式，参见P111-118； 四．（10分） 设向量组

。判断此向量组是线性相关还是

线性无关？并求向量组的秩及一个极大无关组。

考核知识点：判断向量组相关性的方法，参见P220-222；

利用初等变换求矩阵的秩及极大无关组，参见P248-249；

五．（10分）

如果(1)|()n x f x -，求证： (1)|()n n x f x -.

考核知识点：多项式的整除性，参见P31-37； 六．（15分）

当λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++2

32

1321

3211λλλλλx x x x x x x x x

有唯一解、无解、有无穷多解？在有无穷解时，求其通解。 考核知识点：线性方程组解的判别，参见P155-156； 七．（15分）

求矩阵110430102A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的特征值和特征向量。 考核知识点：矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题二

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高等代数

19.50

主

张禾瑞、郝丙新

2007年第5版

高等教育出版社

书

如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点

一、单项选择题（每小题4分，共20分）

1. 若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（ ）

(A )维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； (B )维()21W W +=维()1W +维()2W ； (C )维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； (D )维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。 考核知识点：有限维子空间维数的关系，参见P233； 2． 设44⨯矩阵123123[,,,],[,,,]A B αγγγβγγγ==，其中123,,,,αβγγγ均为4维列向量，且3,2A B ==，

则A B +=（ ）。

(A ) 5； (B ) 20； (C ) 30； (D ) 40。 考核知识点：行列式的性质，参见P113-114； 3. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）

(A )合同的； (B )相似的； (C )相等的； (D )正交的。 考核知识点：线性变换与对应矩阵的关系，参见P272；

4、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ） (A )若()()γβγαβα=⇒=,,； (B )若βαβα=⇒=

；