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三元线性方程组的几何解法

任春丽，王金金

(西安电子科技人学理学院数学系，陕西酋安710071 )

线性方程组是线性代数中重要的内容，其解的结构在线性代数课程中已通过向量及矩阵理论讨论的非常清楚，但在教材中很少提及几何意义.由于三元线性方程表示空间屮的平而，因此，通过平面图形Z间的位置关系求解线性方程组，不仅形象、直观，而且为从三维空间抽象的代数问题推广到n维空间更定了基础°文献[2] 丿IJ矩阵

的秩判别了空间屮平面、直线之间的位證关系；相反的，本文利用空间中平而、肓线之间的位宜关系讨论了三元线性方程组解的情况，并举例说明。

1.两个方程的三元线性方程组

设方程组(I)：

[仲+恥+C"。-街俩个平面)

A2X +B2y + C2z = D2—兀2

讨论：令e=4，d，G，o)(心1,2),

%=Q,B,C)(i = l,2)

⑴若wa，即牛鲁咱唔‘则

眄与龙2重合，方程组(I)有无穷多解；

(2)若n.//n2i a^a29即4 =邑』』,

1 2 1 2 码场C? D2则眄与©平行但不重合，方程组(I )无解；

(3)若讥叫，则陌与幻相交，方程纨I)有无穷多解，其解为相交直线上的所有点。

例1求解下列线性方程组

3兀 + 6y — 3z = 8 fx + 2y-z = 7

(1){ : (2){ ・一兀一

2y + z = 3 [-2x + y + z = 4

解⑴因为—7^-,所以两个平

-1-213 血平行但不重合，故方程组无解；

(2)因为阿x〃2 =(1，2,T)x(一2,1,1) = (3丄5)

H 0, 所以两个平面相交于H线L,故方程组有无穷多

解。又点(1,4,2)在L上，故直线L的参数方程x = 1 + 3f,

为：」= 4+r,即是方程组的通解。

z = 2 + 5/.

2.三个方程的三元线性方程组

设方程组(II)：

A}x + + Gz = °―兀、

< A2x + B2y + C2z = D2—兀2(三个平面)

A.x + B,y^C.z = D. 一心

讨论:令q=Q，d，G，q)(i = l,2,3),

n,=(4.,B/,C/)(i = l,2,3)o

(1)若= 1,2,3)中至少有两个平行，则至

少有两个平面重合，其解的讨论同第1 H；

(2)若® (/ = 1,2,3)屮至少有两个平行，但相应的乞•加勺(心力，则至少冇两个平面平行但

不重合，方程组(II)无解；

(3)若®加® (心/),则三个平面两两相交，

方程组(II)可能有解，也可能无解。进一步：求

x = x Q +

mt,

! IW与兀2的交线L的参数式方程:\y = y o+ntf z =

5 + pt.

如果厶〃龙3，但点(兀O，y°，Zo)不在龙3上，则

方程组(II)无解；如果厶〃眄，且点(心儿，％) 在勺上，则方程组(II)冇无穷多解，其解为直线

上的所冇点；如杲厶加勾，则L与勺相交，方程组(II)有唯一懈，即L与心的交点。

x-y = -l9

例2求解线性方程组(2兀一2 = 0,

2x + y + z = 6 ・

解显然①叽,乂d与龙2的交线L的方向向量s = n A xn2= (1,-1,0) X (2,0,-1) = (1,1,2),

点(2,3,4)在L上，所以L的方程：＜y = 3 + t,

z = 4 + 2/. 代入平面幻得：t = -\ ,故方程组的解为(122)。

Ax +)； + z =兄一3, 例3设线性方程组(x + /ly + z = -2,讨

x + y + Az =—2.

■

论：2取何值时方程组无解，有无穷多解，有唯

一解？

解显然2 = 1时，三个平面耳0 = 1,2,3) 重合，方程组冇无穷多解；

当2工1时，誓(心1,2,3)互不平行,故两两相交。设”2与心的交线为厶，则方向向量

5 = (1,2,1) X (1,1,2) = (2 - 1)(A +1, -1, -1) 0 o

若L〃眄，则$ •坷=0,即22+2—2=0 ,

解得久=-2, 2 = 1(舍去)，这时方程组无解; 若

Lh\7T\ ,则Z2+ 2—2工0,得兄工—2,2工1, 这时

方程组有唯一解。

综上讨论:2 = -2时力程组无解;2工一2, /I H I 时，方程组冇唯一解；兄=1时，方程组有无穷多解。

3.四个方程的三元线性方程组

设方程组(III)：

AjX + 3』+ =°-兀、

e+TT-0四个平面)

A y x + B^y + C3z = D3—兀、

A4x + B4y + C4z = D4—叭

讨论：令(1 = 1,2, 3,4),

%=Q，d，G)(21,2,3,4).

⑴若匕(心1,2,3,4)中至少冇两个平行，则至

少有两个平血重合，英解的讨论同第1日或第

2冃；

(2)若q(21,2,3,4)中至少有两个平行，但相应的a. Nay丰j),则至少有两个平面平行,方程组(III)无解；

(3)若心仲j),则四个平面两两相交。求出眄与兀2的交线厶，龙3与勺的交线厶。进一步讨论：

如果厶〃厶，但不重合，则方程组(III)无解; 如果厶〃乙，并且重合，则方程组(III)有无穷多解，其解为直线上的所有点；如果厶川厶2，且

两直线共而(即相交)，方程组(III)冇唯一解，

否则，两直线异面(即不相交)，方程组(III)无

解。

x + 2y - z = 7, 例4确定方程组］一2兀+)' + "7,解的3x +

6y-3z = 8, 2x-y-z = 0

个数。

解显然兀\认,故相交于直线厶，方向向