经典编辑研材料裂项相消法求和全集
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开一数学组教研材料 （裂项相消法求和之再研究 ） 张明刚
一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项 基本类型：
1.形如
)11(1)(1k
n n k k n n +-=+型。如1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1；
2.形如a n ＝1
(2n －1)(2n ＋1)＝)121121(21+--n n 型；
3.)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n 4.])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++=
n n n n n n n a n
5.n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 6.形如a n ＝n ＋1
n 2(n ＋2)2
型．
7.形如a n ＝4n (4n －1)(4n ＋1
－1)＝13⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+1411411n n 型； 8.
n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －
1－1
n ·
2n . 9.形如a n ＝
(
)
n k n k
k n n -+=
++1
1
型；1
)1(1
+++=
n n n n a n
10.
(
)
b a b
a b a --=
+1
1
11.()!!1!n n n n -+=⋅ 12.m n m n m n C C C -=+-11
13.()21≥-=-n S S a n n n
14.1)
tan(tan tan tan tan ---=
βαβ
αβα
15.利用两角差的正切公式进行裂项 把两角差的正切公式进行恒等变形，例如
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- 可以
另一方面，利用()[]k
k k
k k k tan )1tan(1tan )1tan(1tan 1tan ⋅+--+=
-+=，得
,11
tan tan )1tan(tan )1tan(--+=
⋅+k
k k k
16 利用对数的运算性质进行裂项
对数运算有性质N M N
M
a
log log log -=，有些试题则可以构造这种形式进行裂项. 17 利用排列数或组合数的性质进行裂项
排列数有性质!)!1(!n n n n -+=⋅，组合数有这样的性质1
1-+-=m n m n m n C C C ，都可以作为裂项的依据.
例7 求和：_____!!22!11=⋅++⋅+⋅n n Λ
分析 直接利用!)!1(!n n n n -+=⋅可得结果是1)!1(-+n .
18.求和：22322n n C C C S +++=Λ.有3312k k k C C C -=+，从而3
1333122++=-+=n n n C C C C S .
裂项相消法求和之再研究
一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项
一、多项式数列求和。
（1）用裂项相消法求等差数列前n 项和。即形如n a an b =+的数列求前n 项和
此类型可设22
()[(1)(1)]n a An Bn A n B n an b =+--+-=+左边化简对应系数相等求出A,B 。
1232
2
2()0(42)()(93)(42)()[(1)(1)]n n
S a a a a A B A B A B A B A B An Bn A n B n An Bn
=+++=+-++-+++-++++--+-=+L L 则
例1：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，求它的前n 项和n S 。
2222
222222
123()[(1)(1)]212=21221
10
(1)12132(1)n n n n n a An Bn A n B n n a An B A n A A B A B a n n S a a a a n n n =+--+-=-=+--==⎧⎧∴⇒⎨⎨
-=-=⎩⎩∴=--∴=+++=+-+-++--=L L 解：令 则有
（2）用裂项相消法求多项式数列前n 项和。即形如12
1210m m n m m a b n b n
b n b ----=++++L 的数列求前n 项和。
此类型可1
11111()[(1)(1)(1)]m
m m m n m m m m a c n c n
c n c n c n c n ----=+++--+-++-L L 设
121210m m m m b n b n b n b ----=++++L
上边化简对应系数相等得到一个含有m 元一次方程组。
说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。