2020届神州智达高三诊断性大联考(一)数学(理)质检卷(解析版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【详解】
∵ 2x2 x 1 5 (x 1)5 (2x 1)5 ，二项展开式 ( x 1)5 的通项为 C5r x5r (1)r ，二项
展开式 (2x 1)5 的通项式为 C5k (2x)5k，(x 1)5 (2x 1)5 的通项为 (1)r 25k C5rC5k x10(kr) ，所以 k r 8 ，所以展开式中 x2 的系数为 (1)5 22 C55C53 (1)4 2C54C54 (1)3C53C55 0 .
a
b
2
a
2
2a
b
2 b
3，
a
1
，向量
a
与
b
的夹角为
60
，
第 8 页 共 21 页
a
b
a
b
cos 60
1
b
，
a 2
1，
2 b
b
2 2 0 ，解得 b
2或
b
1（舍去）.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了利用向量数量积解决向量模的问题，属于基础题.
2020 届神州智达高三诊断性大联考（一） 数学（理）质检卷
一、单选题
1．已知集合 A 2, 1, 0,1, 2，B x N* 1 2x 9 ，则 A B （ ）
A．{-1, 0,1, 2}
B． 1, 0,1
C．1,1, 2
D．1, 2
【答案】D
【解析】由题意 B 1, 2, 3 ，再由集合交集的概念可直接得解.
【答案】B
【解析】由对数函数和幂函数的单调性可得 b a 1 c ，即可得解.
【详解】
因为 y x0.5 在 (0, ) 上是增函数，所以 0.30.5 0.50.5 10.5 ，即 b a 1，
因为 y log0.7 x 在 (0, ) 上是减函数，所以 c log0.7 0.2 log0.7 0.7 1 所以 b a 1 c .
所以平面 D1C1P 平面 C1CP ，故 A 正确；
三棱锥 A D1DP 的体积满足VAD1DP VPD1DA ，因为 P 到平面 D1DA 的距离不变，△D1DA
的面积不变，三棱锥 A一D1DP 的体积为定值，故 B 正确；
在正方体中，显然有 A1D D1C1 ， A1D BC1 ，所以 A1D 平面 D1C1P ，
故选：B. 【点睛】 本题考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题. 5．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的
四棱锥体，在阳马 P ABCD 中， PC 为阳马 P ABCD 中最长的棱， AB 1, AD 2, PC 3 ，若在阳马 P ABCD 的外接球内部随机取一点，则该点
1
1 x
x
2
2x x ln x
x4
x 2 ln x 1 x3
，
g1 0 ，
当 x 0,1 时， x 2ln x 1 0 ，则 g x 0 ，函数 g x 单调递减；
当 x 1, 时， x 2ln x 1 0 ，则 g x 0 ，函数 g x 单调递增；
当 x0 (0, ) 时， g x g 1 1 ，
11．已知 A, B 为抛物线 x2 2 py( p 0) 上的两个动点，以 AB 为直径的圆 C 经过抛物线 的焦点 F ，且面积为 2 ，若过圆心 C 作该抛物线准线 l 的垂线 CD ，垂足为 D ，则 | CD | 的最大值为（ ）
A．2
B． 2
C． 2 2
1
D．
2
【答案】A
【解析】由圆的面积可得 AB 2 2 ，设 | AF | a，| BF | b ，过点 A 作 AQ l 于 Q ，
第 6 页 共 21 页
因为 D1P 平面 D1C1P ，所以 A1D D1P ，故 C 正确； 若 DP 平面 D1C1P ，则 DP ^ BC1 ，结合 DC BC1 可得 BC1 平面 DCP ，所以
BC1 CP ，但 BC1 CP 不是一直成立，故 D 不正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查了线面、面面关系的判定和性质，考查了三棱锥体积公式的应用，属于中档题.
D． DP 平面 D1C1P
【答案】D
【解析】由面面垂直的判定可判断 A；由 VAD1DP VPD1DA ，再利用三棱锥体积公式可判
断 B；由 A1D 平面 D1C1P ，再利用线面垂直的性质可判断 C；由反证法可判断 D；即
可得解. 【详解】
在正方体中，显然有 D1C1 平面 C1CP ，又 D1C1 平面 D1C1P ，
【详解】
B x N* 1 2x 9 1, 2,3，
∴ A B 2, 1, 0,1, 2 1, 2,3 1, 2 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了指数不等式的求解，考查了集合交集的概念，属于基础题.
2．已知命题
p
：复数
z
1 2i 1 i
的虚部是
3 2
，命题
q
：复数
2
i
1
2i
4
3i
，以
所以 a4 a1q3 54 .
故选：C. 【点睛】
本题考查了利用等比数列的通项公式进行基本量计算，属于基础题.
4．已知 a 0.50.5，b 0.30.5，c log0.7 0.2 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． c a b
B． b a c
C． c b a
D． a b c
下命题真假判断正确的是（ ）
A． p 真 q真
B． p 真 q假
C． p 假 q真
D． p 假 q假
【答案】A 【解析】由复数的除法法则和虚部的概念可判断命题 p ，由复数的乘法运算法则可判断
命题 q，即可得解.
【详解】
因为
z
1 2i 1 i
1 2i1 i 1 i 1 i
1 2
3 2
i
，所以其虚部为
础题.
7．函数
f
x
ex 2
x
ex 1
的图象大致是（
）
第 3 页 共 21 页
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据函数的性质对比图象的特征，逐项排除即可得解.
【详解】
由
f
x
ex ex 2 x 1
ex 2
ex x 1
f
x ，∴
f
x 为奇函数，排除选项
B；
当
x
1 4
时， ex
ex
1
e4
第一次运行时， S 1 21 3 ， i 2 ；
2
第二次运行时， S 1 21 22 7 ， i 3 ；
4
第三次运行时， S 1 21 22 23 15 ， i 4 ；
8
第四次运行时， S 1 21 22 23 24 31 ， i 5 ；…，
16
以此类推，第九次运行时，S
【点睛】 本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题.
10．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为线段 BC1 上的动点（不含
端点），则下列结论错误的是（ ）
A．平面 D1C1P 平面 C1CP
B．三棱锥 A D1DP 的体积为定值
C． A1D D1P
8．执行如图所示的程序框图，若输出的 S 1023 512
框内可以为（ ）
S S 2i ，则判断
第 4 页 共 21 页
A． i 10?
B． i 10?
C． i 11?
D． i 11?
【答案】A
【解析】根据程序框图，注意变量取值的变化，可得
S
1023 512
时
i
10
，即可得解.
【详解】
【点睛】
第 7 页 共 21 页
本题主要考查了抛物线的定义，梯形的中位线，均值不等式，属于难题.
12．已知函数 f x mx2 x ln x ，若存在 x0 (0, ) 使得 f x0 0 ，则 m 的取值
范围是（ ）
A．
,
1 2
B． 0,
C． 1,
D．
1 2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】C
A．36
B．48
C．54 第 1 页 共 21 页
D．64
【答案】C
【解析】设等比数列an 的公比为 q，由题意可得 2 2q 2q2 26 ，解方程求得 q 3
即可得解. 【详解】
数列an 为各项均为正数等比数列， a1 2 ，前三项的和为 26， 设等比数列an 的公比为 q，
2 2q 2q2 26 ，解得 q 3 或 q 4 （舍），
过点 B 作 BP l 于 P ，利用抛物线定义得 AF AQ ，BF BP ，根据梯形中位线
可知 2 CD AQ BP a b ，利用均值不等式即可求出最大值.
【详解】
根据题意， 2
AB 2
2
，
∴ AB 2 2 . 设 | AF | a，| BF | b ，过点 A 作 AQ l 于 Q ，过点 B 作 BP l 于 P ，
由抛物线定义，得 AF AQ ，BF BP ，在梯形 ABPQ 中，
∴ 2 CD AQ BP a b ，
由勾股定理得， 8 a2 b2 ，
∵
CD
2
a
b 2
2
a2
b2 4
2ab
8 2ab 4
2
ab 2
2
a2
b2 4
4
，
所以 CD ≤2 （当且仅当 a b 时，等号成立）.
1
e 4
0，2
x
1
0 ，∴
f
x
0 ，排除选项 D；
当 x 2, 时， f x ex ex ，
2x 1
则 f x
ex ex
2x 1 2 ex ex 2x 12
ex 2x 3 ex 2x 1 2 x 12
0
∴ f x 在 x 2, 时单调递增，排除选项 A.
故选：C. 【点睛】 本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性和利用导数判断函数单调性的应用，属 于中档题.
【解析】由题意可得
m
x
ln x2
x
在
(0,
)
有解，令
g
x
x
ln x2
x
x
0
，求导判断
g x 的单调性后，求出 g x 的最小值即可得解.
【详解】
存在 x0 (0, ) 使得 f x0 0 ，
mx2
x
ln x
即
m
x
ln x2
x
在
(0, ) 有解，
令 gx
x
ln x2
x
x
0 ，则 g x
m 1.
故选：C. 【点睛】 本题考查了利用导数解决能成立问题，考查了转化化归思想，属于中档题.
二、填空题
13．已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ，
a
1，
a
b
3 ，则 a __________.
【答案】2
【解析】由题意
a
b
2
a
2
2a
b
b
2
3 ，计算出 a b
的值后即可得解.
【详解】
位阳马内的概率为（ ）
1 A． 27
4 B． 27
【答案】C
8 C． 27
4 D． 9
第 2 页 共 21 页
【解析】由题意知 PC 的长等于其外接球的直径，可知 PA 2 ，计算棱锥的体积，球
的体积，根据古典概型即可求解. 【详解】
根据题意， PC 的长等于其外接球的直径，因为 PC PA2 AB2 AD2 ，
3 2
，所以
p
为真命题；
因为 2 i1 2i 2 4i i 2i 2 4 3i ，所以 q为真命题.
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的运算和虚部的概念，考查了命题真假性的判断，属于基础题.
3．已知各项均为正数的等比数列an 中， a1 2 ，前三项的和为 26，则 a4 （ ）
B．120
C．80
D．0
第 5 页 共 21 页
【解析】变形已知为 2x2 x 1 5 (x 1)5 (2x 1)5 ，分别写出两个二项式展开式的 通项 C5r x5r (1)r ， C5k (2x)5k ，可知 2x2 x 1 5 (x 1)5 (2x 1)5 的通项为
(1)r 25k C5rC5k x10(k r) ，即可求解.
6
2
（
）
8
A．
9
B． 8 9
7
C．
9
D． 7 9
【答案】C
【解析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式可得
sin
6
2
1
2
sin
2
6
，即可
得解.
【详解】
由题意
sin
6
2
sin
2
2
3
cos
2
3
1 2sin
2
6
1
2 9
7 9
.
故选：C
【点睛】
本题考查了三角函数的以值求值，考查了诱导公式和余弦的二倍角公式的应用，属于基
∴ 3 PA2 1 4 ，∴ PA 2 ，又 PA 平面 ABCD ，所以
VP ABCD
1 1 2 2 3
4 3
，V球
4 3
3 2
3
，
4
∴P
4 3
3
3 2
3
8 27
.
【点睛】
本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题.
6．已知
sin
6
1 3
，则
sin
1 21
22
23
24
29
1 1
210 21
1023 512
，i
10 ，
依题意，此时刚好不满足判断条件，因此判断条件可以为 i 10 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了当型循环结构程序框图的应用，属于基础题.
9． 2x2 x 1 5 的展开式中 x2 的系数为（ ）
A．400 【答案】D
∵ 2x2 x 1 5 (x 1)5 (2x 1)5 ，二项展开式 ( x 1)5 的通项为 C5r x5r (1)r ，二项
展开式 (2x 1)5 的通项式为 C5k (2x)5k，(x 1)5 (2x 1)5 的通项为 (1)r 25k C5rC5k x10(kr) ，所以 k r 8 ，所以展开式中 x2 的系数为 (1)5 22 C55C53 (1)4 2C54C54 (1)3C53C55 0 .
a
b
2
a
2
2a
b
2 b
3，
a
1
，向量
a
与
b
的夹角为
60
，
第 8 页 共 21 页
a
b
a
b
cos 60
1
b
，
a 2
1，
2 b
b
2 2 0 ，解得 b
2或
b
1（舍去）.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了利用向量数量积解决向量模的问题，属于基础题.
2020 届神州智达高三诊断性大联考（一） 数学（理）质检卷
一、单选题
1．已知集合 A 2, 1, 0,1, 2，B x N* 1 2x 9 ，则 A B （ ）
A．{-1, 0,1, 2}
B． 1, 0,1
C．1,1, 2
D．1, 2
【答案】D
【解析】由题意 B 1, 2, 3 ，再由集合交集的概念可直接得解.
【答案】B
【解析】由对数函数和幂函数的单调性可得 b a 1 c ，即可得解.
【详解】
因为 y x0.5 在 (0, ) 上是增函数，所以 0.30.5 0.50.5 10.5 ，即 b a 1，
因为 y log0.7 x 在 (0, ) 上是减函数，所以 c log0.7 0.2 log0.7 0.7 1 所以 b a 1 c .
所以平面 D1C1P 平面 C1CP ，故 A 正确；
三棱锥 A D1DP 的体积满足VAD1DP VPD1DA ，因为 P 到平面 D1DA 的距离不变，△D1DA
的面积不变，三棱锥 A一D1DP 的体积为定值，故 B 正确；
在正方体中，显然有 A1D D1C1 ， A1D BC1 ，所以 A1D 平面 D1C1P ，
故选：B. 【点睛】 本题考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题. 5．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的
四棱锥体，在阳马 P ABCD 中， PC 为阳马 P ABCD 中最长的棱， AB 1, AD 2, PC 3 ，若在阳马 P ABCD 的外接球内部随机取一点，则该点
1
1 x
x
2
2x x ln x
x4
x 2 ln x 1 x3
，
g1 0 ，
当 x 0,1 时， x 2ln x 1 0 ，则 g x 0 ，函数 g x 单调递减；
当 x 1, 时， x 2ln x 1 0 ，则 g x 0 ，函数 g x 单调递增；
当 x0 (0, ) 时， g x g 1 1 ，
11．已知 A, B 为抛物线 x2 2 py( p 0) 上的两个动点，以 AB 为直径的圆 C 经过抛物线 的焦点 F ，且面积为 2 ，若过圆心 C 作该抛物线准线 l 的垂线 CD ，垂足为 D ，则 | CD | 的最大值为（ ）
A．2
B． 2
C． 2 2
1
D．
2
【答案】A
【解析】由圆的面积可得 AB 2 2 ，设 | AF | a，| BF | b ，过点 A 作 AQ l 于 Q ，
第 6 页 共 21 页
因为 D1P 平面 D1C1P ，所以 A1D D1P ，故 C 正确； 若 DP 平面 D1C1P ，则 DP ^ BC1 ，结合 DC BC1 可得 BC1 平面 DCP ，所以
BC1 CP ，但 BC1 CP 不是一直成立，故 D 不正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查了线面、面面关系的判定和性质，考查了三棱锥体积公式的应用，属于中档题.
D． DP 平面 D1C1P
【答案】D
【解析】由面面垂直的判定可判断 A；由 VAD1DP VPD1DA ，再利用三棱锥体积公式可判
断 B；由 A1D 平面 D1C1P ，再利用线面垂直的性质可判断 C；由反证法可判断 D；即
可得解. 【详解】
在正方体中，显然有 D1C1 平面 C1CP ，又 D1C1 平面 D1C1P ，
【详解】
B x N* 1 2x 9 1, 2,3，
∴ A B 2, 1, 0,1, 2 1, 2,3 1, 2 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了指数不等式的求解，考查了集合交集的概念，属于基础题.
2．已知命题
p
：复数
z
1 2i 1 i
的虚部是
3 2
，命题
q
：复数
2
i
1
2i
4
3i
，以
所以 a4 a1q3 54 .
故选：C. 【点睛】
本题考查了利用等比数列的通项公式进行基本量计算，属于基础题.
4．已知 a 0.50.5，b 0.30.5，c log0.7 0.2 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． c a b
B． b a c
C． c b a
D． a b c
下命题真假判断正确的是（ ）
A． p 真 q真
B． p 真 q假
C． p 假 q真
D． p 假 q假
【答案】A 【解析】由复数的除法法则和虚部的概念可判断命题 p ，由复数的乘法运算法则可判断
命题 q，即可得解.
【详解】
因为
z
1 2i 1 i
1 2i1 i 1 i 1 i
1 2
3 2
i
，所以其虚部为
础题.
7．函数
f
x
ex 2
x
ex 1
的图象大致是（
）
第 3 页 共 21 页
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据函数的性质对比图象的特征，逐项排除即可得解.
【详解】
由
f
x
ex ex 2 x 1
ex 2
ex x 1
f
x ，∴
f
x 为奇函数，排除选项
B；
当
x
1 4
时， ex
ex
1
e4
第一次运行时， S 1 21 3 ， i 2 ；
2
第二次运行时， S 1 21 22 7 ， i 3 ；
4
第三次运行时， S 1 21 22 23 15 ， i 4 ；
8
第四次运行时， S 1 21 22 23 24 31 ， i 5 ；…，
16
以此类推，第九次运行时，S
【点睛】 本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题.
10．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为线段 BC1 上的动点（不含
端点），则下列结论错误的是（ ）
A．平面 D1C1P 平面 C1CP
B．三棱锥 A D1DP 的体积为定值
C． A1D D1P
8．执行如图所示的程序框图，若输出的 S 1023 512
框内可以为（ ）
S S 2i ，则判断
第 4 页 共 21 页
A． i 10?
B． i 10?
C． i 11?
D． i 11?
【答案】A
【解析】根据程序框图，注意变量取值的变化，可得
S
1023 512
时
i
10
，即可得解.
【详解】
【点睛】
第 7 页 共 21 页
本题主要考查了抛物线的定义，梯形的中位线，均值不等式，属于难题.
12．已知函数 f x mx2 x ln x ，若存在 x0 (0, ) 使得 f x0 0 ，则 m 的取值
范围是（ ）
A．
,
1 2
B． 0,
C． 1,
D．
1 2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】C
A．36
B．48
C．54 第 1 页 共 21 页
D．64
【答案】C
【解析】设等比数列an 的公比为 q，由题意可得 2 2q 2q2 26 ，解方程求得 q 3
即可得解. 【详解】
数列an 为各项均为正数等比数列， a1 2 ，前三项的和为 26， 设等比数列an 的公比为 q，
2 2q 2q2 26 ，解得 q 3 或 q 4 （舍），
过点 B 作 BP l 于 P ，利用抛物线定义得 AF AQ ，BF BP ，根据梯形中位线
可知 2 CD AQ BP a b ，利用均值不等式即可求出最大值.
【详解】
根据题意， 2
AB 2
2
，
∴ AB 2 2 . 设 | AF | a，| BF | b ，过点 A 作 AQ l 于 Q ，过点 B 作 BP l 于 P ，
由抛物线定义，得 AF AQ ，BF BP ，在梯形 ABPQ 中，
∴ 2 CD AQ BP a b ，
由勾股定理得， 8 a2 b2 ，
∵
CD
2
a
b 2
2
a2
b2 4
2ab
8 2ab 4
2
ab 2
2
a2
b2 4
4
，
所以 CD ≤2 （当且仅当 a b 时，等号成立）.
1
e 4
0，2
x
1
0 ，∴
f
x
0 ，排除选项 D；
当 x 2, 时， f x ex ex ，
2x 1
则 f x
ex ex
2x 1 2 ex ex 2x 12
ex 2x 3 ex 2x 1 2 x 12
0
∴ f x 在 x 2, 时单调递增，排除选项 A.
故选：C. 【点睛】 本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性和利用导数判断函数单调性的应用，属 于中档题.
【解析】由题意可得
m
x
ln x2
x
在
(0,
)
有解，令
g
x
x
ln x2
x
x
0
，求导判断
g x 的单调性后，求出 g x 的最小值即可得解.
【详解】
存在 x0 (0, ) 使得 f x0 0 ，
mx2
x
ln x
即
m
x
ln x2
x
在
(0, ) 有解，
令 gx
x
ln x2
x
x
0 ，则 g x
m 1.
故选：C. 【点睛】 本题考查了利用导数解决能成立问题，考查了转化化归思想，属于中档题.
二、填空题
13．已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ，
a
1，
a
b
3 ，则 a __________.
【答案】2
【解析】由题意
a
b
2
a
2
2a
b
b
2
3 ，计算出 a b
的值后即可得解.
【详解】
位阳马内的概率为（ ）
1 A． 27
4 B． 27
【答案】C
8 C． 27
4 D． 9
第 2 页 共 21 页
【解析】由题意知 PC 的长等于其外接球的直径，可知 PA 2 ，计算棱锥的体积，球
的体积，根据古典概型即可求解. 【详解】
根据题意， PC 的长等于其外接球的直径，因为 PC PA2 AB2 AD2 ，
3 2
，所以
p
为真命题；
因为 2 i1 2i 2 4i i 2i 2 4 3i ，所以 q为真命题.
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的运算和虚部的概念，考查了命题真假性的判断，属于基础题.
3．已知各项均为正数的等比数列an 中， a1 2 ，前三项的和为 26，则 a4 （ ）
B．120
C．80
D．0
第 5 页 共 21 页
【解析】变形已知为 2x2 x 1 5 (x 1)5 (2x 1)5 ，分别写出两个二项式展开式的 通项 C5r x5r (1)r ， C5k (2x)5k ，可知 2x2 x 1 5 (x 1)5 (2x 1)5 的通项为
(1)r 25k C5rC5k x10(k r) ，即可求解.
6
2
（
）
8
A．
9
B． 8 9
7
C．
9
D． 7 9
【答案】C
【解析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式可得
sin
6
2
1
2
sin
2
6
，即可
得解.
【详解】
由题意
sin
6
2
sin
2
2
3
cos
2
3
1 2sin
2
6
1
2 9
7 9
.
故选：C
【点睛】
本题考查了三角函数的以值求值，考查了诱导公式和余弦的二倍角公式的应用，属于基
∴ 3 PA2 1 4 ，∴ PA 2 ，又 PA 平面 ABCD ，所以
VP ABCD
1 1 2 2 3
4 3
，V球
4 3
3 2
3
，
4
∴P
4 3
3
3 2
3
8 27
.
【点睛】
本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题.
6．已知
sin
6
1 3
，则
sin
1 21
22
23
24
29
1 1
210 21
1023 512
，i
10 ，
依题意，此时刚好不满足判断条件，因此判断条件可以为 i 10 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了当型循环结构程序框图的应用，属于基础题.
9． 2x2 x 1 5 的展开式中 x2 的系数为（ ）
A．400 【答案】D