第二章 恒定电场
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第 二 章
恒定电场
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
序 导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 分界面衔接条件 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
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第 二 章
2.0 序
Introduction
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒 通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒 导电媒质中 定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的,它与 定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的, 静电场有相似之处. 静电场有相似之处. 本章要求: 本章要求: 理解各种电流密度的概念, 理解各种电流密度的概念,通过欧姆定律和焦耳 电流密度的概念 定律深刻理解场量之间的关系. 定律深刻理解场量之间的关系. 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 恒定电场基本方程 接条件. 接条件. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算. 静电比拟法 的计算
导电媒质中的电流
恒定电场
Current in Conductive Media 导体或电解液 导体或电解液
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. ——电荷在导电媒质中的定向运动 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. ——带电粒子在真空中的定向运动 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. ——随时间变化的电场产生的假想电流 定义:单位时间内通过某一横截面的电荷总量. 定义:单位时间内通过某一横截面的电荷总量.
dq I = dt
A
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第 二 章
2.1.2 电流密度(Current Density) 电流密度的方向为正 电流密度的方向为正电荷的运动方向 1. 电流面密度 J . 体电荷 ρ 以速度 v 在某一体积内作匀速运动形成体电流 电流密度
恒定电场 描述导体中每一点的电荷运动情况) (描述导体中每一点的电荷运动情况)
匀 的 区 域
媒 质 不 均
只 有 导 电
J =γ E
思考? i E = ? 0
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结论: 恒定电场是无源无旋场. 结论: 恒定电场是无源无旋场.
下 页
第 二 章
恒定电场
2.3.2 分界面的衔接条件(Boundary Conditions) 由
∫ E dl = 0
l
∫ J dS = 0
在恒定电场中
∫ J dS
S
=0
∫ JdV = 0
V
故
恒定电场是一个无通量源场,电流线是连续的. 恒定电场是一个无通量源场,电流线是连续的.
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J = 0
第 二 章
恒定电场
2. E的旋度 . 的旋度 所取积分路径不经过电源, 所取积分路径不经过电源,则
∫ E dl = 0
l
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第 二 章
恒定电场
2.2.2 电源电动势 (Source EMF) 电源电动势是电源本身的特征量, 电源电动势是电源本身的特征量, 与外电路无关. 与外电路无关. 局外场强
fe Ee = q
图2.2.1 恒定电流的形成
即作用于单位正电荷上的局外力
f e -局外力
(电源中将正负电荷分开的力) 电源中将正负电荷分开的力)
νρdV (体电流元) → JdV
ν dq
图2.1.4 媒质的磁化电流
νσdS (面电流元) KdS → ντdl (线电流元) Idl →
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第 二 章
恒定电场
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm's Law) 导体中若存在恒定电流,则必有维持该电流的电场 导体中若存在恒定电流, 因此,导电媒质中, 因此,导电媒质中,电流密度矢量和电场强度之间 必然存在一种函数联系 导电媒质中
E dl = ∫l( Ec + Ee ) dl = ∫ l Ec dl + ∫ l Ee dl ∫l b = ∫ Ee dl a = 0+ε = ε
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第 二 章
2.3 基本方程分界面衔接条件 边值问题 基本方程分界面衔接条件
恒定电场
Basic Equations Boundary Conditions Boundary Value Problem
第 二 章
恒定电场
2.1.4 焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joule's Law) 导体有电流时,必伴随功率损耗, 导体有电流时,必伴随功率损耗,其功率体密度为
p = J E
W/m3
—焦耳定律微分形式 焦耳定律微分形式 焦耳定律 表示导体中任一点在单位体积单位时间内损耗的功
∫ J dS = I U ∫ γ E dS = ∫ γ l dS
S
S
S
=
γS
U =U R l
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第 二 章
恒定电场
2.1.4 焦尔定律的微分形式 自由电荷在导电媒质中移动时, 自由电荷在导电媒质中移动时,不可避免地会与 其它质点发生碰撞, 其它质点发生碰撞,例如金属导体中的自由电子 会在电场力地作用下定向运动, 会在电场力地作用下定向运动,会不断地与原子 晶格发生碰撞,将动能转换为原子的热振动,造成 晶格发生碰撞,将动能转换为原子的热振动, 能量损耗.因此要在导体中维持恒定电流, 能量损耗.因此要在导体中维持恒定电流,必须 持续地对电荷提供能量. 持续地对电荷提供能量.这些能量最终都转化成 热能 焦耳定律
第 二 章
恒定电场
在线性媒质中 微分形式. J = γ E 欧姆定律 微分形式. 积分形式. U = RI 欧姆定律 积分形式. J 与 E 共存,且方向一致. 共存, 方向一致.
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明: 简单证明: 对 J = γE 两边取面积分 左边 = 右边 =
所以 U = RI
局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极
第 二 章
恒定电场
电源电动势
ε = ∫ Ee dl = ∫ Ee dl
l a
b
L b a
电源内总场强
E = E c + Ee
图2.2.2 电源电动势与局外场强 2.2.2
J = γ ( Ec + Ee )
因此, 因此,对闭合环路积分
是非保守场. 局外场 Ee 是非保守场.
第 二 章
恒定电场
工程应用 媒质磁化后的表面磁化电流; 媒质磁化后的表面磁化电流; 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布; 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布; 高频时,因集肤效应,电流趋于导体表面分布. 高频时,因集肤效应,电流趋于导体表面分布. 3. 元电流的概念 元电流是元电荷 dq以速度 v 运动形成的电流
K =σ v
Am
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流 描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流 垂直于电流方向的单位宽度
I = ∫ ( K en ) dl
l
en 是垂直于 dl,且通过 dl 与 , 曲面相切的单位矢量. 曲面相切的单位矢量.
图2.1.3 电流线密度及其通量
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S
得
E1t = E2t
J1n = J 2n
说明 分界面上 E 切向分量 连续, 的法向分量连续. 连续,J 的法向分量连续. 折射定律
tan α 1 γ 1 = tan α 2 γ 2
图2.3.1 电流线的折射
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第 二 章
恒定电场
导体与理想介质分界面上的衔接条件. 例2.3.1 导体与理想介质分界面上的衔接条件. 解: 在理想介质中
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第 二 章
恒定电场
恒定电场知识结构 基本物理量 J, E 欧姆定律 J 的散度 边界条件 一般解法 基本方程 边值问题 电导与接地电阻 E 的旋度 电 位
特殊解(静电比拟 特殊解 静电比拟) 静电比拟
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第 二 章
2.1
2.1.1 电流 (Current) 三种电流: 三种电流:
P = ∫ J EdV = UI = I 2 R
V
W
焦耳定律积分形式 —焦耳定律积分形式 焦耳定律
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第 二 章
2.2 电源电动势与局外场强
Source EMF and 0ther Field Intensity
恒定电场
2.2.1 电源 (Source) 提供非静电力将其它形式的 电源. 能转为电能的装置称为电源 能转为电能的装置称为电源.
分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行
恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷 导体与理想介质分界面上必有面电荷. 表明 2 恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷.
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第 二 章
恒定电场
E1t = E2t = J1t / γ 1 ≠ 0
电场切向分量不为零,导体非等位体, 表明 3 电场切向分量不为零,导体非等位体,导体 表面非等位面. 表面非等位面. 若 理想导体),导体内部电场为零, ),导体内部电场为零 (理想导体),导体内部电场为零,电流分布在 γ1 → ∞ 导体表面,导体不损耗能量. 导体表面,导体不损耗能量. 导体周围介质中的电场: 导体周围介质中的电场:
J = ρv
I = ∫ J dS
S
A m2
(垂直) 垂直)
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流 描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流 垂直于电流方向的单位面积上 电流
图2.1.1 电流面密度矢量
图2.1.2 电流的计算
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第 二 章
恒定电场
2. 电流线密度 K . 运动形成的电流. 面电荷 σ 在曲面上以速度 v 运动形成的电流. 电流线密度 电流
图2.2.1 恒定电流的形成
电源能将电源内部导体原子或分子中的 正负电荷分开,使正负电荷之间的电压维持恒定,从而 正负电荷分开,使正负电荷之间的电压维持恒定, 使与它相联结的导体(电源外)之间的电压也恒定, 使与它相联结的导体(电源外)之间的电压也恒定,使 导体内存在一恒定电流,并在周围维持一恒定电场. 导体内存在一恒定电流,并在周围维持一恒定电场.
斯托克斯定理
∫ ( × E ) dS = 0
S
恒定电场是无旋场. 得 × E = 0 恒定电场是无旋场. D = ε E 仍成立 3. 恒定电场(电源外)的基本方程 . 恒定电场(电源外) 积分形式 微分形式 构成方程
∫ J dS = 0
S
∫ E dl = 0
l
J = 0
× E = 0
才 不 为
γ 2 = 0, J 2 = 0 故 J 2n = J1n = 0
表明 1 分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行 . J 2n 0 空气中 E2n = = ≠0 γ2 0
图2.3.2 导体与理想介质分界面
导体中 ε 2 E 2n = σ
E 2 = E2t e x + E2n e y
图2.3.3 载流导体表面的电场
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第 二 章
恒定电场
2.3.3 边值问题(Boundary Value Problem) 边值问题( 由基本方程出发
微分形式. J = γ E 欧姆定律 微分形式.
l R = γ S
电导率, 电导率,其倒数为电阻率 ρ
第 二 章
恒定电场
补充 象金银等这样的金属,电导率很高, 象金银等这样的金属,电导率很高,具有良好 的导电性能,因此称为良导体. 的导电性能,因此称为良导体.电导率为无限 良导体 大的导体称为理想导体,在理想导体中, 大的导体称为理想导体,在理想导体中,电场 理想导体 一定为0,因为如果电场不为0,电流密度会为 一定为 ,因为如果电场不为 , 无限大.这与电流必须有限相矛盾.反之, 无限大.这与电流必须有限相矛盾.反之,象 玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小, 玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小,在一般 情况下可以忽略.近似认为为 .电导率为0的 情况下可以忽略.近似认为为0.电导率为 的 媒质称为理想介质.理想介质中电流为 . 媒质称为理想介质.理想介质中电流为0. 理想介质
2.3.1 基本方程 (Basic Equations) 1. J 的散度 .
q 电荷守恒原理 ∫ J dS = S t 亦称电流连续性方程
=0 t
散度定理
(由任一闭合面流出的传导电流,应等于该面内自由电荷的减少率) 由任一闭合面流出的传导电流,应等于该面内自由电荷的减少率) 由任一闭合面流出的传导电流
恒定电场
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
序 导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 分界面衔接条件 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
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第 二 章
2.0 序
Introduction
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒 通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒 导电媒质中 定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的,它与 定电场.恒定电场是动态平衡下的电荷产生的, 静电场有相似之处. 静电场有相似之处. 本章要求: 本章要求: 理解各种电流密度的概念, 理解各种电流密度的概念,通过欧姆定律和焦耳 电流密度的概念 定律深刻理解场量之间的关系. 定律深刻理解场量之间的关系. 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 恒定电场基本方程 接条件. 接条件. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算. 熟练掌握静电比拟法和电导的计算. 静电比拟法 的计算
导电媒质中的电流
恒定电场
Current in Conductive Media 导体或电解液 导体或电解液
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动. ——电荷在导电媒质中的定向运动 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动. ——带电粒子在真空中的定向运动 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流. ——随时间变化的电场产生的假想电流 定义:单位时间内通过某一横截面的电荷总量. 定义:单位时间内通过某一横截面的电荷总量.
dq I = dt
A
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2.1.2 电流密度(Current Density) 电流密度的方向为正 电流密度的方向为正电荷的运动方向 1. 电流面密度 J . 体电荷 ρ 以速度 v 在某一体积内作匀速运动形成体电流 电流密度
恒定电场 描述导体中每一点的电荷运动情况) (描述导体中每一点的电荷运动情况)
匀 的 区 域
媒 质 不 均
只 有 导 电
J =γ E
思考? i E = ? 0
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结论: 恒定电场是无源无旋场. 结论: 恒定电场是无源无旋场.
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第 二 章
恒定电场
2.3.2 分界面的衔接条件(Boundary Conditions) 由
∫ E dl = 0
l
∫ J dS = 0
在恒定电场中
∫ J dS
S
=0
∫ JdV = 0
V
故
恒定电场是一个无通量源场,电流线是连续的. 恒定电场是一个无通量源场,电流线是连续的.
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J = 0
第 二 章
恒定电场
2. E的旋度 . 的旋度 所取积分路径不经过电源, 所取积分路径不经过电源,则
∫ E dl = 0
l
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恒定电场
2.2.2 电源电动势 (Source EMF) 电源电动势是电源本身的特征量, 电源电动势是电源本身的特征量, 与外电路无关. 与外电路无关. 局外场强
fe Ee = q
图2.2.1 恒定电流的形成
即作用于单位正电荷上的局外力
f e -局外力
(电源中将正负电荷分开的力) 电源中将正负电荷分开的力)
νρdV (体电流元) → JdV
ν dq
图2.1.4 媒质的磁化电流
νσdS (面电流元) KdS → ντdl (线电流元) Idl →
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第 二 章
恒定电场
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm's Law) 导体中若存在恒定电流,则必有维持该电流的电场 导体中若存在恒定电流, 因此,导电媒质中, 因此,导电媒质中,电流密度矢量和电场强度之间 必然存在一种函数联系 导电媒质中
E dl = ∫l( Ec + Ee ) dl = ∫ l Ec dl + ∫ l Ee dl ∫l b = ∫ Ee dl a = 0+ε = ε
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第 二 章
2.3 基本方程分界面衔接条件 边值问题 基本方程分界面衔接条件
恒定电场
Basic Equations Boundary Conditions Boundary Value Problem
第 二 章
恒定电场
2.1.4 焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joule's Law) 导体有电流时,必伴随功率损耗, 导体有电流时,必伴随功率损耗,其功率体密度为
p = J E
W/m3
—焦耳定律微分形式 焦耳定律微分形式 焦耳定律 表示导体中任一点在单位体积单位时间内损耗的功
∫ J dS = I U ∫ γ E dS = ∫ γ l dS
S
S
S
=
γS
U =U R l
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第 二 章
恒定电场
2.1.4 焦尔定律的微分形式 自由电荷在导电媒质中移动时, 自由电荷在导电媒质中移动时,不可避免地会与 其它质点发生碰撞, 其它质点发生碰撞,例如金属导体中的自由电子 会在电场力地作用下定向运动, 会在电场力地作用下定向运动,会不断地与原子 晶格发生碰撞,将动能转换为原子的热振动,造成 晶格发生碰撞,将动能转换为原子的热振动, 能量损耗.因此要在导体中维持恒定电流, 能量损耗.因此要在导体中维持恒定电流,必须 持续地对电荷提供能量. 持续地对电荷提供能量.这些能量最终都转化成 热能 焦耳定律
第 二 章
恒定电场
在线性媒质中 微分形式. J = γ E 欧姆定律 微分形式. 积分形式. U = RI 欧姆定律 积分形式. J 与 E 共存,且方向一致. 共存, 方向一致.
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明: 简单证明: 对 J = γE 两边取面积分 左边 = 右边 =
所以 U = RI
局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极
第 二 章
恒定电场
电源电动势
ε = ∫ Ee dl = ∫ Ee dl
l a
b
L b a
电源内总场强
E = E c + Ee
图2.2.2 电源电动势与局外场强 2.2.2
J = γ ( Ec + Ee )
因此, 因此,对闭合环路积分
是非保守场. 局外场 Ee 是非保守场.
第 二 章
恒定电场
工程应用 媒质磁化后的表面磁化电流; 媒质磁化后的表面磁化电流; 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布; 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布; 高频时,因集肤效应,电流趋于导体表面分布. 高频时,因集肤效应,电流趋于导体表面分布. 3. 元电流的概念 元电流是元电荷 dq以速度 v 运动形成的电流
K =σ v
Am
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流 描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流 垂直于电流方向的单位宽度
I = ∫ ( K en ) dl
l
en 是垂直于 dl,且通过 dl 与 , 曲面相切的单位矢量. 曲面相切的单位矢量.
图2.1.3 电流线密度及其通量
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S
得
E1t = E2t
J1n = J 2n
说明 分界面上 E 切向分量 连续, 的法向分量连续. 连续,J 的法向分量连续. 折射定律
tan α 1 γ 1 = tan α 2 γ 2
图2.3.1 电流线的折射
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恒定电场
导体与理想介质分界面上的衔接条件. 例2.3.1 导体与理想介质分界面上的衔接条件. 解: 在理想介质中
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第 二 章
恒定电场
恒定电场知识结构 基本物理量 J, E 欧姆定律 J 的散度 边界条件 一般解法 基本方程 边值问题 电导与接地电阻 E 的旋度 电 位
特殊解(静电比拟 特殊解 静电比拟) 静电比拟
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2.1
2.1.1 电流 (Current) 三种电流: 三种电流:
P = ∫ J EdV = UI = I 2 R
V
W
焦耳定律积分形式 —焦耳定律积分形式 焦耳定律
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第 二 章
2.2 电源电动势与局外场强
Source EMF and 0ther Field Intensity
恒定电场
2.2.1 电源 (Source) 提供非静电力将其它形式的 电源. 能转为电能的装置称为电源 能转为电能的装置称为电源.
分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行
恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷 导体与理想介质分界面上必有面电荷. 表明 2 恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷.
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第 二 章
恒定电场
E1t = E2t = J1t / γ 1 ≠ 0
电场切向分量不为零,导体非等位体, 表明 3 电场切向分量不为零,导体非等位体,导体 表面非等位面. 表面非等位面. 若 理想导体),导体内部电场为零, ),导体内部电场为零 (理想导体),导体内部电场为零,电流分布在 γ1 → ∞ 导体表面,导体不损耗能量. 导体表面,导体不损耗能量. 导体周围介质中的电场: 导体周围介质中的电场:
J = ρv
I = ∫ J dS
S
A m2
(垂直) 垂直)
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流 描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流 垂直于电流方向的单位面积上 电流
图2.1.1 电流面密度矢量
图2.1.2 电流的计算
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恒定电场
2. 电流线密度 K . 运动形成的电流. 面电荷 σ 在曲面上以速度 v 运动形成的电流. 电流线密度 电流
图2.2.1 恒定电流的形成
电源能将电源内部导体原子或分子中的 正负电荷分开,使正负电荷之间的电压维持恒定,从而 正负电荷分开,使正负电荷之间的电压维持恒定, 使与它相联结的导体(电源外)之间的电压也恒定, 使与它相联结的导体(电源外)之间的电压也恒定,使 导体内存在一恒定电流,并在周围维持一恒定电场. 导体内存在一恒定电流,并在周围维持一恒定电场.
斯托克斯定理
∫ ( × E ) dS = 0
S
恒定电场是无旋场. 得 × E = 0 恒定电场是无旋场. D = ε E 仍成立 3. 恒定电场(电源外)的基本方程 . 恒定电场(电源外) 积分形式 微分形式 构成方程
∫ J dS = 0
S
∫ E dl = 0
l
J = 0
× E = 0
才 不 为
γ 2 = 0, J 2 = 0 故 J 2n = J1n = 0
表明 1 分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行 . J 2n 0 空气中 E2n = = ≠0 γ2 0
图2.3.2 导体与理想介质分界面
导体中 ε 2 E 2n = σ
E 2 = E2t e x + E2n e y
图2.3.3 载流导体表面的电场
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第 二 章
恒定电场
2.3.3 边值问题(Boundary Value Problem) 边值问题( 由基本方程出发
微分形式. J = γ E 欧姆定律 微分形式.
l R = γ S
电导率, 电导率,其倒数为电阻率 ρ
第 二 章
恒定电场
补充 象金银等这样的金属,电导率很高, 象金银等这样的金属,电导率很高,具有良好 的导电性能,因此称为良导体. 的导电性能,因此称为良导体.电导率为无限 良导体 大的导体称为理想导体,在理想导体中, 大的导体称为理想导体,在理想导体中,电场 理想导体 一定为0,因为如果电场不为0,电流密度会为 一定为 ,因为如果电场不为 , 无限大.这与电流必须有限相矛盾.反之, 无限大.这与电流必须有限相矛盾.反之,象 玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小, 玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小,在一般 情况下可以忽略.近似认为为 .电导率为0的 情况下可以忽略.近似认为为0.电导率为 的 媒质称为理想介质.理想介质中电流为 . 媒质称为理想介质.理想介质中电流为0. 理想介质
2.3.1 基本方程 (Basic Equations) 1. J 的散度 .
q 电荷守恒原理 ∫ J dS = S t 亦称电流连续性方程
=0 t
散度定理
(由任一闭合面流出的传导电流,应等于该面内自由电荷的减少率) 由任一闭合面流出的传导电流,应等于该面内自由电荷的减少率) 由任一闭合面流出的传导电流