对数的运算

对数的运算片段教学

教学目标：

(1)通过具体的实验发现对数的运算性质，在教师引导下尝试利用对数的概念进行证明；

(2)知道对数运算性质成立的条件，并能灵活地运用对数的运算性质进行化简求值；

(3)体会等价转化思想在解题过程中的重要作用．

教学重点：对数的运算性质。

难点：对数运算性质的发现。

教学法：本课主要采用发现法及探究法进行教学．

教学过程：

师：上节课我们学习了对数的概念，为了方便计算，我们发现了指数的运算律，那么对数是否也存在类似的运算律呢？猜猜看！

生：（略）

师：现在我们利用计算器进行数学实验，并完成实验报告．要求：(1)4人一组，就近结合，每组推荐组长一名，汇报实验研究结果；(2)填表（详情查看学案，,采用的数据规定与自选相结合)；(3)观察同一列计算结果间的关系，并提出猜想；

(4)证明你的结论．

师：首先，我先来分析这张表让我们做什么，怎么做.如果给出M, N的值，那么就可求出lg M, lg N, lg(M+N),…的值，于是就可以填写表中的某一列．

其次，我们再随机取值计算．第一，规定取值：选取两组数：M= 8, N= 2；M= 3, N= 9．请同学们计算填表．第二，自选取值：自己选取数据进行计算．

师：请同学们自选数据填到表中，然后计算，数据可以是自己的学号、班级的编号、自己的生日，我们在学习指数函数时的一道应用题中的数据，等等。

师：各小组开展探究活动，有的填写数据，有的按计算器，有的组分工协作，这种方式也是团队协作精神的训练.教师在巡视，不时参与小组共同讨论，指导学生应如何处理数据，如何进行猜想。

生1：老师，是否可以自选对数的底进行计算？我认为这样更具有代表性．

师：你的想法很好，你可以自己选取底数．

生1：但我手中的计算器不能计算底数是2, 3, 0.4等的对数值．

评注这时教师将课前带来的备用计算器给他，并不厌其烦地告诉他如何操作．这体现了教师充分以学生为主体的教学观念，使课堂教学有了宽松的探究问题的气氛．

师：现在请小组长整理你们的研究成果，向班级进行汇报，哪一位先说？

生2：我们通过数据的比较发现lg(MN)=lg M+lg N，lg=lg M-lg N．师：请刚才用2或3为底的同学汇报你的研究成果．

生1：log2(MN) =log2M+log2N，log2=log2M-log2N．将底数改为3，等式还是成立的．

评注教师开始引导学生进行深层次的推广，力图得到更一般的结论．如何突破这一难点，这就需要教师具有深厚的教学功底．

师：如果我这样写公式，何时能写完呢？同学们能否将这些具有共性的等式统一起来呢？

评注此时学生在积极思考，有的同学在小声交流，虽然教室里显得有点沉闷，但学生的内心活动剧烈，大家都想在短时间内发现一般规律．这就是教师发问得恰当且及时．

生3：运用“字母代表数”的方法，将上述的等式推广到一般情况：

log a(MN)=log aM+log aN①，

log a=log aM-log aN②，其中a>0且a≠1．

评注此时教室的气氛开始活跃，每一次探究的成功，学生的脸上都充满欢愉的笑容．这就是在“做中学”的快乐．

师：大家同意他的观点吗？

众生：同意！

生4：我们小组也发现了一条性质，根据lg M4=4lg M,lg N3=3lg N，继而推广到一般情况:

log aMn=n log aM(n∈N*，a>0, a≠1) ③．

师：这就是我们今天学习的内容——对数的运算性质(板书)．你们能证明这三个等式吗？我们有现成的定理、公式吗？

众生：没有．

师：请大家先思考“怎么办”，过一会我请三位同学到黑板上板演．

评注留给学生一定的思考时间是十分必要的．教师在巡视，指导学生如何证明，参与他们的讨论，或给他们搭设台阶，突破难点，很快学生提出运用定义法．

生5：(板演)设log a(MN)=x, log aM=y,log aN=z，则M=ay, N=az, 所以MN=ayaz=ay+z．又MN=ax，所以ay+z=ax，故y+z=x，即性质①成立．

生6：(板演)设log a=p, log aM=q, log aN=r，则M=aq, N=ar，所以==aq-r．又=ap，所以aq-r=ap，故q-r=p，从而性质②成立．

生7：(板演)设log aMn=x, log aM=y，则Mn=ax, M=ay，所以Mn=(ay)n=any，即ax=any，故x=ny，从而性质③成立．

师：很好！完全正确．

生8：性质③中的n可以是负整数，也可以是有理数、无理数，这个公式中的n的范围是一个实常数，即log aMn=n log aM(a>0, a≠1，n∈R) ③．师：这个小组补充得很好，所以在平时的学习过程中，要学会由特殊到一般的探索发现过程．

评注学生体验成功的快乐，脸上都露出了笑容，课堂的气氛也十分活跃、和谐．

生9：我们研究出：设log NM=A，则(1)log NMx=xA；(2)log NyM=；

(3)log NyMx=A．

师：很好！其实这三个式子可合并为:

log apMn=log aM(a>0, a≠1，p, n∈R) ④．

众生：这个不能代替证明，应该运用定义进行推证．

师：哪位同学上黑板来写？

生10：令log apMn=x, log aM=y，则Mn=(ay)n=any，又Mn= (ap)x=apx，即apx=any，故px=ny，从而x=y，性质④成立．

生11：当p=0时，无意义，条件中应限制p∈R且p≠0．

师：很好!若p=0，则对数的底为1，不符合要求，所以解题时要细心．下面就运用这些公式计算下列各题：

例1求下列各式的值：

(1)log3(34×93)； (2)lg 2+ lg 5；

(3)log125625；(4)log2(3+)+log2(3-)．

学生解答(略)．

师：对数的运算法则既可以从左到右使用，也可以从右到左使用，还要会变形使用．

变题求log6( +)的值．

生12：设log6( +)= x(此时有的学生发笑，有的在沉

思)，则+=6x，两边平方，得4+2=62x，即62x=6，故x=．

师：漂亮！这就是运算法则的变形使用．

例2计算下列各式：

(1)lg 25 + lg 2 + lg+ lg(0.01)-1；

(2)3log32- log3+ log38 - 3log35；

(3)(lg 5)2+lg 2·lg 50．

学生解答(略)．

师：若n个对数的底数相同时，可以利用积与商的对数运算法则化简．其次，运算时可以充分利用像lg 2+ lg 5 =1这样的运算技巧．

师：这节课我们通过具体数据的计算探究了对数运算的三个性质，并利用定义法、等价转化思想进行了证明，体现了由特殊到一般、先猜后证的研究思想，我们要既学猜想，又学证明．

课堂作业(略).课外探究：是否存在M, N，使得log a(M+N) =log aM+log aN，

log a(M-N)=log aM-log aN，log a(MN)= (log aM)(log aN)，log a=四个等式分别成立?若存在，请找出一组M, N的值；否则，请说明理由．