圆、扇形、弓形的面积

圆、扇形、弓形的面积
【重点难点解析】
重点是圆面积，扇形面积、弓形面积公式，要能运用它们解决有关圆的面积、扇形面积、弓形面积的计算与证明问题.
难点是扇形面积公式的推导，要理解圆心角为1°的扇形的面积等于圆面积的，圆心角为
n°的扇形面积及于圆面积的即，注意：公式中的n没有单位.
【基础知识精讲】
一、基本公式
1.圆的面积：S＝πR2
2.扇形面积：S扇形＝＝lR
3.弓形面积：
①弓形所含弧为劣弧时 S弓＝S扇-S△
②弓形所含弧为优弧时 S弓＝S扇+S△
③弓形所含弧为串圆时 S弓＝S圆
二、值得注意的问题
1.扇形面积公式中的n与弧长公式中的一样，不带单位.
2.对于一些没有面积计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为学过的几何图形的面积和或差.对于弧形部分，一定要分清圆心和半径.
典型例题
〔例1〕已知如图7-65，PA切⊙O于A，PO交⊙O于C，且CP＝CO，弦AB∥OP，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.
图7-65
解：连OA，OB
∵PA为⊙O切线，∴OA⊥AP
∵OA＝OC＝CP＝OP
∴∠OPA＝30°，∴∠AOP＝60°
∵AB∥OP，∴∠OAB＝∠AOPB＝60°
∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形
∴∠AOB＝60°
∴S扇形OAB＝＝
∵AB∥OP，∴S△ABP＝S△AOB
∴S阴影＝S扇形OAB＝
〔例2〕已知：如图7-66⊙O的半径为R，直径AB垂直于弦CD，以B为圆心，以BC为半径作⊙B 交AB于点E，交AB的延长线于F，连结CB并延长交⊙B于点M，连结AM交⊙O于N，(1)求两圆公共部分的面积S.(2)求证AM·AN＝2AE·AF
图7-66
(1)解：连结BD
∵CD为⊙O直径∴∠CBD＝90°
∵CD⊥AB，OC＝OD ∴CB＝DB
在Rt△CBD中，CD＝2R
∴BC＝CDcos45°＝2R· ＝R
∴S＝S⊙O+S弓形CDE
＝πR2+〔π( R)2- ( R)2〕
＝(π-1)R2
(2)证明连AC
∵AB为直径∴∠ACB＝90°
∵BC为⊙B半径∴AC为⊙B的切线
∴AC2＝AE·AF
∵OA＝OB ∴CA＝CB
∵MN·MA＝MB·MC＝BC·2BC＝2BC2＝2AC2
∴AM·MN＝2AE·AF
〔例3〕已知：如图7-67，⊙O的长l是半径R的π倍，AC，BC是方程-2x2-(m-1)x+m+1＝0的根，OC＝1，求弓形AmB的面积.
图7-67
〔解〕延长线段OC交⊙O于E，F，作OG⊥AB于G，
∴GB＝AB
l＝＝R，∴n=130,∴∠AOB＝120°∴∠GOB＝60°
在Rt△OGB中，sin∠GOB＝，
∴GB＝R·sin60°＝R
∴AB＝R，又cos∠GOB＝，∴OG＝R，
∴S△ABD＝AB·OG＝× R× R＝R2.
∵AC、BC是方程-2x2-(m-1)x+m+1＝0的根，
∴AC·BC＝- ①
AC+BC＝. ②又∵AC·BC＝CE·CF＝(R-OC)(R+OC)
＝R2-OC2＝R2-1 ③
AC+BC＝AB＝R ④∴由②，④得R＝
由①，③得R2-1＝-
解方程组R＝
R2-1＝- 得R＝
∴S△ABC＝R2＝·S扇形OAmB＝＝π
∴弓形AmB的面积＝S扇形OAmB-S△OAB＝π- (平方单位).
〔说明〕此题是一道代数几何综合问题，解决此题的关键是求出⊙O的半径，综合分析题的图形与已知条件，寻找与半径有关的式子，发现AC+BC＝AB，AC·BC＝CE·CF，而AB及CE·CF都与半径与关，再由题已知方程的根与系数关系，找到含R的方程组，从而求得R.
〔例4〕如图7-68，已知半径为3cm和1cm的两个圆，⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是它们的一条外公切线，切点分别为A，B，QP垂直于O1O2于P交AB于Q点，连O1Q和O2Q，求：图中阴影部分面积.
图7-68
〔解〕连O1A，O2B可求得外公切线长
AB＝2 ＝2 (cm)
∵QP⊥O1O2，∴QP是⊙O1，⊙O2的内公切线，
由切线长定理知AQ＝QP＝QB，
∠＝O1QO2＝∠AQB＝90°.
∴QP＝AB＝(cm)
在Rt△QO1P中，tg∠QO1P＝＝，
∴∠QO1P＝30°，
∴∠QO2P＝60°
∴S阴＝S －S -S ＝O1O2·QP－-
＝×4× - π- ＝2 - π(cm2).
〔说明〕此题就是将一个不规则图形的面积化归为几个已学过的图形面积的和差形式.
练习
一、填空题
1.扇形的弧长是2πcm，半径是10cm，则此扇形的面积
是 .
2.圆心角为n°，面积为S的扇形的半径是 .
3.如果圆的周长是π，则圆的面积是 .
4.如下图7-75，C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，OC，OD是半径，且半径为长6，CD为弦，则图中阴影部分的面积是 .
图7-75 图7-76
5.如图7-76，Rt△ABC中两直角边AC＝4cm，BC＝5cm，分别以AB，AC，BC为直径的三个半圆所围成的两个新月形(图中阴影部分)的面积和
为平方厘米.
图7-77
6.如图7-77，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，以A为圆心，以AC的长为半径画弧与AB 相交于D，若图中阴影部分的面积为6πcm2，则AB
＝ cm.
7.若扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积
是 .
二、选择题
1.如图7-78，以边长为a的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧所围成的阴影部分的面积是( )
A. (2 -π)；
B. (2 -π)；
C. +
D. a2.
2.如图7-79，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm 长为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. cm2
B. cm2
C. cm2
D. cm2
图7-78 图
7-79 图7-80
3.三个半径为R的圆两两外切，则夹在三个圆之间部分的面积是( )
A. R2- πR2
B. R2- πR2
C.( -1)R2
D. R2-
R2
4.如图7-80，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，再以AB为直径作半圆，所得月牙形面积为( )
A.大于S△OAB
B.等于S△OAB
C.小于S△OAB
D.以上都有可能
三、解答题
1.如图7-81所示，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点A为圆心，AB为半径作，由AD
的中点E，作EF∥AB，交BC于F，交于G，再以E为圆心，ED为半径作交EF于H，试求图中阴影部分的面积.
图7-81 图7-82
2.如图7-82所示，正三角形ABC的高AD＝4cm，以AD为直径作圆分别交AB、AC于E、F，求阴影部分的面积.
四、1.如图7-83所示，已知直角梯形ABCD中，∠D＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以斜腰AB为直径的半圆切CD于E，交AD于F.求图中阴影部分的面积.
图7-83 图7-84
2.如图7-84所示，已知⊙O1与⊙O2的公共弦为AB，若AB分别为⊙O1和⊙O2的内接正三角形和内接正六边莆的一边，且AB＝a，求两圆公共部分的面积.
答案：
一、1.10πcm2 2. 3. 4.6π 5.10 6.12 7.140πcm2
二、1.A 2.C 3.D 4.B。